期末培优讲义05：三角函数常考公式16个题型讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

这份高中数学期末培优讲义以题型为框架，系统梳理了三角函数常考公式题型，涵盖弧长扇形面积公式、同角公式、诱导公式等16个核心题型，通过方法技巧归纳与经典例题解析，构建了从基础公式到综合应用的知识网络。 讲义亮点在于方法技巧的结构化呈现，如“奇变偶不变，符号看象限”等，结合生活实例（如折扇问题）和经典例题，培养学生的数学思维和解题能力。例题与小试牛刀结合，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生形成解题策略，教师可采用分层教学。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末培优讲义05：三角函数常考公式题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：弧长扇形面积公式】 【方法技巧】 一、核心公式 设圆心角为（弧度制），扇形半径为，弧长为，扇形面积为，则： 1.弧长公式：； 2.扇形面积公式： 二、方法技巧 1.单位统一优先：计算前需将圆心角转化为弧度制，避免角度制直接代入公式； 2.公式选择策略：已知和时，直接用求弧长；已知和时，优先用求面积； 3.角度制转换：若圆心角为角度制，需先转化为弧度，再代入公式； 4.实际应用验证：结合图形，弧长和面积应为正数，可通过结果符号辅助验证计算正确性. （2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ．经典例题例题 （24-25高一上·江苏盐城·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度．小试牛刀1 （24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 .小试牛刀3 【题型2：任意角的三角函数】 【方法技巧】 一、核心公式 设任意角的终边上一点为，点到原点的距离为，则： 1.； 2.； 3. 二、方法技巧 1.象限符号判断：根据终边所在象限，确定、的正负，进而判断三角函数的符号； 2.特殊角记忆：熟记、、、、等特殊角的三角函数值； 3.终边在坐标轴上的情况：若终边在轴上，，则；若在轴上，，则无意义； 4.单位圆简化：若（单位圆），则、，可直接用终边与单位圆交点坐标求三角函数值. （24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·四川德阳·期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）小试牛刀3 A．-6 B． C． D． 【题型3：同角公式“知一求二”】 【方法技巧】 一、核心公式 对任意角，有： 1.平方关系：； 2.商数关系：。 二、方法技巧 1.符号确定优先：先根据的象限，确定待求三角函数的符号； 2.联立方程求解：已知（或），结合平方关系求（或），再用商数关系求； 3.已知的处理：可设、（），代入平方关系求，进而得、； 4.开方注意正负：由平方关系开方时，需结合的象限确定符号，避免漏解. （24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ．经典例题例题 （24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：同角公式“和差积”的关系】 【方法技巧】 一、核心公式（ 对任意角，有： 1.； 2.； 3.. 二、方法技巧 1.知一求二：已知、、中的任意一个，可通过平方关系求另外两个； 2.范围辅助判断：利用、，辅助确定符号或验证结果； 3.化简应用：遇到与的混合式子，可通过平方关系转化为单一形式. （25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 （24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：同角公式的“弦化切”题型】 【方法技巧】 一、核心思路 将含、的式子，通过除以（或），转化为含的式子（）. 二、方法技巧 1.齐次式处理：若式子是、的齐次式（各项次数相同），分子分母同除以（为次数），转化为的表达式； 例：； 2.含“1”的式子：利用将式子化为齐次式，再弦化切； 3.特殊情况：若，则无意义，需单独验证此情况是否成立. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）（1）求值．经典例题例题 （2）已知，求的值． （25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若，求的值. （24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 （24-25高一上·广东深圳·期末）化简求各式的值：小试牛刀3 (1)； (2) (3)已知，计算的值； 【题型6：诱导公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心规则 诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： 设角为，将原式化为的形式（）； “奇变偶不变”：为奇数时，三角函数名改变（，不变）；为偶数时，三角函数名不变； “符号看象限”：将视为锐角，判断所在象限，确定原式的符号. 二、方法技巧 1.逐步化简：多步诱导时，按“奇变偶不变，符号看象限”逐步转化，避免一次处理多个诱导项； 2.符号优先确定：先确定化简后的符号，再写三角函数名与角； 3.特殊角结合：化简后若角为特殊角，直接代入其三角函数值计算. （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中.经典例题例题 (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. （25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值.小试牛刀1 (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【多选题】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）已知，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·广东汕头·期末）（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：诱导公式中”角的拼凑”】 【方法技巧】 一、核心思路 将所求角拼凑为“已知角+特殊角（或、的整数倍）”，再利用诱导公式转化为已知角的三角函数. 二、方法技巧 1.角的关系分析：观察所求角与已知角的和、差是否为、等特殊角，例： ； ； 2.拼凑后化简：将所求角代入诱导公式，转化为已知角的三角函数，再代入已知值计算； 3.符号独立判断：拼凑后的角所在象限，需单独判断以确定符号，与已知角的象限无关. （24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且，求的值为（   ）经典例题例题 A． B． C．0 D． （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知.小试牛刀1 (1)化简； (2)若，求. （24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·河南新乡·期末）（1）已知，求的值；小试牛刀3 （2）化简： 【题型8：两角和差公式的逆用】 【方法技巧】 一、核心公式（微软Word公式格式） 1.正弦逆用：； ； 2.余弦逆用：； ； 3.正切逆用：； . 二、方法技巧 1.公式结构匹配：观察式子的系数、函数名，匹配两角和差公式的右边形式； 2.系数调整：若式子有系数（如），可转化为； 3.符号一致：逆用公式时，注意式子的符号与公式右边的符号保持一致，避免符号错误. （24-25高二下·云南·期末）（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏连云港·月考）下列等式正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：两角和差公式中“角的拼凑”】 【方法技巧】 一、核心思路 将所求角表示为“已知角的和或差”，例： ； ； 。 二、方法技巧 1.角的分解优先：分析所求角与已知角的数量关系，确定拼凑方式； 2.代入公式计算：将拼凑后的角代入两角和差公式，展开后代入已知角的三角函数值； 3.范围辅助符号：若已知角的范围，可推导拼凑后角的范围，确定三角函数的符号. （2025·广东深圳·二模）若，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知为锐角，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一上·广东清远·期末）已知为锐角，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求的值. （24-25高一上·陕西西安·期末）已知，满足，，，，则 ．小试牛刀3 【题型10：两角和差公式中的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦和差：； 2.余弦和差：； 3.正切和差：. 二、方法技巧 1.已知角优先代入：先确定已知角的三角函数值，再代入公式； 2.范围确定符号：若已知角的范围，先确定其三角函数的符号，避免代入错误值； 3.复杂式子化简：先利用诱导公式等化简式子，再代入两角和差公式计算； 4.正切公式注意分母：使用正切和差公式时，需保证分母. （2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ）经典例题例题 A．7 B． C． D． （24-25高二下·河南周口·期末）已知，，则 .小试牛刀1 （24-25高一下·山东威海·期末）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，.小试牛刀3 (1)求的值； (2)求的值. 【题型11：二倍角公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦二倍角：； 2.余弦二倍角（三种形式）： ； 3.正切二倍角：. 二、方法技巧 1.余弦二倍角形式选择： 降幂：用、； 升幂：用、； 2.“1”的代换：利用，结合二倍角公式化简式子； 3.正切二倍角注意：若，则，无意义； 4.二倍角的延伸：如，可多次应用二倍角公式. （24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则 ．经典例题例题 （24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知.小试牛刀1 (1)求的值； (2)若是第一象限角，，求的值. （24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·山东潍坊·期中）已知角的终边在第三象限，，则等于（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型12：辅助角公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 对任意实数、，有： 其中（或，），的象限由、的符号确定. 二、方法技巧 1.系数计算准确：的计算需准确，避免开方错误； 2.辅助角的确定：由、的符号确定所在象限，再结合确定（常用特殊角，如、）； 3.化简后应用：化简为后，可求最值、周期、单调性等； 4.符号一致：注意公式中的符号，与、的符号保持对应. 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）.经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·云南昆明·期末）已知，则 .小试牛刀2 （24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型13：和差化积公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦和差化积： ； ； 2.余弦和差化积： ； . 二、方法技巧 1.公式结构记忆：注意和差化积公式的系数（均为2）、角的形式（与）； 2.角的匹配：将式子中的角转化为和，再套用公式； 3.符号注意：的公式前有负号，避免遗漏； 4.与积化和差互逆：化简后若出现积的形式，可结合积化和差公式进一步化简. （24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： .小试牛刀1 ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. （23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型14：综合类型的给值求值】 【方法技巧】 一、核心思路 结合“同角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式”等，将所求角转化为已知角的组合，逐步化简求值. 二、方法技巧 1.步骤拆解：将求值过程拆分为“角的转化→公式选择→代入计算”三步； 2.中间量求解：若直接代入困难，先求中间量（如、）； 3.符号多层验证：每一步转化后，均需结合角的范围确定三角函数的符号； 4.公式优先顺序：优先用诱导公式化简角，再用同角或和差公式计算. （25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ．小试牛刀1 （24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．5 （24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型15：综合类型给值求角】 【方法技巧】 一、核心步骤 1.求角的三角函数值：选择一个能唯一确定角的三角函数（如范围在时选，范围在时选）； 2.确定角的范围：结合已知条件，尽可能缩小角的范围（如由且确定）； 3.确定角的大小：结合三角函数值与角的范围，确定角（常用特殊角）. 二、方法技巧 1.三角函数选择：优先选择在角的范围内单调的三角函数，避免多值； 2.范围缩小：利用已知角的范围、三角函数的符号等，多次缩小所求角的范围； 3.特殊角验证：若求得的三角函数值对应特殊角，直接验证该角是否在范围内. （24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则以下说法正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型16：半角公式与万能公式】 【方法技巧】 一、核心公式 1.半角公式（，）： ； ； ； 2.万能公式（，）： ； ； 。 二、方法技巧 1.半角公式符号：由的象限确定、的符号； 2.半角正切的无根号形式：优先用，避免符号判断； 3.万能公式应用：将所有三角函数转化为的式子，适用于齐次式或需要统一变量的题型； 4.特殊情况：若，则，半角公式中、有意义，需单独计算. （24-25高二下·河南周口·期末）已知，且，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .小试牛刀1 （24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 .小试牛刀2 （23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末培优讲义05：三角函数常考公式题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：弧长扇形面积公式】 【方法技巧】 一、核心公式 设圆心角为（弧度制），扇形半径为，弧长为，扇形面积为，则： 1.弧长公式：； 2.扇形面积公式： 二、方法技巧 1.单位统一优先：计算前需将圆心角转化为弧度制，避免角度制直接代入公式； 2.公式选择策略：已知和时，直接用求弧长；已知和时，优先用求面积； 3.角度制转换：若圆心角为角度制，需先转化为弧度，再代入公式； 4.实际应用验证：结合图形，弧长和面积应为正数，可通过结果符号辅助验证计算正确性. （2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ．经典例题例题 【答案】 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. （24-25高一上·江苏盐城·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度．小试牛刀1 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角和半径，由周长和面积建立方程组，解出圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则，则. 故答案为：2. （24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为，， 由得： . 所以几何图形的面积为：. 故选：B （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据扇形的弧长与面积公式计算即可求解. 【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，所以， 所以扇形面积为. 故答案为： 【题型2：任意角的三角函数】 【方法技巧】 一、核心公式 设任意角的终边上一点为，点到原点的距离为，则： 1.； 2.； 3. 二、方法技巧 1.象限符号判断：根据终边所在象限，确定、的正负，进而判断三角函数的符号； 2.特殊角记忆：熟记、、、、等特殊角的三角函数值； 3.终边在坐标轴上的情况：若终边在轴上，，则；若在轴上，，则无意义； 4.单位圆简化：若（单位圆），则、，可直接用终边与单位圆交点坐标求三角函数值. （24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义解决即可. 【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得 ， 因为，即， 由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错； 对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错； 对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确； 对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错. 故选：C. （24-25高一下·四川德阳·期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“不动点”定义求出，再利用三角函数定义求解即可. 【详解】由，得，解得，点， 所以. 故选：A （24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）小试牛刀3 A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 【题型3：同角公式“知一求二”】 【方法技巧】 一、核心公式 对任意角，有： 1.平方关系：； 2.商数关系：。 二、方法技巧 1.符号确定优先：先根据的象限，确定待求三角函数的符号； 2.联立方程求解：已知（或），结合平方关系求（或），再用商数关系求； 3.已知的处理：可设、（），代入平方关系求，进而得、； 4.开方注意正负：由平方关系开方时，需结合的象限确定符号，避免漏解. （24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ．经典例题例题 【答案】 【分析】根据，且为锐角，推出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 故． 故答案为：. （24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. （24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． （24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知角在第二象限，所以，结合以及解出即可. 【详解】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①   ② 联立解得：， 故选：D. 【题型4：同角公式“和差积”的关系】 【方法技巧】 一、核心公式（ 对任意角，有： 1.； 2.； 3.. 二、方法技巧 1.知一求二：已知、、中的任意一个，可通过平方关系求另外两个； 2.范围辅助判断：利用、，辅助确定符号或验证结果； 3.化简应用：遇到与的混合式子，可通过平方关系转化为单一形式. （25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方整理得到，由得到，由得到，从而得到，由和得到，求出利用求出，联立和的等式，解得和，利用求出，从而得到答案. 【详解】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故答案为：D. （25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】 ，，即， 那么，即D正确. 故选：D． （24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 【多选题】（24-25高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 【题型5：同角公式的“弦化切”题型】 【方法技巧】 一、核心思路 将含、的式子，通过除以（或），转化为含的式子（）. 二、方法技巧 1.齐次式处理：若式子是、的齐次式（各项次数相同），分子分母同除以（为次数），转化为的表达式； 例：； 2.含“1”的式子：利用将式子化为齐次式，再弦化切； 3.特殊情况：若，则无意义，需单独验证此情况是否成立. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）（1）求值．经典例题例题 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据指数、对数的运算法则计算求值. （2）利用弦化切求齐次式的值. 【详解】（1）原式 . （2）因为 . （25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以 . 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. （24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A （24-25高一上·广东深圳·期末）化简求各式的值：小试牛刀3 (1)； (2) (3)已知，计算的值； 【答案】(1) (2)0 (3)0 【分析】（1）根据指数的运算性质即可解出； （2）根据对数的运算性质即可解出. （3）由，可得，然后由可得答案； 【详解】（1）由题意，. （2）由题意， . （3）由，化简得，因此. 所以 ； 【题型6：诱导公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心规则 诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： 设角为，将原式化为的形式（）； “奇变偶不变”：为奇数时，三角函数名改变（，不变）；为偶数时，三角函数名不变； “符号看象限”：将视为锐角，判断所在象限，确定原式的符号. 二、方法技巧 1.逐步化简：多步诱导时，按“奇变偶不变，符号看象限”逐步转化，避免一次处理多个诱导项； 2.符号优先确定：先确定化简后的符号，再写三角函数名与角； 3.特殊角结合：化简后若角为特殊角，直接代入其三角函数值计算. （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中.经典例题例题 (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3)； 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. （25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值.小试牛刀1 (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由诱导公式化简原式，然后代入求值； （2）由同角三角函数的关系求出，（i）分子分母同除，得到关于的代数式，然后代值求结果；（ii）由诱导公式化简代数式，然后代值求结果. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 【多选题】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）已知，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】已知及的范围，结合同角三角函数的基本关系可以求出，进而可得，再结合诱导公式对选项进行验证即可. 【详解】因为，所以，则． 则，， ，． 故选：AC （24-25高一下·广东汕头·期末）（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的奇偶性、周期性和特殊角的三角函数值直接求解即可. 【详解】， 故选：B 【题型7：诱导公式中”角的拼凑”】 【方法技巧】 一、核心思路 将所求角拼凑为“已知角+特殊角（或、的整数倍）”，再利用诱导公式转化为已知角的三角函数. 二、方法技巧 1.角的关系分析：观察所求角与已知角的和、差是否为、等特殊角，例： ； ； 2.拼凑后化简：将所求角代入诱导公式，转化为已知角的三角函数，再代入已知值计算； 3.符号独立判断：拼凑后的角所在象限，需单独判断以确定符号，与已知角的象限无关. （24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且，求的值为（   ）经典例题例题 A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为， 所以，且，所以， 则. 故选：B. （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知.小试牛刀1 (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简求值； （2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案. 【详解】（1）； （2）由可得， 则. （24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. （24-25高一下·河南新乡·期末）（1）已知，求的值；小试牛刀3 （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简即得； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式，化简求解即可. 【详解】（1）因，则； （2）. 【题型8：两角和差公式的逆用】 【方法技巧】 一、核心公式（微软Word公式格式） 1.正弦逆用：； ； 2.余弦逆用：； ； 3.正切逆用：； . 二、方法技巧 1.公式结构匹配：观察式子的系数、函数名，匹配两角和差公式的右边形式； 2.系数调整：若式子有系数（如），可转化为； 3.符号一致：逆用公式时，注意式子的符号与公式右边的符号保持一致，避免符号错误. （24-25高二下·云南·期末）（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】. 故选：B （24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【详解】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. （24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. （24-25高一下·江苏连云港·月考）下列等式正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 【题型9：两角和差公式中“角的拼凑”】 【方法技巧】 一、核心思路 将所求角表示为“已知角的和或差”，例： ； ； 。 二、方法技巧 1.角的分解优先：分析所求角与已知角的数量关系，确定拼凑方式； 2.代入公式计算：将拼凑后的角代入两角和差公式，展开后代入已知角的三角函数值； 3.范围辅助符号：若已知角的范围，可推导拼凑后角的范围，确定三角函数的符号. （2025·广东深圳·二模）若，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. （23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知为锐角，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得. 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A （23-24高一上·广东清远·期末）已知为锐角，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可； （2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）， . . 又为锐角， ， ； （2）由（1）可知. ，且为锐角， ， （24-25高一上·陕西西安·期末）已知，满足，，，，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以， ， 则 故答案为: 【题型10：两角和差公式中的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦和差：； 2.余弦和差：； 3.正切和差：. 二、方法技巧 1.已知角优先代入：先确定已知角的三角函数值，再代入公式； 2.范围确定符号：若已知角的范围，先确定其三角函数的符号，避免代入错误值； 3.复杂式子化简：先利用诱导公式等化简式子，再代入两角和差公式计算； 4.正切公式注意分母：使用正切和差公式时，需保证分母. （2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ）经典例题例题 A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的两角和差公式，先求出，再用同角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 则， 又因为可得由， 可知即， 所以. 故选:D. （24-25高二下·河南周口·期末）已知，，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】结合题设，根据两角和与差的余弦、正弦公式得到，，两式相除即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 所以. 故答案为：. （24-25高一下·山东威海·期末）已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用两角差点余弦公式先求，再根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 所以， 故选：A. （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，.小试牛刀3 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式，化简题目条件，根据同角三角函数关系中的商数关系，求出结果； （2）根据二倍角的正弦公式，由弦化切，求出结果即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. 因为， 所以. 得. （2）由（1）知， 因为， 所以. 【题型11：二倍角公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦二倍角：； 2.余弦二倍角（三种形式）： ； 3.正切二倍角：. 二、方法技巧 1.余弦二倍角形式选择： 降幂：用、； 升幂：用、； 2.“1”的代换：利用，结合二倍角公式化简式子； 3.正切二倍角注意：若，则，无意义； 4.二倍角的延伸：如，可多次应用二倍角公式. （24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则 ．经典例题例题 【答案】/ 【分析】方法一：先利用二倍角公式，结合同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角公式结合弦化切进行求值. 方法二：分子分母同乘以，利用平方关系求值. 【详解】法1： ，解得：， . 法2：∵， ∴ 又，，∴. 故答案为： （24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知.小试牛刀1 (1)求的值； (2)若是第一象限角，，求的值. 【答案】(1)2或 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和同角的三角函数基本关系式计算即得； （2）结合（1）已得，以及题设条件进行拆角变换，先求出的值，再利用和差角公式以及弦切互化计算即可. 【详解】（1） 即，解得或. （2）由是第一象限角，由（1）可知，，又， 因为 ， 故. （24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可求，再用正切函数的二倍角公式求解即可. 【详解】，， 由，所以，所以，所以，所以. 故选：A （24-25高一下·山东潍坊·期中）已知角的终边在第三象限，，则等于（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合角的范围利用二倍角正切公式求得，然后利用诱导公式及“1”的代换技巧将所求式子化为，代入求解即可. 【详解】由，可得， 即，解得或. 又角的终边在第三象限，故， 故 . 故选：D 【题型12：辅助角公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 对任意实数、，有： 其中（或，），的象限由、的符号确定. 二、方法技巧 1.系数计算准确：的计算需准确，避免开方错误； 2.辅助角的确定：由、的符号确定所在象限，再结合确定（常用特殊角，如、）； 3.化简后应用：化简为后，可求最值、周期、单调性等； 4.符号一致：注意公式中的符号，与、的符号保持对应. 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）.经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. （24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简得到，由得到和的关系，从而得解 【详解】 其中，，， 依题意得，，， ，，，， ， 故选：C． （24-25高二下·云南昆明·期末）已知，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以， 令，则， . 故答案为： （24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 【题型13：和差化积公式的化简求值】 【方法技巧】 一、核心公式 1.正弦和差化积： ； ； 2.余弦和差化积： ； . 二、方法技巧 1.公式结构记忆：注意和差化积公式的系数（均为2）、角的形式（与）； 2.角的匹配：将式子中的角转化为和，再套用公式； 3.符号注意：的公式前有负号，避免遗漏； 4.与积化和差互逆：化简后若出现积的形式，可结合积化和差公式进一步化简. （24-25高三下·江苏南通·月考）已知，，，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. （23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： .小试牛刀1 ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证； ②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明； （2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解. 【详解】（1）①，， 即. ②在中，，则， 即，结合①结论， 又， ， 又， 即. （2）同①有 ， 又，， ①，②， ②①式得， 即. （23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知，，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． （23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 【题型14：综合类型的给值求值】 【方法技巧】 一、核心思路 结合“同角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式”等，将所求角转化为已知角的组合，逐步化简求值. 二、方法技巧 1.步骤拆解：将求值过程拆分为“角的转化→公式选择→代入计算”三步； 2.中间量求解：若直接代入困难，先求中间量（如、）； 3.符号多层验证：每一步转化后，均需结合角的范围确定三角函数的符号； 4.公式优先顺序：优先用诱导公式化简角，再用同角或和差公式计算. （25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D （24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求. 【详解】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. （24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. （24-25高三上·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意切化弦可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：C. 【题型15：综合类型给值求角】 【方法技巧】 一、核心步骤 1.求角的三角函数值：选择一个能唯一确定角的三角函数（如范围在时选，范围在时选）； 2.确定角的范围：结合已知条件，尽可能缩小角的范围（如由且确定）； 3.确定角的大小：结合三角函数值与角的范围，确定角（常用特殊角）. 二、方法技巧 1.三角函数选择：优先选择在角的范围内单调的三角函数，避免多值； 2.范围缩小：利用已知角的范围、三角函数的符号等，多次缩小所求角的范围； 3.特殊角验证：若求得的三角函数值对应特殊角，直接验证该角是否在范围内. （24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． （24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则以下说法正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD （24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 【题型16：半角公式与万能公式】 【方法技巧】 一、核心公式 1.半角公式（，）： ； ； ； 2.万能公式（，）： ； ； 。 二、方法技巧 1.半角公式符号：由的象限确定、的符号； 2.半角正切的无根号形式：优先用，避免符号判断； 3.万能公式应用：将所有三角函数转化为的式子，适用于齐次式或需要统一变量的题型； 4.特殊情况：若，则，半角公式中、有意义，需单独计算. （24-25高二下·河南周口·期末）已知，且，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用半角公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C （24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .小试牛刀1 【答案】/ 【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： （24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. （23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $