期末全册复习专题（8大考点33类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练
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摘要：
该初中数学复习讲义通过“基础篇-培优篇-压轴篇”三级架构系统梳理北师大版八上全册知识，以8大考点33类题型构建知识网络，用分层题型（★基础/★★综合/★★★压轴）和解题思路指引呈现重难点，体现知识内在逻辑与能力递进关系。
讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，如勾股定理实际应用（最短路径问题）培养几何直观，一次函数与二元一次方程组综合题发展模型意识，规律探究题型提升推理能力。各题型配典型例题和思路解析，助力不同层次学生巩固基础、突破难点，为教师精准分层教学提供实用支持。
内容正文：
期末全册复习专题（8大考点33类题型）
北师大版八上
目录
一.基础篇 2
【考点一】概念与定义辨析 2
【★题型 1】实数的概念辨析 2
【★题型 2】平方根、算术平方根、立方根 4
【★题型 3】勾股数与直角三角形构成条件 6
【★题型 4】平面直角坐标系相关概念 8
【★题型 5】数据的分析基础概念 10
【考点二】图形识别（数形结合） 12
【★题型 6】实数与数轴的对应关系 12
【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征 13
【★题型 8】一次函数图象识别 15
【考点三】夯实基本运算 18
【★题型 9】实数的混合运算 18
【★题型 10】二次根式的运算 20
【★题型 11】二元一次方程组的解法 23
【★题型 12】待定系数法求一次函数解析式 27
【★题型 13】勾股定理的基础计算 29
【★题型 14】平行线的角度计算 32
【★题型 15】数据的分析基础计算 35
【考点四】基本性质与判定辨析 39
【★题型 16】算术平方根的非负性应用 39
【★题型 17】一次函数的性质辨析 41
【★题型 18】二元一次方程组的解的意义 43
【★题型 19】勾股定理逆定理的判定应用 46
【★题型 20】数据的分析性质辨析 48
二.培优篇 51
【考点五】综合运算与实际应用 51
【★★题型 21】二次根式的综合化简求值 51
【★★题型 22】二元一次方程组的实际应用 54
【★★题型 23】一次函数的实际应用 58
【★★题型 24】勾股定理的实际应用 63
【★★题型 25】数据的分析综合应用 67
【考点六】跨章节综合 73
【★★题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合 74
【★★题型 27】坐标系与几何综合 78
【★★题型 28】一次函数与几何图形综合 83
【★★题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合 89
三.压轴篇 94
【考点七】规律问题探究 94
【★★★题型 30】二次根式与勾股数的规律探究 94
【★★★题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究 97
【考点八】方案设计与综合探究 102
【★★★题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题 102
【★★★题型 33】坐标系中一次函数动点问题 108
一.基础篇
【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题
【考点一】概念与定义辨析
【★题型 1】实数的概念辨析
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
无理数是无限不循环小数，常见类型包括含的式子、开方开不尽的数、以及有规律但无限不循环的小数，据此逐一判断即可．
【详解】∵ 是分数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是整数，是有理数；
是含的式子，是无理数；
，是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
开方开不尽，是无理数；
（每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数；
∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键．
根据无理数的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间，
A：，故该选项不合题意；
B：，故该选项符合题意；
C：，故该选项不合题意；
D：，故该选项不合题意．
故选：B ．
3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
把化简后根据实数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∵最小的是，
故选C．
4．（25-26九年级上·河北保定·期末）从 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查无理数，概率；先找出无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：，
∴中是无理数的有：共2个；
共有7个数，
∴从 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选：A．
【解题思路】先明确无理数是无限不循环小数，常见类型有含的式子、开方开不尽的数、有规律但无限不循环的小数；有理数是整数和分数的统称。解题时逐一判断每个数的类型，统计无理数个数，或结合数轴估算无理数的范围，进而求解。
【★题型 2】平方根、算术平方根、立方根
1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义．
根据平方根、算术平方根和立方根的定义直接计算．
【详解】解：①，4的平方根是；
②，4的算术平方根是2；
③由于，所以的立方根是；
故答案为：，2，．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义逐项计算进行判断即可求解．
【详解】解：A. ，故原选项错误，不合题意；
B. ，故原选项正确，符合题意；
C. ，故原选项错误，不合题意；
D. ，故原选项错误，不合题意．
故选：B
3．（25-26八年级上·上海闵行·月考）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和，
∴，
解得，
∴一个平方根为，
∴ 这个正数为，
故选：．
4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解．
【详解】解：由，得．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【解题思路】牢记定义 —— 一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是其中的非负根；立方根的符号与原数一致。解题时先化简原式，再根据定义计算；若已知正数的两个平方根，利用 “平方根互为相反数” 列方程求参数，再反求原数。
题型 3 勾股数与直角三角形构成条件
【★题型 3】勾股数与直角三角形构成条件
1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．
【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故6，8，10是勾股数，符合题意，
故选：D．
2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，
使用勾股定理判断每组边长是否能构成直角三角形，即检查两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①∵，∴不能构成直角三角形；
②∵，则，∴不能构成直角三角形；
③∵，∴能构成直角三角形；
④∵，∴能构成直角三角形.
∴只有③和④两组能构成直角三角形.
故选：B．
3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设，，，
，，
，
所以是直角三角形，且为直角边，为斜边，
故，
故答案为：．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论．
【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，
∴对于第6个勾股数组：
第一个数，
第二个数，
第三个数，
故答案为：．
【解题思路】勾股数是正整数组，满足 “两小边平方和等于最大边平方”；判断三角形是否为直角三角形，直接用勾股定理逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。若已知三边长度，可先判断形状，再结合面积公式或勾股数规律求解。
【★题型 4】平面直角坐标系相关概念
1．（25-26八年级上·山东济南·期中）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征和点到坐标轴的距离．
点在第二象限，其横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
【详解】设点的坐标为，
点距离轴个单位长度，
，即，
点距离轴个单位长度，
，即，
又点在第二象限，
，，
，，
点的坐标为．
故选．
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数．根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），判断的取值范围，再对比选项．
【详解】解：点位于第二象限，
横坐标，纵坐标．
选项A、B、C均不大于0，只有选项D中的，
故选：D．
3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若点在第二象限内，且，，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了第二象限内点的坐标特征．
根据第二象限的点的坐标特征，x为负，y为正，结合绝对值和平方运算求解．
【详解】解：由，得或；
由，得或；
点在第二象限，
因此，，
所以，．
故点P的坐标为．
故答案为：．
4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．
根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可．
【详解】解：∵直线轴，
∴点和点的横坐标相等，
即，
解得，
代入点的纵坐标，得，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【解题思路】掌握象限内点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离（到x轴距离为纵坐标绝对值，到y轴距离为横坐标绝对值）。解题时根据点所在象限确定坐标符号，结合距离公式列方程求坐标；若直线平行于坐标轴，利用 “平行于x轴纵坐标相同，平行于y轴横坐标相同” 的性质求解。
【★题型 5】数据的分析基础概念
1．（25-26八年级上·全国·期末）一组数据：，，，，，，，的下四分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了下四分位数，掌握下四分位数是解题的关键．根据下四分位数的定义即可求解．
【详解】解：数据从小到大排序为：，，，，，， ，，
∴下四分位数为第和第个数平均值：，
∴下四分位数为，
故选：．
2．（25-26八年级上·全国·期末）在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（ ）
A．81分，分 B．81分，81分 C．81分，82分 D．83分，77分
【答案】B
【分析】本题考查众数和中位数的定义，直接根据数据计算即可．
【详解】解：∵数据中81出现3次，其他数均出现1次，
∴众数为81分．
将数据从小到大排序：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89．
∵数据个数为10，是偶数，
∴中位数为第5和第6个数的平均值，即（分）．
∴这组数据的众数与中位数分别为81分和81分，
故选：B．
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）小智在计算一组数据的方差时，列式如下：，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为5，平均数为4 B．样本容量为4，平均数为5
C．样本容量为5，平均数为5 D．样本容量为4，平均数为4
【答案】A
【分析】本题考查了方差的概念，方差公式中分母表示样本容量，括号内的常数表示平均数.
【详解】解：∵方差的公式为，在给定的方差公式中，，
∴ ，，即样本容量为5，平均数为4．
故选：A．
4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是 分．
【答案】91
【分析】本题主要考查了求一组数据的加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，然后求和即可．
【详解】解：小华这学期的美术成绩为：
（分）．
故答案为：91．
【解题思路】众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需先将数据排序，再根据数据个数奇偶性确定（奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均值）；方差反映数据波动程度（方差越小越稳定）；加权平均数需用 “各数据 × 权重” 求和再除以权重和。解题时先整理数据，再根据概念计算对应统计量。
【考点二】图形识别（数形结合）
【★题型 6】实数与数轴的对应关系
1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理．根据勾股定理得出，然后得到，结合图形即可得出结果．
【详解】解：由图可得：正方形的边长为1，
∴，
∴，
∴点E表示的数为，
故选：D．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解．
【详解】解： ∵，
∴ ，
∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B．
故选：B．
3．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点；根据勾股定理得到，再结合数轴上的点的表示即可求出．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为：．
4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可；
【详解】解：由题意，得．
因为点在原点左侧，
所以点表示的数为，
所以．
故答案为：．
【解题思路】：解决实数与数轴对应关系的题目，核心是把握 “数轴上的点与实数一一对应” 这一关键性质，结合勾股定理、无理数的估算、数轴上两点间的距离公式来分析。对于由几何图形确定数轴上点表示的数的题型，先利用勾股定理计算出相关线段的长度，以此得到对应的无理数的值，再根据点在数轴上的位置确定该点表示的实数；对于估算无理数对应数轴上点的位置的题型，先通过平方数确定无理数的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断；对于涉及数轴上多点距离与数值求和的题型，先依据两点间距离公式求出未知点表示的数，再将各点表示的数相加得出结果。
【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征
1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，
，，
解得：，，
．
故选：A．
2．（24-25七年级下·河南安阳·期末）若点平行轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】解：∵点平行轴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴点的横坐标为或，
∴点的坐标为或．
故选：D．
3．（24-25七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得到，再由，得到，据此求出a的值，进而求出b的值即可．
【详解】解：∵点，直线与轴平行，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴或，
故答案为：或．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知平面直角坐标系内不同的两点和到轴的距离相等，则的值为 ．
【答案】1或
【分析】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：两点到y轴的距离相等的点的横坐标相等或互为相反数，根据题意则有，解出方程即可．
【详解】解：点和到轴的距离相等，
，
解得，
故答案为：1或．
【解题思路】关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数；平行于坐标轴的直线上的点，横、 纵坐标具有共性。解题时根据对称或平行的性质，确定点的坐标关系，列方程求参数值，再计算相关代数式的值。
【★题型 8】一次函数图象识别
1．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象，根据一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，据此即可解答．
【详解】解：一次函数的图象在y轴右侧，且是一条射线，
则只有选项C符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是根据程序得到函数解析式． 根据程序得到函数关系式，即可判断图象．
【详解】解：根据程序框图可得，
的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为．
故选A．
3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意；
A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
根据一次函数的图象和性质判断即可．
【详解】解：因为，
所以图象中必定有一条直线是经过一、三象限，可以排除B选项，
选项A、C、D中根据经过一、三象限的直线可判断即，可以排除选项A、C．
故选：D．
【解题思路】一次函数y=kx+b的图象由k和b决定 ——k>0图象从左到右上升，k<0下降；b决定与y轴交点位置。解题时结合函数解析式的限制条件（如定义域），或正比例函数与一次函数的k符号关联，判断图象的形状和位置。
【考点三】夯实基本运算
【★题型 9】实数的混合运算
1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求出a，b的值；
(2)求的平方根和的立方根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键：
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可；
（2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∴；
（2）∵，
∴的平方根为，的立方根为．
2．（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了算术平方根与立方根等知识，解题关键是牢记运算法则．
（1）依次计算乘方、算术平方根、立方根、平方运算，再加减；
（2）依次计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）、、均为实数，且是的整数部分．
(1)则的值为__________；的值为___________；的值为___________；
(2)求的平方根．
【答案】(1)；3；6
(2)
【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值；
（2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴；
故答案为：；3；6
（2）解：当，时，
，
∴的平方根为．
4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算．
（1）先算乘方，负整数指数幂，立方根，再算加减法即可；
（2）先开平方、立方，零指数幂，最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【解题思路】先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。涉及平方根、立方根时，先化简；若已知平方根或立方根的条件，先列方程求参数，再代入计算。
【★题型 10】二次根式的运算
1．（25-26八年级上·河北保定·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可；
（2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（25-26八年级上·福建三明·期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简、二次根式的加减运算、平方差公式、二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算．
（1）根据二次根式的化简、二次根式的加减运算法则进行求解；
（2）根据平方差公式、二次根式的混合运算法则进行求解．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
4．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，二次根式的混合运算；
（1）根据算术平方根和立方根的求解方法求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【解题思路】先将二次根式化为最简二次根式，再根据运算法则计算 —— 加减运算需合并同类二次根式，乘除运算利用公式；遇到平方差、完全平方公式的形式，可利用公式简化计算。
【★题型 11】二元一次方程组的解法
1．（25-26八年级上·全国·期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
∴，
．
将代入，
得．
原方程组的解为．
（2）解：由，
得，
把代入，
得，
∴，
．
将代入，
得．
原方程组的解为．
2．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，
①得：③，
②③得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
①得：③，
②得：④，
④③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：．
3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
把①代入②得：，
，
，
，
，
把代入①得： ，
方程组的解为：；
（2）解：
②得：③，
得：，
把代入②得：，
方程组的解为：．
4．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
（1）将方程组中的第二个方程变形为，代入第一个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入可得的值，由此即可得；
（2）先将方程组变形为，再将第二个方程的两边同乘以，与第一个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】（1）解：，
由②得：③，
将③代入①得：，
解得，
将代入③得：，
所以方程组的解为．
（2）解：方程组可变形为，
由①②得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
所以方程组的解为．
【解题思路】常用代入消元法和加减消元法。代入消元法适用于有一个方程能直接表示出未知数的情况，将其代入另一个方程消元；加减消元法适用于同一未知数系数相同或互为相反数的情况，通过方程加减消去一个未知数，进而求解。
【★题型 12】待定系数法求一次函数解析式
1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过点和点，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．将两个点代入一次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可．
【详解】解：将点和点代入一次函数得：
，解得．
故选：A．
2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与平行，且过点的直线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查两直线平行的性质，利用待定系数法求解析式即可．
由于两直线平行，设所求直线解析式为，再代入点求解即可．
【详解】设所求直线解析式为．
代入点得：
，
故答案为：．
3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过点和点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键；
（1）直接把点和点代入一次函数，求出k，b的值即可得出函数解析式；
（2）根据平移规律求解即可．
【详解】（1）解：设，代入，
得，解得，
∴这个函数的表达式为；
（2）解：∵直线向上平移4个单位长度
∴平移后的函数表达式为．
4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线（）经过点和，线段两个端点的坐标分别为，．
(1)求直线的表达式；
(2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移的性质．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）先求出线段的中点坐标，然后根据依次函数图象平移的性质得到平移后的直线的表达式为，再代入中点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：把点和分别代入中，
得
解得
所以直线的表达式为．
（2）解：根据，，可得的中点坐标为，
因为直线向上平移个单位长度，
所以平移后的直线的表达式为，
把代入中，
得，
解得．
【解题思路】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将已知点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定解析式。若两直线平行，则k值相等，可先设解析式再代入点求解。
【★题型 13】勾股定理的基础计算
1．（25-26八年级上·河南周口·月考）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设斜边上的高为，先利用勾股定理求出斜边长，再利用等面积法列式求解斜边上的高即可．
【详解】解：直角三角形两直角边长分别为和，
斜边长为，
设斜边上的高为，则根据直角三角形的面积列式：
，
解得，
即斜边上的高为．
故选：A．
