第三章 二次函数 期末高频考点专练 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级上册

期末高频考点专练之二次函数2025-2026学年鲁教版 （五四制）九年级上册（七考点） 考点一：二次函数的定义 1．下列函数属于二次函数的是(    ) A． B． C． D． 2．若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 3.把 y＝(2x＋1)(3x－4) 展开成一般式，得到 y＝ __________，其一次项系数为 __________。 考点二：二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数y=x2-2x+3的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 3．将抛物线向上平移4个单位长度，平移后抛物线对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）图象经过点A(﹣1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，则有（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 5．抛物线的对称轴是直线 ． 6．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是 ． 7．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　） A．B．C．D． 2.二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0.其中正确的是　 　. 考点四：二次函数与一次函数 1.二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A．B．C．D． 2.函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A．B． C． D． 考点五：二次函数与方程、不等式 1.抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝kx2﹣3x＋1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是　 　． 3.若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    4.抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 5.根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 考点六：二次函数应用题 1．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 2．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 3.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 4.如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为． (1)直接写出与x，z与之间的函数关系式； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围． 5．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩． (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？ 考点七：二次函数与几何综合问题 1. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】 期末高频考点专练之二次函数2025-2026学年鲁教版 （五四制）九年级上册（七考点） 考点一：二次函数的定义 1．下列函数属于二次函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 2．若是二次函数，则的值是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 3.把 y＝(2x＋1)(3x－4) 展开成一般式，得到 y＝ __________，其一次项系数为 __________。 [答案]6x²-5x-4；-5 考点二：二次函数的图像和性质 1．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．二次函数y=x2-2x+3的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 3．将抛物线向上平移4个单位长度，平移后抛物线对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）图象经过点A(﹣1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，则有（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 5．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】． 6．已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是 ． 【答案】或 7．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 【答案】a1＞a2＞a3 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　） A．B．C．D． 【答案】C 2.二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0.其中正确的是　 　. 【答案】①④ 考点四：二次函数与一次函数 1.二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 2.函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 考点五：二次函数与方程、不等式 1.抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．已知二次函数y＝kx2﹣3x＋1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是　 　． 【答案】k≤ 且k≠0 3.若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【答案】， 4.抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 5.根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． (1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (2)请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 【答案】(1)填表见解析，图象见解析； (2)． 【详解】（1）解：填表如下： 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 考点六：二次函数应用题 1．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）    B． B． C． D． 【答案】A 2．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=　 　． 【答案】1.6 3.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 4.如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为． (1)直接写出与x，z与之间的函数关系式； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值，最大值是420 (3) 【详解】（1）∵矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等，设长为，长为 ∴， ∵用一段长为的围栏 ∴ ∴； ∴矩形的面积； （2）由（1）可得． ，即． 抛物线的开口向下． 对称轴 当时，随的增大而减小． 当时，有最大值，最大值是420． （3）解：矩形的面积为，矩形的面积为， 设改造总费用为w ∵单价分别为64元和40元 ∴ 当时， 整理得， 解得， ∵改造总费用不能超过11520元，且 ∴． 5．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩． (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？ 【答案】(1)种植黄桃亩数的年平均增长率为 (2)①与之间的函数关系式为：； ②销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元． 【详解】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为， 根据题意得：， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：种植黄桃亩数的年平均增长率为； （2）解：①设与之间的函数关系式为：， 则， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； ②设每天的销售利润为w， 由题意得：， ∵， ∴当时，利润最大，最大利润为1210， 答：销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元． 考点七：二次函数与几何综合问题 2. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) 解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； (2) 解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； (3) 解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $