精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期末（第一章~第六章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同． 故选：A． 2. 一元二次方程 配方的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用：先把二次项系数化为1，把常数项移到等号的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，即可作答． 【详解】解：原式移项，得 则 即 故选：C 3. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为， 故选：C． 4. 如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，求得相似比，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长 故选：A． 5. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形、矩形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定，菱形、矩形的性质进行判断即可得答案． 根据平行四边形、矩形、菱形的性质及平行四边形的判定方法逐一分析选项即可。 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 7. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是_____．（只需写出一个即可） 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：， ∴的值可能是， 故答案为：． 11. 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为3m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为m，则树的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为， 由题意得，， 解得， 墙上的影子长为， 树的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图像经过点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，作轴，垂足为，证明，得到，继而，再根据，，得到，则，最后由即可得解．解题的关键是熟练掌握反比例函数值的几何意义：反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：作轴，垂足为， ∵轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为_____________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形； 连接、、、、，作．先求出的面积，再求出高，利用勾股定理求出、、，利用线段和差求出即可． 【详解】解：连接、， ， 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， 连接， 点 E、F分别是、边上的中点， ，， 在中 , 同理在中 ， ， 在中 点 E分别是 边上的中点， ， 为等边三角形， ， 连接， ， ，，， ， ， 过F作， ， ， 在中 ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接利用配方法解一元二次方程，即可得到答案； （2）先移项，然后利用提公因式法解一元二次方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ∴， 解得； 【小问2详解】 解： 或， 解得． 15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶因标签被污染而无法识别的无色溶液，分别是A（盐酸溶液，呈酸性），B（硝酸钾溶液，呈中性），C（氢氧化钠溶液，呈碱性），D（氢氧化钾溶液，呈碱性）．小宁同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是________； （2）若小宁将酚酞分别随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求这两种样本溶液恰好都不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都不变色的有2种， ∴两种样本溶液恰好都不变色的概率为． 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 【解析】 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 17. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： （1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件． （2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 降价元后的月销售量为件 故答案为： 【小问2详解】 解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 18. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 【答案】（1） 解：所求图形，如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则； ②根据角的平分线的基本作图，解答即可； ③用直尺连接． （2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可． 本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵根据作图，平分，则， 又，, ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作交于G， 又，， ∴， ， ∴菱形的面积为． 19. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）先由（2）得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； （3）在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ，    ． 20. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示． 是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P， 图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）略 （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示， ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级数学（上册）学科素养形成练习 期末（第一章~第六章） （满分：100分） 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 2. 一元二次方程 配方的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 4. 如图，与位似，位似中心是点O，且，若的周长为5，则的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 5. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为______． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是_____．（只需写出一个即可） 11. 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为3m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为m，则树的高度为______m． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图像经过点，若，则__________． 13. 如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为_____________________ 三、解答题（本题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶因标签被污染而无法识别的无色溶液，分别是A（盐酸溶液，呈酸性），B（硝酸钾溶液，呈中性），C（氢氧化钠溶液，呈碱性），D（氢氧化钾溶液，呈碱性）．小宁同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． （1）若小宁将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是________； （2）若小宁将酚酞分别随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求这两种样本溶液恰好都不变色的概率． 16. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 17. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： （1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 18. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 19. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 20. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $