5.7二次函数的应用同步练习2025-2026学年青岛版（2012）数学九年级下册

二次函数的应用 一、单选题 1．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 3．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 4．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 8．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 10．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 11．用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？ 12．某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 13．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 14．当用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面竖直向上抛时，小球距离地面的高度h和时间t满足函数关系式：（不计空气阻力），当小球达到最高点时，时间t的值为 ． 15．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 16．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 三、解答题 17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      18．A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 19．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A A C B D C C 1．D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 令，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和， 即小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D 3．C 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 6．C 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当时的函数值即可判断①；求出函数值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案． 【详解】解：当时，，故①正确； ， 当时，飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行了，故②③正确； 综上，三个全部正确； 故选：D． 9．C 【分析】本题考查二次函数上点的坐标，把代入得到， 根据方程解得情况解答即可． 【详解】解：把代入得到： ， 当且时，a不存在， 即或时，点P一定不在抛物线上， 当时，，则，不符合题意， 即时，点P一定不在抛物线上， 故答案为：C． 10．C 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据长方形面积公式列出函数解析式，将其配方成顶点式是解题的关键． 根据题意表示出矩形的另一边长，再根据长方形面积公式列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出其最值情况． 【详解】解：根据题意，矩形的一边长为米，则另一边长为米， ， 即当时，， 故答案为：． 12．不会 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 13．8 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得， 代入函数关系式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 由题意可设，代入抛物线的解析式，得：， ∴， ∴， ∴（米）， ∴最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故答案为：8． 14．1 【分析】这道题考查二次函数的性质，具体是利用二次函数的顶点式来求小球达到最高点的时间，解题关键是理解对于二次函数，可以化为顶点式，当时，抛物线开口向下，顶点为函数的最大值点．先将化为顶点式，由即可求出小球达到最高点时的t值． 【详解】解：， ， ， 当，时有最大值为5，即小球达到最高点， 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 16．1 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 17．此时水面的宽度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 18．(1)与的函数表达式为 (2)当时，周销售利润最大，最大利润为元； 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． （1）设，把和代入可得解析式． （2）根据利润（售价进价）数量，得，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大值． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）由题意得：， ， 当时，周销售利润最大，最大利润为元． 19．(1) (2)，w的最大值为338；最小值为240 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到答案； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，即可求得w；由二次函数的性质可求得w的最大值和最小值． 【详解】（1）根据题意，得． 与x之间的函数关系式为，其中且为正整数. （2）根据题意，得,其中且为正整数. ，抛物线的开口向下． 当时，w取最大值，． 抛物线的对称轴为直线，且， ∵， 当时，取最小值，． 与x之间的函数关系式为，w的最大值为338，最小值为240． 20．(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数的应用 一、单选题 1．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 3．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 4．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 8．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为； ②飞机着陆后滑行才能停下来； ③飞机着陆后滑行才能停下来． 其中，正确的结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（   ） A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上 10．下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 11．用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？ 12．某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 13．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 14．当用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面竖直向上抛时，小球距离地面的高度h和时间t满足函数关系式：（不计空气阻力），当小球达到最高点时，时间t的值为 ． 15．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 16．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 三、解答题 17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      18．A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 19．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $