2025-2026学年人教版九年级数学上册期末卷 05

九年级上期末模拟卷05 一、单选题 1．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2．已知是一元二次方程的解，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．将代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据其顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：A． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算．根据二次根式的化简及加减运算即可求解． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行运算，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．在一个不透明的袋子中共有5个除颜色外均相同的小球，小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是，袋中红球的个数是（   ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．设袋中红球的个数是x个，根据题意可列方程为，求出x的值即可． 【详解】解：设袋中红球的个数是x个， ∵小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是， ∴， 解得或（舍去）， ∴袋中红球的个数是3个． 故选：B． 6．如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据题意得出 ，进而根据含0度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， 弦 ∴， ， ， 在中， 则， ， ， 故选： D． 7．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，点与对应，且，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，则根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出，即可确定旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：B． 8．5．已知二次函数的图象经过和两点，则的值是　　 A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由二次函数的图象经过和两点，从而，是关于的一元二次方程的两个实数根，故，，，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过和两点， ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，，． ∴，， ． 故选：B． 9．定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示． 设它们交于点、． 令，即， 解得：或， 把代入，得出， 把代入，得出， ，， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，函数值随的增大而减小， 最大值为． 综上所述，，的最大值是． 故选：A． 10．如图，等边的边长为2，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段，于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②的面积等于的面积；③四边形的面积始终保持不变；④的周长的最小值为3．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可得，再证明，即可判断①，过O作于，于Q，由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，由含角的直角三角形的性质可得，，而，保持不变，即可判断②③，，当时，最小，的周长最小，此时，即可判断④． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ， ∵点是的中心， 分别平分和， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 过O作于，于Q， ，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，保持不变， 随的变化而变化，而四边形的面积为定值， ， 故②错误， ③正确； ， 的周长， 当时，最小，的周长最小， 此时， 周长的最小值， 所以④正确， 故正确的有：①③④． 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上的性质和判定并能综合的运用． 二、填空题 11．抛物线经过原点且开口向下，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，得出且，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过坐标原点，且开口向下， ∴且， 解得：， 故答案为：． 12．如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据图形和旋转的性质，根据旋转的性质得出，，根据中点的定义可得，则．熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∵点C恰好成为的中点， ∴，则． 故答案为：． 13．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的直径的一个端点与半圆的圆心重合．若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到（点与，点与对应）．当点，，在同一直线上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用三角形面积有关高的求解是解题的关键．作于点，先根据勾股定理求得，由旋转的性质可得知，，，推出，再利用三角形面积求得，最后由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作于点 ，， 则 由旋转的性质可知：，， ，即 又， 故答案为：． 15．已知二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．下面描述： ①； ②若点在和之间，则； ③若，均在抛物线上，则； ④若，均在抛物线上，且，则； ⑤若为等腰三角形，则的值为个． 其中正确的有 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的图像与轴交于点可判断②；根据二次函数的增减性可判断③④；根据等腰三角形的性质可判断⑤，据此可得结论． 【详解】解：①∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵点在和之间， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵ 即点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近， ∴，故结论③正确； ④∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵二次函数的图像对称轴为直线， ∴当时，随的增大 而增大， ∵，均在抛物线上，且， ∴， ∴，， ∴，故结论④错误； ⑤∵，， ∴，，， 由②知：二次函数的解析式为，， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，∵， ∴，不符合题意， ∴此种情况不存在； 综上所述，的值为或，共个，故结论⑤错误； ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数图像的对称轴，二次函数图像的性质，等腰三角形的性质及勾股定理．