2025-2026学年人教版九年级数学上册期末卷 01

2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 01 一、单选题 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意； B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．9的平方根是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义计算即可得出结论． 【详解】解：， 的平方根是， 故选：A． 3．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 4．如图，于，若的直径为，，则长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出的长是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ，的直径为， ， 于， ， ， ， 故选：D． 5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为(    )    A．70° B．80° C．84° D．86° 【答案】B 【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°. 【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°. ∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°， ∴∠B＝∠BB1A＝40°. ∴∠AB1C1＝40°. ∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°. 故选B. 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键. 6．已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　） A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上， ∴在的取值范围内，当时取得最大值11，当时，取得最小值2， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值． 7．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至，G为的中点．则的长是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】如图，过点C作于点F，延长交于点M，根据旋转的性质得到，证明四边形是矩形，得到，进而求出，根据G为的中点，证明，推出，求出，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作于点F，延长交于点M， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 9．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，由于抛物线所经过的M，N两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则是方程的两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解得情况的关系式求得a的取值范围，便可得出最后结果． 【详解】令，得 化简得 ∵二次函数（是常数，且）的图象过点， ∴， ∴； ∵ ∴，， ∴ 即； ∵的长不小于2 ∴ ， ∴． 故选：B． 10．如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 取的中点，可得，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点E作于F， 在中，，， ∴， ∴， 由旋转知，，， ∴，即有： ∴， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点， ∴当（点和点重合）时，最小，即点与点重合，最小，最小值为， 在中，， ∴，， 故线段长度的最小值是， 故选：C． 二、填空题 11．如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是 ． 【答案】x≥﹣1且x≠2 【详解】解：由题意得 ，解得x≥﹣1且x≠2． 故答案为：x≥﹣1且x≠2． 12．某校为迎接全国“创文创未”检查工作，从3名教师（其中，2男1女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创未”的相关检查工作，则恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为 ． 【答案】 【分析】列表将所有可能的结果表示出来，利用概率的定义求解即可． 【详解】解：根据题意列表得： 男1 男2 女 男1 男2男1 女男1 男2 男1男2 女男2 女 男1女 男2女 共有6种等可能出现的结果，其中恰好选中1名男教师和1名女教师的有4种结果， 恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 14．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5 15．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．    【答案】和 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴， 根据点坐标，有 所以点坐标    设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ 因为：，， 有 解得：， 所以点的坐标为: 当在的延长线上时， 在中，，, ∴ ∴ 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴ 又∵ ∴ 则为符合题意的点， ∵ ∴ 的横坐标：，纵坐标为； 综上E点的坐标为：或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键． 三、解答题 16．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法，因式分解法求一元二次方程，掌握其公式法，因式分解的方法是解题的关键． （1）确定，运用求根公式即可求解； （2）先提取公因式，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ∴， ∴； （2）解： 提取公因式得，， ∴或， 解得，． 17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 18．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：，，，，五个组，并绘制了如图1和图2所示的统计图． 请根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)本次抽取测试的学生有 人， ； (2)直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为 ； (3)根据调查结果，可估计该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有______人； (4)学校决定在A组4名学生（3男1女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)40，20 (2)见解析， (3)1700 (4) 【分析】（1）用C组的人数除以其所占百分比即得出总人数；用D组人数除以总人数乘即得出m的值； （2）求出B组的人数即可补全统计图；求出E组所占比例，再乘，即得出E组所占扇形圆心角的度数； （3）求出样本中成绩大于或等于80分的学生所占比例，再乘该校总人数即可； （4）列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找到符合题意的结果，最后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）人， ∴本次抽取测试的学生有40人； ， ∴． 故答案为：40，20； （2）B组的人数人， 故补全图1中统计图，如图所示， E组所占扇形圆心角的度数为． 故答案为：； （3）样本中成绩大于或等于80分的学生有人， ∴该校2000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有人． 故答案为：1700； （4）根据题意可列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 －－ 男2男1 男3男1 女男1 男2 男1男2 －－ 男3男2 女男2 男3 男1男3 男2男3 －－ 女男3 女 男1女 男2女 男3女 －－ 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有6种， ∴恰好选中一男一女的概率是． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体，列表法或树状图法求概率．理解题意，从条形统计图与扇形统计图中得到必要的信息和数据是解题关键．正确的列出表格或画出树状图也是解题关键． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断△的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查求二次函数的解析式，勾股定理的逆定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点D的坐标，然后计算，，的长，根据勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：是直角三角形，理由为： 在中令则 ∴的坐标是 ∴， 即 是直角三角形． 20．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 21．如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)，， (2)当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米 【分析】（1）由题意知，，，可求，由，可求，进而可得，由题意知，，整理作答即可； （2）由题意知，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 整理得，， ∵， ∴，则， 由题意知，， ∴，，； （2）解：由题意知，． ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 答：当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值是解题的关键． 22．如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且，连接交于点．    (1)如图1，若，则　 　； (2)如图2，是延长线上一点，连接，且． ①求证：与相切； ②若的半径为，，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角，得到，再利用等弧所对的圆周角相等，得到，然后利用三角形外角的性质，即可求出的度数； （2）①连接，根据等边对等角的性质，得出，再利用，得到，即可证明结论； ②根据等边对等角的性质，得出，再利用三角形内角和定理，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到，，即可求出的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线；    ②， ， ， ， ， ，， ， 由①知，， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键． 23．如图，在两个等腰直角和中，，点M为中点，点N为中点． (1)观察猜想： 如图1，点E在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、D、E三点处于同一条直线上时，请直接写出AM的长． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握相关判定方法及性质，能证出三角形全等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）由可判定，由全等三角形的性质得，，由直角三角形的特征得 ，由等腰三角形的性质得， ，即可求解； （2）由（1）同理 可证，由全等三角形的性质得，， 同理可得，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解； （3）①当在直线的上方时，作于，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；②当在直线的下方时时，作于，同理即可求解． 【详解】（1）解：和是等腰直角三角形， ，，， 在和中 ， ()， ，， ， 点M为中点，点N为中点， ，， ，，， ， ， ， ， ； 故答案：，； （2）解：成立； 理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，     ， ，  ， ， 在和中， ， （） ，， 点M为中点，点N为中点， ，， ， 在和中， ， （）， ，， ， ，   ， ； （3）解：①如图，当在直线的上方时，作于． ，， ， ，， 在中，， ， ； ②当在直线的下方时时，作于． 同理可得：， ， 综上所述：满足条件的的值为或． 24．已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求b、c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，直接写出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由的面积与的面积相等得，即可求解； （3）根据点P在抛物线和直线上求得，再由对称得，利用两点间距离公式求出点E坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （3）解：存在，点或， 设点， ∵点P在抛物线和直线上， ∴，， ∴， 解得，（舍）， ∴， 如图，由点P关于的对称点为点，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点E的坐标为， 即， ∴， 当时，则， 设点， 由，得， 解得， 则点， 当时，则， 同理，得， 综上所述，点或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，主要涉及用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，坐标系中两点间距离，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 01 一、单选题 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪” ，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 试卷第 1页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2 ．9 的平方根是 ( ) A ． ±3 B ．3 C ． ± 、 D ． ·、 3 ．将抛物线y = (x -1)2 +1先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ( ) A ． (-2, 3) B ． (-1, 4) C ． (3, 4 ) D ． (4, 3) 4 ．如图， OE 丄 AB 于E ，若ΘO 的直径为10cm ， OE = 3cm ，则 AB 长为（ ）. A ． 4cm B ． 5cm C ． 6cm D ． 8cm 5 ．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100° , 得到△AB1C1 ，若点 B1 在线段 BC 的延长线上，则∠BB1C1 的大小为( ) A ．70° B ．80° C ．84° D ．86° 6 ．已知二次函数y = x2 - 2x + 3 ，当-2 ≤ x ≤ 2 ，下列说法正确的是 ( ) A ．有最小值 11 B ．有最小值 3 C ．有最小值 2 D ．有最大值 3 7 ．如图，在3× 3 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形边长为 1 ，图中阴影部分的面积为 ( ) 5 7 5 7 5 7 5 7 A ． π 一 B ． π 一 C ． π 一 D ． π 一 2 4 2 2 4 4 4 2 8 ．如图，在 △ABC 中，ÐB = 90° , BC = 1 ，AB = 3 ，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转90O 至△ADE ，G 为EC 的中点．则DG 的长是 ( ) A ．1 B ． 、 C ．3 D ． ·、 9 ．已知二次函数y = ax2 + 2ax +3a 一 2(a是常数，且a ≠ 0) 的图象过点M(x1,一1) ， N (x2,一1) ，若MN 的长不小于2 ，则a 的取值范围是 ( ) A ． a ≥ B ． C ． 一 D ． a ≤ 一 10 ．如图，若Rt△ABC 中，上ACB = 90。，上B = 30。，AC = 2 ，P 是BC 边上一动点，连接AP ，把线段 AP 绕点A逆时针旋转60 。到线段AQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为 ( ) A ．1 B ．3 C ． 3 D ． 2 二、填空题 11．如果代数式 有意义，那么字母 x 的取值范围是 ． x 一 2 12 ．某校为迎接全国“创文创未”检查工作，从 3 名教师（其中，2 男 1 女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创未”的相关检查工作，则恰好选中 1 名男教师和 1 名女教师的概率为 ． 13 ．若(a2 + b2 )2 一 3(a2 + b2 )一 4 = 0 ，则代数式a2 + b2 的值为 ． 14．如图，△ABC 的内切圆O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，且 AD = 2 ，△ABC 的周长为 14，则BC的长为 ． 试卷第 2页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．如图，抛物线y = x2 一 6x + 5 与 x 轴交于点 A，B ，与y 轴交于点 C，点D(2, m ) 在抛物线上，点 E 在直线BC 上，若上DEB = 2上DCB ，则点 E 的坐标是 ． 三、解答题 16 ．用适当的方法解下列方程： (1) x2 一 4x 一 3 = 0 ； (2)(x 一 3)2 + 2x (x 一 3) = 0 ． 17 ．解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 18 ．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E (75 ≤ x < 80) ，D (80 ≤ x < 85) ，C (85 ≤ x < 90) ，B (90 ≤ x < 95) ，A (95 ≤ x ≤100) 五个组，并绘制了如图 1 和图2 所示的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)本次抽取测试的学生有 人， m = ； (2)直接补全图 1 中的统计图， 由扇形统计图知 E 组所占扇形圆心角的度数为 ； (3)根据调查结果，可估计该校 2000 名学生中，成绩大于或等于 80 分的学生约有______ 人； (4)学校决定在 A 组 4 名学生（3 男 1 女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一男一女的概率是多少？ 试卷第3页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．如图，抛物线y = ax2 + bx + c 的对称轴为直线x = 一1 ，与x 轴交于 A(一3, 0)，B (1, 0) 两点，与y 轴交于点C(0, 3)，设抛物线的顶点为D ． (1)求抛物线的表达式；(2)连接 AC，CD，DA ，试判断△ ACD 的形状，并说明理由． 20 ．我们规定：对于任意实数 a 、b 、c 、d 有[a, b]*[c, d ]= ac 一 bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： [3, 2]*[5, 1] = 3 × 5 一 2 × 1 = 13 ． (1)求[一4, 3]*[2, 一6] 的值； (2)已知关于 x 的方程[x, 2x 一1]*[mx +1, m] = 0 有两个实数根，求 m 的取值范围． 21 ．如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30 米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形 ABCD 花圃，墙长为 6 米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设BC 的长为 x 米，AB的长为y 米，矩形 ABCD 花圃的面积为 s 米2 ． (1)直接写出y 关于 x ，s 关于 x 的函数关系式以及自变量 x 的取值范围； (2)当BC 的长为多少时，矩形 ABCD 花圃的面积最大？最大面积为多少？ 试卷第 4页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 22．如图，△ABC 是ΘO 的内接三角形，AB 为ΘO 的直径，D 是直径 AB 下方一点，且 AD (一) = BD (一) ，连接CD 交 AB 于点E ． (1)如图 1 ，若 上A = 30O ，则上CEB = ； (2)如图 2 ， P 是 AB 延长线上一点，连接PC ，且PC = PE ． ①求证： PC 与ΘO 相切；②若ΘO 的半径为1 ， CE = CB ，求PB 的长． 23 ．如图，在两个等腰直角△ABC 和 △CDE 中， 上ACB = 上DCE = 90O ，点 M 为 AE 中点，点 N 为BD 中点． (1)观察猜想： 如图 1 ，点 E 在BC 上，线段CM与CN 的数量关系是______ ，位置关系是______； (2)探究证明： 把 △CDE 绕直角顶点 C 旋转到图 2 的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸： 把 △CDE 绕点 C 在平面内自由旋转，若AC = 13 ，DE = 10 ，当 A、D、E 三点处于同一条直线上时，请直接写出 AM的长． 试卷第5页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 24 ．已知抛物线y = x2 + bx + c 与 x 轴相交于 A(一1, 0) ，B 两点，与y 轴相交于点C(0, 一3) ． (1)求 b 、c 的值； (2)P 为第一象限抛物线上一点， △PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线 AP 的解析式； (3)在（2）的条件下，设 E 是直线BC 上一点，点 P 关于 AE 的对称点为点P’，试探究，是否存在满足条件的点 E，使得点P’恰好落在直线BC 上，如果存在，直接写出点 P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第6页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $