5.2.1 三角函数的概念 题型专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、利用定义求某角的三角函数值 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 题型三、根据三角函数值求终边上的点或参数 题型四、特殊角的三角函数值 题型五、三种函数值在各象限的符号 题型六、诱导公式一 题型一、利用定义求某角的三角函数值 1．若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对 3．已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 4．由三角函数的定义知， ， ． 5．求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0； (2)； (3)； (4)． 6．利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)； (2)； (3)， (4)． 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知角的终边过，则（   ） A．角为第二象限角 B． C． D．的值与的正负无关 5．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ． 6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 7．已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 8．已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 9．已知角的终边过点(3m－9,m－5)且,求m的取值范围. 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 题型三、根据三角函数值求终边上的点或参数 1．已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 2．已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 8．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 . 9．已知，且是第四象限角． （1）若为角终边上的一点，写出符合条件的一个点坐标； （2）求、的值． 10．已知角终边上有一点，其中，且. （1）求和的值； （2）若的终边与的终边在同一直线上，且，求所有可能的值构成的集合（用弧度制表示） 11．已知角的终边上有一点P，，且，求点P的坐标. 题型四、特殊角的三角函数值 1．已知，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．已知函数（a为常数），且，则（   ） A． B． C．0 D．2 5．已知，，则 . 6．设，则 . 7．方程，，则 ． 8．已知函数，则 . 题型五、三种函数值在各象限的符号 1．已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 3．“角为第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若且同时成立，则是（    ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 5．（多选）下列选项中，结果为正数的有（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 7．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 8．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ． 题型六、诱导公式一 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．求下列三角函数值（参考数据） (1) (2) (3) (4) 5．计算： 6．求下列各式的值：(1)；(2)． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1 三角函数的概念 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、利用定义求某角的三角函数值 1．若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义计算可得结果. 【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为可得. 故选：C. 2．在中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对 【答案】C 【分析】直接由正切的定义即可求解. 【详解】若是直角，则， 若是直角，则， 综上，故C选项满足题意，ABD不满足题意. 故选：C. 3．已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 4．由三角函数的定义知， ， ． 【答案】 / / 【分析】在角的终边上选择一个点，根据正余弦三角函数的定义可求三角函数值. 【详解】   为第三象限角，在的终边上选择点， 故． 故答案为：. 5．求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3)，0，的正切不存在． (4)，， 【分析】（1）（2）（3）（4）在角的终边上取一特殊点，由三角函数的定义即可求得答案． 【详解】（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点， 所以，因此． （2）角的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点， 所以，因此． （3）角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点， 所以，因此，，的正切值不存在． （4）如图所示，在的终边上取点P，使得．作，则在中，． 因此，，从而可知P的坐标为，因此，，． 6．利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)；(2)；(3)，(4)． 【答案】(1)，不存在 (2) (3) (4) 【分析】分别在角的终边上取一点，再根据三角函数的定义即可得出答案. 【详解】（1）解：在角的终边上取一点，即， 则， 不存在； （2）解：在角的终边上取一点，即， 则； （3）解：在角的终边上取一点，即， 则； （4）解：在角的终边上取一点，即， 则. 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C. 3．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分终边上点在第一象限或点在第三象限结合任意角三角函数的定义计算判断各个选项. 【详解】若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上， 当终边上点在第一象限，设点，； 当终边上点在第三象限，设点，； 对于A：一定成立； 对于B：一定不成立； 对于C：一定不成立； 对于D：可能成立； 故选：BC. 4．（多选）已知角的终边过，则（   ） A．角为第二象限角 B． C． D．的值与的正负无关 【答案】BD 【分析】结合三角函数的定义，分类讨论的符号，逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，此时角位于第四象限，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 若，则； 若，则，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 5．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】求得的大小，进而得到，由此可求解出点的横坐标. 【详解】设，所以，， 由题意可知：， 所以的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为 故答案为：. 6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，. 对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 故答案为：；. 7．已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对的符号进行讨论，利用三角函数的定义可求得的值； （2）利用三角函数的定义求出、的值，即可得出的值. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，. （2）若为第二象限角，则， 则，， 所以. 8．已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，  ； (2) 【分析】（1）求出点的坐标，再根据三角函数的定义求解即可； （2）任取的终边上一点，，分两种情况，根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为点的横坐标为， 所以， 即点的坐标为， 所以， 所以， ， （2）设的终边上任一点为， 则， 当时，， 所以， ， 所以； 当时，， 所以，， 所以； 综上：的值为0． 9．（已知角的终边过点(3m－9,m－5)且,求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据三角函数定义得，再根据确定m的取值范围. 【详解】因为角的终边过点(3m－9,m－5)， 所以 解得 【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单位圆上点到原点距离为的性质求出点纵坐标，再根据三角函数定义求正切值； （2）根据等边三角形的性质得出角的大小，进而求出与角终边相同的角的集合. 【详解】（1）设点B的纵坐标为m，则由题意得，且， 所以，故，根据三角函数的定义得 （2）若为等边三角形，则， 故与角α终边相同的角β的集合为． 题型三、根据三角函数值求终边上的点或参数 1．已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得，故， 故选：C 2．已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 4．在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点，知，且为第四象限角. 故选：B 5．（多选）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用三角函数定义逐项求解判断. 【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确. 由，得，则B，D正确. 由，得，解得，则错误. 故选：ABD 6．（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且， 所以， 所以， 由，可知，所以角为第二象限的角，所以， 所以，所以A错误，B正确， 所以，，所以CD正确， 故选：BCD 7．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】在直角坐标系内作示意图，由正弦函数定义得到线段间关系，从而求得坐标. 【详解】如图，过点作轴，垂足为，在中，，， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故答案为：. 8．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是 . 【答案】/ 【分析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标. 【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标 故答案为： 9．已知，且是第四象限角． （1）若为角终边上的一点，写出符合条件的一个点坐标； （2）求、的值． 【答案】（1）（2）； 【分析】（1）假设，根据正切定义算出值即可 （2）根据三角函数基本定义进行求解 【详解】（1）假设，根据，则点坐标为 （2），， 【点睛】本题考查三角函数的基本定义，根据三角函数的基本定义求解具体的三角函数值，是基础题 10．已知角终边上有一点，其中，且. （1）求和的值； （2）若的终边与的终边在同一直线上，且，求所有可能的值构成的集合（用弧度制表示） 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据任意角三角函数公式代入即可求得，再由即可得解； （2）由（1）知，再结合的范围即可得解. 【详解】（1），解得， 由，所以， 所以； （2）由， 由的终边与的终边在同一直线上， 所以， 由， 可取， 所有可能的值构成的集合为. 11．已知角的终边上有一点P，，且，求点P的坐标. 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据三角函数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】设点的坐标为，因为，所以， 又由，，可得， 解得，即点P的坐标为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答中熟记任意角的三角函数的定义，列出方程组是解答的关键，着重考查计算能力. 题型四、特殊角的三角函数值 1．已知，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据角的正弦值以及余弦值可直接写出角的取值. 【详解】依题意若，则可得，或， 若，则，或，； 因此当，时，则，； 故选：B 2．若点在角的终边上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定角的终边上点的坐标，再利用三角函数定义，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点在角的终边上，即， 则， 由三角函数的定义，可得． 故选：A 3．“”是“”的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值求解即可. 【详解】因为，可得或，故充分性不成立； 当时，可得，故必要性成立， 故”是“”的必要不充分条件， 故选：. 4．已知函数（a为常数），且，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据条件，求得，从而有，代入即可求解. 【详解】因为，又，则， 得，所以，则， 故选：C. 5．已知，，则 . 【答案】或 【分析】根据特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以或. 故答案为：或 6．设，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【详解】，则，，所以. 故答案为： 7．方程，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知，结合对应余弦值，则，即可得. 【详解】由题设，又，则，可得. 故答案为： 8．已知函数，则 . 【答案】 【分析】由已知解析式，应用周期性得，即可得. 【详解】由题设. 故答案为： 题型五、三种函数值在各象限的符号 1．已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限. 【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C 2．若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 3．“角为第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数符号以及充分、必要条件等知识可确定正确答案. 【详解】若是第三象限角，则； 若，如，则不是第三象限角. “角为第三象限角”是“”的的充分不必要条件. 故选：A. 4．若且同时成立，则是（    ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】B 【分析】利用三角函数值的符号判断所在象限即可. 【详解】因为，， 所以，即是第三象限角，故B正确. 故选：B 5．（多选）下列选项中，结果为正数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先算出的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：AC. 6．（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析选项中角所在的象限，再判断其三角函数值的符号即可. 【详解】对于A，因为， 所以是第二象限角，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以是第四象限角，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以是第二象限角，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以是第三象限角，所以，故D正确. 故选：ABD. 7．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 8．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的符号求解. 【详解】当为第一象限角时，，，均为正数， 因而； 当为第二象限角时，为正数，，均为负数， 因而； 当为第三象限角时，为正数，，均为负数， 因而； 当为第四象限角时，为正数，，均为负数， 因而． 综上，函数的值域为． 故答案为: ． 题型六、诱导公式一 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值得到答案. 【详解】. 故选：A 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：B 4．求下列三角函数值（参考数据） (1)(2)(3)(4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】利用诱导公式化简，结合和特殊角的三角函数值，求出答案. 【详解】（1） （2） （3） （4）. 5．计算： 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得结果； 【详解】易知 6．求下列各式的值： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用终边相同的角的同名三角函数值相等，化简求值. 【详解】（1）． （2） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $