专题6.2.1 向量的加法运算+6.2.2 向量的减法运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学向量的加法与减法运算核心知识点，系统梳理从加法的三角形法则、平行四边形法则及运算律，到减法的相反向量、三角形法则及运算律的知识脉络，通过基础知识铺垫、考点分类（如加法法则应用、减法几何意义等）、例题与变式题设置，搭建完整学习支架。 该资料以平行四边形、正六边形等几何图形为载体，引导学生用数学眼光观察向量关系，通过例题与变式的逻辑递进培养推理能力（数学思维），用向量语言精准描述几何问题（数学语言）。课中考点清晰助力教师授课，课后练习覆盖基础与综合，帮助学生查漏补缺。

专题6.2.1 向量的加法运算+专题6.2.2 向量的减法运算 模块导航 · 模块一 向量的加法运算 · 模块二 向量的减法运算 · 模块三 课后练习 模块一 向量的加法运算 · 基础知识 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 向量加法的法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 适用 一个向量的终点为另一个向量的起点 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 适用 两个向量起点相同 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 注：两个向量共线时，该运算律也成立。 【考点1 向量的加法法则】 【例题1.1】化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 【例题1.2】在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 【变式1.1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法则以及已知条件建立向量之间的关系. 【详解】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 【变式1.2】已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 【变式1.3】已知，且，则实数 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 【考点2 向量的加法运算律】 【例题2.1】化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 【例题2.2】已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为为边中点，可得， 又因为，可得. 故选：B. 【变式2.1】化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【变式2.2】下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 【变式2.3】下列四个等式： ①；    ②；    ③；    ④． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误， 故答案为：①②③ 【考点3 向量加法法则的几何应用】 【例题3.1】如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 【例题3.2】已知正方形的边长为2，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法计算即可. 【详解】如图， 已知正方形的边长为2，， 则. 故答案为： 【变式3.1】如图，空间四边形中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法的运算法则即可作出判断. 【详解】因为为中点，所以； 又因为为中点，所以且，所以. 所以. 故选：C 【变式3.2】设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质及向量线性运算可得解. 【详解】    如图所示，易知点为，，的中点， 所以，，， 所以， 故选：D. 【变式3.3】等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 模块二 向量的减法 1．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 【考点1 相反向量】 【例题1.1】（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且 ，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】由平行向量和共线向量的定义可判断A，由相反向量的特点可判断B，向量不能比较大小可判断C，由向量相等和向量平行的关系可判断D. 【详解】由平行向量和共线向量的定义可知，A正确； 因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的； 因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误； 因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确. 故选：BC 【例题1.2】如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为 ，与相反的向量为 ，与共线的向量为 ．    【答案】 ，， ，，， ，，，， 【分析】空1：由相等向量的定义可判断；空2：由相反向量的定义可判断；空2：由共线向量的定义可判断. 【详解】空1：由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量， 与相等的向量为，，； 空2：由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量， 与相反的向量为，，，； 空3：由共线向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为共线向量， 与共线的向量为，，，，. 【变式1.1】（多选）下列结论正确的是（   ） A．速度和力是矢量，物体的质量是标量 B．若，，是的三个顶点，则 C．零向量的相反向量是零向量 D．若非零向量满足，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据矢量和质量的定义得到A正确；B选项，利用向量加法法则得到B错误；C选项，根据零向量和相反向量的概念得到C正确；D选项，根据平行向量的概念得到D正确. 【详解】对于A，在物理中，速度和力是矢量，物体的质量是标量，A正确； 对于B，，是零向量，不是0，B错误； 对于C，零向量的相反向量是零向量，C正确； 对于D，对于非零向量，，表示与的方向相同或相反， 与的方向相同或相反，所以与的方向相同或相反，D正确． 故选：ACD 【变式1.2】（多选）若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【答案】BCD 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】根据相反向量的定义可知，，两个向量模相等，即，且方向相反. 故选：BCD 【变式1.3】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 【考点2 向量的减法法则】 【例题2.1】在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 【例题2.2】（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 【变式2.1】已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 【变式2.2】（多选）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可. 【详解】因为，， ，. 故选：ACD 【变式2.3】（多选）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 【考点3 向量减法的运算律】 【例题3.1】（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】根据向量共线的特征进行求解. 【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则， 当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有. 当与同向时有，反之也成立； 当与反向时有，，反之也成立. 故选:ABD. 【例题3.2】化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 【变式3.1】在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式3.2】下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 【答案】①②③⑤ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】因为任意向量加上零向量等于这个向量，故①正确； 由向量的运算律及相反向量的性质可知②③是正确的； 向量的线性运算结果应为向量，故④错误； 由向量的加法运算律，加上一个向量等于减去这个向量的相反向量，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤ 【变式3.3】下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及向量的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，平行向量又叫共线向量，所以A错误； 对于B中，单位向量长度相等，但方向不一定相同，所以B错误； 对于C中，当两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，所以C错误； 对于D中，，所以 D正确． 故选：D． 【考点4 向量减法法则的几何应用】 【例题4.1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【例题4.2】已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得. 【详解】解∵， ∴，即的取值范围是． 【变式4.1】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 【变式4.2】已知向量满足，，则的最小值为 ，当且仅当与的方向 时取得最小值． 【答案】 6 相反 【分析】利用向量不等式得到，与的方向相反时，等号成立，得到答案. 【详解】，当且仅当与的方向相反时等号成立，取得最小值． 故答案为：6，相反 【变式4.3】在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【分析】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 1、化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 2、已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则，结合向量的模长即可判断. 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 3、如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 4、若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 5、已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 6、对于任意三个向量，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算的几何意义，共线的定义一一判定选项即可. 【详解】对于A项，显然若时，，故A错误； 对于B项，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知， 当且仅当两向量共线时取得等号，故B正确； 对于C项，由向量的定义知，向量不能比大小，故C错误； 对于D项，由于零向量与任意向量均共线，则当时，满足， 但不确定关系，故D错误. 故选：B 7、下列说法中正确的是（    ）． A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 B．若与是相反向量，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据向量的概念判断A，根据相反向量的概念判断B，根据共线向量的概念判断C，根据共线向量的性质判断D. 【详解】向量是既有大小又有方向的量，坐标轴只有方向，没有大小，故A错误； 相反向量是大小相等且方向相反的向量，故B正确； 和可能平行，也可能共线，故C错误； 当是零向量时，和可能不平行，故D错误． 故选：B． 8、在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减运算及模运算求解． 【详解】． 故选：C 9、在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【详解】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 10、在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 11、给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项. 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立; 对于B，当或为零向量时，命题不成立； 对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立； 对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立. 故选：A. 12、已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量差的模的性质求解. 【详解】由， 可得． 故选：C 13、已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 14、设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 【答案】①③⑤ 【分析】先计算出，对于①，零向量和任意向量平行，①正确；对于②③，利用向量加法法则计算；对于④⑤，利用模长的概念进行判断 【详解】， 对于①，零向量和任意向量平行，，①正确； 对于②③，，②错误，③正确； 对于④，，两者不等，④错误； 对于⑤，，⑤正确. 故答案为：①③⑤ 15、若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两向量同向共线和反向共线时分别由最大值和最小值，不共线时取值在其中计算即可； 【详解】由题意知，，且， 当，同向时，取得最小值，； 当，反向时，取得最大值，； 当，不共线时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 16、已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】根据，即可解决问题． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 17、如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 18、如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 【答案】，， 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以，， 故. 19、化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的加减法运算法则计算即可. 【详解】（1）易知； （2）易知； （3）易知 20、如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 【答案】，． 【分析】利用向量减法的意义求解即可. 【详解】，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.1 向量的加法运算+专题6.2.2 向量的减法运算 模块导航 · 模块一 向量的加法运算 · 模块二 向量的减法运算 · 模块三 课后练习 模块一 向量的加法运算 · 基础知识 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 向量加法的法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 适用 一个向量的终点为另一个向量的起点 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 适用 两个向量起点相同 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 注：两个向量共线时，该运算律也成立。 【考点1 向量的加法法则】 【例题1.1】化简：（   ） A． B． C． D． 【例题1.2】在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】已知，且，则实数 ． 【考点2 向量的加法运算律】 【例题2.1】化简或计算： (1)； (2)． 【例题2.2】已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】化简： (1)． (2)． 【变式2.2】下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】下列四个等式： ①；    ②；    ③；    ④． 其中正确的是 ．（填序号） 【考点3 向量加法法则的几何应用】 【例题3.1】如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【例题3.2】已知正方形的边长为2，，则 ． 【变式3.1】如图，空间四边形中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3.2】设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 模块二 向量的减法 1．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 【考点1 相反向量】 【例题1.1】（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且 ，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【例题1.2】如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为 ，与相反的向量为 ，与共线的向量为 ．    【变式1.1】（多选）下列结论正确的是（   ） A．速度和力是矢量，物体的质量是标量 B．若，，是的三个顶点，则 C．零向量的相反向量是零向量 D．若非零向量满足，，则 【变式1.2】（多选）若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【变式1.3】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【考点2 向量的减法法则】 【例题2.1】在平行四边形中，为与的交点，则（   ） A． B． C． D． 【例题2.2】（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（多选）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（多选）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 向量减法的运算律】 【例题3.1】（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【例题3.2】化简： (1)； (2). 【变式3.1】在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 【变式3.3】下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 【考点4 向量减法法则的几何应用】 【例题4.1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【例题4.2】已知，求的取值范围． 【变式4.1】如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】已知向量满足，，则的最小值为 ，当且仅当与的方向 时取得最小值． 【变式4.3】在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 1、化简等于（   ） A． B． C． D． 2、已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3、如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 4、若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 5、已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 6、对于任意三个向量，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 7、下列说法中正确的是（    ）． A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 B．若与是相反向量，则 C．若，则 D．若，，则 8、在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 9、在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 10、在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 11、给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 12、已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13、已知，，则的取值范围为 . 14、设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 15、若，，则的取值范围是 . 16、已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 17、如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 18、如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 19、化简： (1)； (2)； (3)． 20、如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 学科网（北京）股份有限公司 $