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 三、解答题 16．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， 方程化为一般式为， ∴， 或， 解得：． 17．如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 18．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 0 3 4 3 0 描点，连线，函数图象，如下图： ； （2）解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 19．如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂线的性质可得，由可得，则，于是可得，利用可证得，于是可得，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，，，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的判定定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20． 某单位食堂为全体900名职工提供了 A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： (1)补全条形统计图； (2)依据本次调查的结果，估计全体900名职工中最喜欢 D套餐的人数； (3)现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员”，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 【答案】(1)图见解析 (2)90人 (3) 【分析】本题主要考查条形和扇形统计图及概率，熟练掌握条形和扇形统计图及概率的求解是解题的关键； （1）用被抽取的职工人数乘以最喜欢A套餐所占百分比，可得其人数，然后再利用抽取的人数减去A、B、D的人数，可得C套餐的人数，进而问题可求解； （2）根据条形统计图可得最喜欢D套餐所占百分比，然后利用总人数乘以百分比即可； （3）利用列表法可进行求解概率． 【详解】（1）解：由统计图可知： 最喜欢A套餐的人数为（人）， 最喜欢C套餐的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：由统计图可知： （人）， 答：全体900名职工中最喜欢D套餐的人数为90人． （3）解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） / （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） / （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） / 由上表可知：共有12种情况，其中选中两人为一男一女的有8种情况，所以选中两人为一男一女的概率为． 21．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 22．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，，则的半径为_____________． 【答案】(1)见解析； (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证，然后利用平行线的性质求出，即可解答； （2）过点O作，垂足为F，根据垂径定理可得，再利用（1）的结论可得四边形是矩形，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作，垂足为F， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴的半径为5． 23．如图，等腰直角三角形中，，，点是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，． (1)如图，线段与之间的关系是 ；并证明结论成立． (2)如图，是的中点，连结交于，若，时，求的长． 【答案】(1)，；见解析； (2)． 【分析】根据旋转可知，，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证，且； 延长到，使，连接并延长交于点，构造，根据全等三角形的性质可证，，，从而可证，利用勾股定理可求，所以可得． 【详解】（1）解：且． 证明：如下图所示， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ，； （2）解：如图所示，延长到，使，连接并延长交于点， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， 在中根据勾股定理得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是根据旋转的性质和全等三角形的性质找到相等的边和角，构造等角三角形利用勾股定理求解． 24．在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)如图，若抛物线与x轴交于点，求抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点C．点P是抛物线在x轴上方的动点，且满足，求出点P的坐标． (3)点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线． ①若，求t的值； ②若，当时，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)① ②或 【分析】对于（1），根据待定系数法解答即可； 对于（2），先求出，再根据，求出，然后将其代入关系式，求出解即可； 对于（3）①，将点代入关系式，可得，进而得出答案； ②，先判断抛物线的开口向上，可知当时，函数值y随着x的增大而增大，再结合已知条件可知点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当点M在对称轴的左侧时，即，根据题意可得，求出取值范围；当点M在对称轴的右侧时，即，根据题意得，求出范围即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）由抛物线的表达式可知点， 即. ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 解得， 所以点P的坐标是或； （3）①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴； ②∵， ∴抛物线开口向上． 当时，函数值y随着x的增大而增大． ∵当时，都有， ∴点在对称轴的右侧． 当点M在对称轴的左侧时，即． ∵， 则， 解得， 即； 当点M在对称轴的右侧时，即． ∵， 则， 解得， 即． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几何图形，结合抛物线的开口方向和对称轴弄清二次函数的增减性是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 05 一、单选题 1 ．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 2 ．已知x = 2 是一元二次方程x2 + bx 一 c = 0 的解，则2b 一 c = ( ) A ．8 B ． 一8 C ． 一4 D ．4 3 ．抛物线y = 3 (x 一 2)2 +1 的顶点坐标是 ( ) A ． (2, 1) B ． (2, 一1) C ． (一2, 1) D ． (一2, 一1) 4 ．下列运算正确的是 ( ) A ． ·、 + ·、 = 、 B ． ( ·、 一1)2 = 3 一 2S2 C ． 2 ÷ = 1 D ． (一5)2 = 一5 5 ．在一个不透明的袋子中共有 5 个除颜色外均相同的小球，小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是 ，袋中红球的个数是 ( ) . A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 6 ．如图，AB 为ΘO 的直径，弦CD 丄 AB ，垂足为点 E ，连接OC ，若ΘO 的半径为 4 ，上ABD = 30。，则CD = ( ) A ． · + 4 B ． 2·、/3 + 2 C ． 4、 D ． 4 7．如图，在 △ABC 中，上BAC = 70。，将 △ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AED 的位置，点E 与B 对应，且CD Ⅱ AB ，则旋转角的度数为 ( ) A ．30。 B ． 40。 C ． 70。 D ． 110。 8 ．5 ．已知二次函数y = x2 一 2024x + 2 的图象经过A(m, 1) 和B(n, 1) 两点，则m2 一 + 2024 的值是( ) A ．0 B ．2023 C ．2024 D ．2025 试卷第 1页，共 6页 9 ．定义符号的含义min {a , b} 为：当a ≥b 时min{a, b} = b ；当a < b 时min{a, b} = a ．如： min{1,- 3}= -3,min{-4,- 2} = - 4 ．则min {-x2 + 1, -x } 的最大值是 ( ) A ． B ． C ．1 D ．0 10 ．如图，等边△ABC 的边长为 2 ，点 O 是△ABC 的中心， 上FOG = 120O ，绕点 O 旋转上FOG ，分别交线段 AB ， BC 于 D，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD = OE ；② △DOE 的面积等于△BDE 的面积；③四边形DBEO的面积始终保持不变；④ △BDE 的周长的最小值为 3 ．上述结论中，所有正确结论的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 二、填空题 11．抛物线y = kx2 + k2 - 4 经过原点且开口向下，则k 的值是 ． 12 ．如图，将 △ABC 绕着点A 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C 恰好成为AD的中点，如果 AB = 4cm ，那么AE = cm ． 13 ．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O 的直径的一个端点与半圆O 的圆心重合．若半圆的半径为 2 ，则阴影部分的面积是 ． 14 ．如图，在Rt△ABC 中， 上ACB = 90O ， AC = 4 ，BC = 3 ，将 △ABC 绕点C 顺时针旋转得到 △A1B1C （点A 与 A1 ， 点B 与B1 对应）．当点A ， B1 ， A1 在同一直线上时， AB1 的长为 ． 试卷第 2页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0) 的图像与x 轴交于点 A(—1, 0) ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x = 1 ．下面描述： ① 2a +b = 0 ； ②若C 点在(0, —2) 和(0, —1) 之间，则 ③若M (—m2 —1,y1 ) ， N (m2 + 4,y2 ) 均在抛物线上，则y1 < y2 ； ④若M (x1, y1 ) ， N (x2, y2 ) 均在抛物线上，且1 < x1 < x2 ，则 ⑤若△ABC 为等腰三角形，则a 的值为4 个． 其中正确的有 ．（填写所有正确的序号） 三、解答题 16 ．解下列方程 (1) 3x2 = 4x —1 (2)(x —1)(x + 3) = 12 17 ．如图，将将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定角度得到△ADE ，且点E 落在线段BC 上 (1)旋转中心是点______ ，旋转角是_________和________； (2)当旋转角为26O时，求 上 AED 的度数． 18 ．已知二次函数y = —x2 — 2x + 3 ． (1)在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象； (2)当 —3 < x < 0 时，直接写出函数值y 的取值范围． 试卷第3页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．如图，在 △ABC 中，上ACB = 90O ，D 为边 AC 上一点，过点 D 作AB 的垂线，分别交边 AB ，BC 的延长线于点 E ，F，且 AE = CF ． (1)求证：点 D 在上ABC 的平分线上；(2)连接BD ，若 AB = 8 ， BC = 6 ，求S△ABD : S△BCD 的值． 20 ． 某单位食堂为全体 900 名职工提供了 A 、B 、C、D 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取了240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图所示： (1)补全条形统计图； (2)依据本次调查的结果，估计全体 900 名职工中最喜欢 D 套餐的人数； (3)现从四名职工（两男两女）中任选两人担任“食品安全监督员” ，请用列表法或画树状图法求选中两人为一男一女的概率. 21 ．阅读理解并解答： 【方法呈现】（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．例如： x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + z )+ 2 = (x +1)2 + 2 ， ∵ (x +1)2 ≥ 0 :(x +1)2 + 2 ≥ 2 ． 则这个代数式x2 + 2x + 3的最小值为_______ ，这时相应的 x 的值是________． 【尝试应用】（2）求代数式x2 — 8x + 10 的最小或最大值． 【拓展提高】（3）已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边长，满足a2 + b2 = 10a + 8b— 41 ，求 c 的取值范围． 试卷第 4页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．如图，四边形 ABCD 是ΘO 的内接四边形， BD 为直径， AE 是ΘO 切线，且AE 丄 CD 的延长线于点E ． (1)求证： DA 平分上BDE ； (2)若AE = 4 ， CD = 6 ，则ΘO 的半径为______________． 23 ．如图，等腰直角三角形 ABC 中， 上ACB = 90。， AC = BC ，点D 是AB边上的一点，将线段CD绕点C 逆时针旋转 90。得到线段CE，连结BE ， AE ． (1)如图1 ，线段BD与 AE 之间的关系是 ；并证明结论成立． (2)如图2 ， F 是AD的中点，连结CF交BE 于H ，若BC = 4 ， BD = 、 时，求CF的长． 试卷第5页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 24 ．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线y = ax2 + bx + 3 ． (1)如图，若抛物线y = ax2 + bx + 3 与 x 轴交于点 A(-3, 0), B (1, 0) ，求抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，若抛物线与y 轴交于点 C．点 P 是抛物线在 x 轴上方的动点，且满足S△PAO = 2S△BCO ，求出点 P 的坐标． (3)点M(-2, y1 ), N (m, y2 ) ，在抛物线y = ax2 + bx + 3 上，抛物线的对称轴为直线x = t ． ①若y1 =3，求 t 的值； ②若a > 0 ，当t +1 < m < t + 2 时，都有y1 > y2 ，直接写出 t 的取值范围． 试卷第6页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $