3.7 切线长定理课件 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕切线长定理展开，通过“过圆外一点画切线”的动手操作导入，引出切线长概念，进而探究图形对称性、证明定理，延伸至圆外切四边形性质及三角形内切圆应用，构建从概念到定理再到应用的学习支架。 其亮点在于融合动手探究与逻辑推理，画图导入培养几何直观，全等证明发展推理意识，方程求解内切圆半径体现模型意识。课堂小结明确辅助线方法与结论，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学，提升学生数学素养。

第三章　圆 3.7 切线长定理 北师版 九年级 数学（下） 全品初中 导入新课 P O A B O′ 如图，过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看． 2条 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. O P A B PA、PB就是点P到⊙O的切线长. 探究新知 切线与切线长的区别与联系： O P A B 切线是一条与圆相切的直线. 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长. 探究新知 O P 如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 是轴对称图形，对称轴是直线 OP . A B 探究新知 O P 如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. A B （2）在这个图中 你能找到相等的线段吗？说说你的理由. PA = PB 该如何证明？ 探究新知 O P A B 已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. 求证：PA=PB. 证明：连接 OA，OB. ∵PA，PB 是 ⊙O 的切线， ∴∠PAO = ∠PBO = 90°. 在 Rt△POA 和 Rt△POB中， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴Rt△POA ≌ Rt△POB. ∴ PA = PB. 探究新知 7 O P A B 符号语言表达 ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点， ∴ PA=PB . 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 探究新知 你还知道这两个角是什么关系吗？ O P A B ∠APO=∠BPO 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 思考: ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO. 符号语言表达 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ A B O C D E F G H 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即 AD＋BC＝AB＋CD. 分析：设四边形ABCD的四条边分别与⊙O相切于点E，F，G，H. 由过点A的切线可知____＝____； 由过点B的切线可知____＝____； 由过点C的切线可知____＝____； 由过点D的切线可知____＝____； AE AH BE BF CG CF DG DH 探究新知 应用举例 【例1】如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径. B D A F C E O 解：连接 OD，OE，OF， 则 OD = OE = OF，设 OD = r. 在 Rt△ABC 中， AC = 10，BC = 24， 26 r B D A F C E O 26 r ∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26， ∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4. 【例2】如图，⊙O内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为(　　) A．50 B．52 C．54 D．56 解析：由切线长定理，可设AE＝x，DG＝y，则有AH＝x，DH＝y，BE＝BF＝16－x，CF＝CG＝10－y，则四边形ABCD的周长是AB＋BC＋CD＋DA＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝(16＋10)＋(BF＋CF)＋(DH＋AH)＝(16＋10)＋(16－x＋10－y)＋(y＋x)＝26＋26＝52. B 应用举例 课堂小结 切线长 切线长定理 作用 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 应用 重要结论 只适合于直角三角形 (3)若AB＝9，BC＝15，AC＝12，则AF＝____，BD＝____，CE＝____． 当堂练习 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)图中共有____对相等线段； (2)若AF＝4，BD＝6，CE＝8，则△ABC的周长是____； 3 36 3 6 9 2. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长. O P A 3cm 6cm 当堂练习 3.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. C是 上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点． 已知 PA=PB =5cm，求△PDE的周长. 当堂练习 解：∵PA与PB分别切⊙O于A,B两点,DE切⊙O于点C， ∴DA=DC,CE=EB. ∴△PDE的周长=PD+DE+EP =PD+DC+CE+EP =PD+DA+EB+EP=PA+PB. 又∵PA=PB=5 cm, ∴△PDE的周长=2×5=10(cm). 当堂练习 4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，且 AB=9 cm，BC=14 cm ，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 当堂练习 解：由切线长定理知AE=AF ,BF=BD,CE=CD.令AE=AF=x cm,BF=BD=y cm,CE=CD=z cm. ∵AC=AE+CE,AB =AF+BF,BC=BD+CD, ∴ ，解得关于x,y,z的三元一次方程组可得 ∴ AF= 4 cm, BD= 5 cm,CE=9 cm. 当堂练习 5.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠P=40°.点D在AB上，点E和点F分别在PB和 PA 上，且AD=BE，BD= AF，求∠EDF的度数. 解：如图所示,连接OA,OB. ∵PA,PB切⊙O于点A,B， ∴PA=PB,∴∠BAP= ∠ABP. 又∵∠P=40°, ∴∠BAP= (180°-∠P)= 70°. 当堂练习 在△DBE和△FAD中, , ∴△DBE≌△FAD(SAS), ∴∠BDE=∠AFD, ∠ADF+∠BDE=∠ADF+∠AFD=180°-∠FAD =180°-70°=110°. 又∵ ∠ADF+∠BDE+∠EDF= 180°， ∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=180°-110°=70°. 当堂练习 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm,且∠B=90°.该四边形存在内切圆吗?如果存在，请计算内切圆的半径. 解：存在.首先以B点为端点将BA与BC重合在一起折出∠ABC的平分线,其次将BC与DC重合折出∠BCD的平分线,两条角平分线的交点即为圆心O （以此点О为圆心可以画出四边形ABCD的内切圆）. 当堂练习 如图所示,连接AC,根据折叠得到圆心О在线段AC上,设⊙O与四边形ABCD四边 AB, BC,CD,DA均相，且切点分别为M,N ,P,Q. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS) ∴∠ABC=∠ADC=90°,S△ABC=S△ADC . 当堂练习 连接OM , ON,OP, OQ,设⊙O的半径为rcm,连接OB,OD. S四边形ABCD=2S△ABC=2× AB·BC=AB·BC=6×8=48(cm2). 又∵S四边形ABCD= = =3r+4r+3r+4r=14r. ∴14r=48.∴r= .∴内切圆的半径为 cm. 当堂练习 ∴AB＝＝＝26. $