5.4二次函数的图像和性质同步练习2025-2026学年青岛版（2012）数学九年级下册

二次函数的图像和性质 一、单选题 1．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 2．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 3．如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 6．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 12．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 13．已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 14．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 15．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 16．把函数的图象沿x轴向左平移2个单位后，可以得到函数 的图象． 三、解答题 17．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 18．已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 19．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 20．已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D A B C B C C 1．D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 2．B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 3．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 4．D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键． 根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答． 【详解】解：中，当时，； 中，当时，； ∴两个函数同时经过点，即与y轴的交点为同一个点， ∴由选项得只有D选项符合题意 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性成为解题的关键． 根据抛物线的对称性以及表格数据即可解答． 【详解】解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查的是抛物线轴对称性，解答关键是利用数形结合解答问题．求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换，然后问题可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是； 故选C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 9．C 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 11．下降 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 12． 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 14．①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 15．1 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：1． 16． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：把函数的图象沿x轴向左平移2个单位后，所得函数图象的关系式是：． 故答案为：． 17．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 18．(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 19．(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 20．(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）配成顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像和性质 一、单选题 1,关于二次函数y=x2+4x+1,下列说法正确的是（) A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是2,5) C.该函数的最大值是5 D.当x>-2时，y随x的增大而增大 2.在一次函数y=x+b(k≠0)中，y随x的增大而减小，则二次函数y=kx-1)的图像大致 是() 平 3.如图是关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列结论正确的是() A.bc>0 B.ac>0 C.abx0 D.abe>0 4.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 答案第1页，共2页 D 5.在函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线() 3 4 3 A.x= B.x= C.x=2 D.x=-2 2 2 6.如图，抛物线y=ax2-3ax-aa>0)与x轴相交于A,B两点，与y轴交于点C,点D在 该抛物线上，且CD∥AB,则线段CD的长为() A.2 B.3 C.3a D.6a 7.将抛物线y=弓向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解所式是（) 1 A.y=-2x++1 1 B.y=-5(x-12-1 1 C.y=-2x+12-1 1 D.y=-2x-1+1 8.抛物线y=-4x2+3的顶点坐标是() A.3,0) B.(0,3 C.-3,0 D.(0,-3 9.如图，在ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P,Q两点 分别从A,B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S与出发时间t的函 数关系图象大致是() 答案第1页，共2页 SA A. 01237 23 S 3- D 01237 01237 10.一次函数y=a+b与反比例函数y=二在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次 函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 二、填空题 11.抛物线y=-x2+3在y轴右侧部分呈现的趋势（填“上升”或者“下降”） 答案第1页，共2页 12.二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点坐标是 13.己知点(-1，)，（-4，y2)在二次函数y=x2+4x-3的图象上，则y,y2的大小关系是： （填“>”，“<”或“=”) 14.从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c<0;②abc>0;③a-b+c>0:④2a+b>0,你认为其中正确信息的有，（填 写序号) 15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标 为(-1,4)，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 (-1,4. 16.把函数y=x2-1的图象沿x轴向左平移2个单位后，可以得到函数 的 图象。 三、解答题 17已知函数y=x-+2 (①)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值. (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 答案第1页，共2页 18.己知二次函数y=-(x-m)+m2+1(m是常数) (1)若m=-1, ①该函数的顶点坐标为 ②当-2≤x≤2时，该函数的最大值 ③当1≤x≤3时，该函数的最大值为 (2)当-2≤x≤1时，该函数的最大值为4，则常数m的值为 19.已知二次函数y=x2-2x+3,解决以下问题： (1)将其化成y=a(x-h)2+k的形式：； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图： -1 01 3 6 答案第1页，共2页 3 2 5-4-32-10 2345x -5 (3)增减性：当x时，y随x增大而增大；当x时，y随x增大而减小。 20.已知二次函数y=x2-2x-3. (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (②)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； -1 0 1 3 -3 -4 0 5 1 -5-4-3-2 10 2 345 3 4 5 答案第1页，共2页 (3)根据图象回答下列问题： ①当y>-3时，x的取值范围为_； ②当0<x<3时，y的取值范围为：-； ③当x<k(化是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件：一： 答案第1页，共2页