专题6.2.3 向量的数乘运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦向量的数乘运算核心知识点，系统梳理其定义（实数与向量积的长度方向规定）、运算律（结合律、分配律等）、线性运算（加减数乘统称）及向量共线定理（充要条件与求参应用），构建从概念到运算再到几何应用的递进式学习支架。 资料以考点为纲设计例题与变式练习，涵盖平行四边形中点、三角形重心等几何实例，引导学生用数学眼光观察图形关系，用数学思维推理向量表达式，用数学语言规范运算过程。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

专题6.2.3 向量的数乘运算 模块导航 · 模块一 向量的数乘运算 · 模块二 课后练习 模块一 向量的数乘运算 · 基础知识 1．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 2．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【考点1 向量的数乘运算】 【例题1.1】在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 【例题1.2】是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 【变式1.1】在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 【变式1.2】设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 【变式1.3】在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 【考点2 平面向量的混合运算】 【例题2.1】（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 【例题2.2】在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D 【变式2.1】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 【变式2.2】在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 【变式2.3】已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 【考点3 向量线性运算的几何应用】 【例题3.1】，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 【例题3.2】在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 【变式3.1】点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 【答案】 【分析】根据向量的加法运算，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故答案为：. 【变式3.2】已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】. 故选：A. 【变式3.3】已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法计算，再由平行四边形对边相等得解. 【详解】因为在平行四边形中， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 【考点4 向量与三角形的心】 【例题4.1】已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 【例题4.2】已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 【变式4.1】已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 【变式4.2】（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 【变式4.3】如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 【考点5 向量的共线定理】 【例题5.1】已知是两个不共线的向量， ，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 【例题5.2】设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 【变式5.1】如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 【变式5.2】如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 【变式5.3】已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得， 比较系数可得，即，所以，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 1、在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 2、在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得为的中点，结合得到，进而结合三角形的内角和求解即可. 【详解】由，则为的中点， 因为，所以， 则， 而， 则，即. 故选：D.    3、在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 4、在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 5、已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 6、已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】在平行四边形中，是的中点， 则. 故选：A 7、如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 8、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 9、设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为重心， 所以， 所以， 故选：B. 10、在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心的几何特点，结合平面向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】根据题意可得点G为△的重心， 所以． 故选：A. 11、已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用向量的线性运算，得，，再利用向量共线的充要条件，得，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 若A，B，C三点共线，则，则存在实数,使得，所以， 即，化简得， 故选：B. 12、已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 13、已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 【答案】 【分析】表示出向量，然后利用共线定理和平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，且， 所以存在实数，使得，即， 因为非零向量､不共线，所以，解得. 故答案为： 14、已知向量、，则等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 15、如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.3 向量的数乘运算 模块导航 · 模块一 向量的数乘运算 · 模块二 课后练习 模块一 向量的数乘运算 · 基础知识 1．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 2．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【考点1 向量的数乘运算】 【例题1.1】在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例题1.2】是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【变式1.1】在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【变式1.2】设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式1.3】在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【考点2 平面向量的混合运算】 【例题2.1】（　　） A． B． C． D． 【例题2.2】在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 向量线性运算的几何应用】 【例题3.1】，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【例题3.2】在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． 【变式3.1】点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 【变式3.2】已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 【考点4 向量与三角形的心】 【例题4.1】已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例题4.2】已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式4.1】已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4.2】（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【考点5 向量的共线定理】 【例题5.1】已知是两个不共线的向量， ，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【例题5.2】设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【变式5.1】如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【变式5.2】如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【变式5.3】已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 1、在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 2、在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 3、在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 4、在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 5、已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6、已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 7、如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 8、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 9、设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 10、在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 11、已知是不共线的向量，，三点共线，则满足（   ） A． B． C． D． 12、已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 13、已知非零向量､不共线，若，，，且三点共线，则 . 14、已知向量、，则等于 . 15、如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 学科网（北京）股份有限公司 $