2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，根据题意可得，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
由题意得，，
∴．
故答案为：2．
3．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，最短路径问题，解题的关键是将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，
，则，
连接，在长方形中，，，
由勾股定理，得，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程．
4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度．
【答案】段的长度为
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是知识点的熟练应用；由勾股定理列方程即可．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
答：段的长度为．
【解题思路】直角三角形中，利用勾股定理（c为斜边）求边长；求斜边上的高时，利用 “等面积法”。遇到折叠、最短路径等问题，先转化为直角三角形，再用勾股定理列方程求解。
【★题型 14】平行线的角度计算
1．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．45° B．58° C．65° D．75°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决．
【详解】解：过直角顶点作直线如图所示，
，
∴，
则，，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
【答案】55°
【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间）
【答案】/30度
【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系．
先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数．
【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等．
已知，当时，对应的同位角应为．
当前，因此木条逆时针旋转的度数为．
故答案为：
4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上．
（1）线段，的长度分别为 ， ；
（2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导．
（1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长度）；
（2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
故线段，的长度分别为，．
故答案为：，．
（2）如图，选取格点，连接，．
由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形，
所以，
由图可知，
所以．
故答案为：．
【解题思路】利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合直角三角形的内角和为180度。当图形中无直接平行线时，可作辅助线，构造平行线间的角度关系，进而计算角度。
【★题型 15】数据的分析基础计算
1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后各项得分如表：
演讲内容
语言表达
演讲技巧
小高
95
85
85
小新
85
90
93
(1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到）
(2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？
【答案】(1)小新排名第一，小高排名第二
(2)小高排名第一，小新排名第二
【分析】本题考查了平均数和加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义与计算公式是解答本题的关键．
（1）先分别计算出两人的平均数，然后按照从高到低进行排名；
（2）根据加权平均数的概念再计算各班的加权平均数，然后再排名．
【详解】（1）解：小高的平均数为（分），
小新的平均数为（分），
∵，
∴小新排名第一，小高排名第二；
（2）解：小高的得分为：（分），
小新的得分为：（分），
∵，
∴小高排名第一，小新排名第二．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图：
(1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？
(2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？
【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)
(2)A组有可能是青年组
【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键．
（1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群；
（2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论．
【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)；
（2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人，
所以A组有可能是青年组．
3．（2025·河南信阳·一模）河南中牟县的姚家镇草莓种植面积达亩，被称为“全国十大草莓生产基地”之一．草莓种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：．滴灌，．漫灌．为对比产量，某种植户对两种浇灌方式下的垄草莓产量（单位：千克）做出了如下统计：
：，，，，，，，，，．
：，，，，，，，，，．
并得到了如下不完整的统计表：
平均数
中位数
众数
方差
(1)表格中的______，______；
(2)若种滴灌方式共种植垄，种漫灌方式共种植垄，那这垄的总产量大约是多少？
(3)从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？并说明理由．
【答案】(1)；
(2)千克
(3)选择种漫灌方式，理由见解析
【分析】本题考查数据的分析，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和应用是解题的关键．
（1）利用中位数和众数的定义即可求解；
（2）利用平均数的应用即可求解；
（3）利用平均数、中位数、众数和方差进行决策即可．
【详解】（1）解：∵中共个数据，
∴中位数是从小到大排列后的第个和第个的平均数，
∴中位数；
∵中出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：；；
（2）解：由题意得（千克），
答：这垄的总产量大约是千克；
（3）解：选择种漫灌方式，理由如下：
因为种漫灌方式的平均数、中位数和众数都小于种漫灌方式，且种漫灌方式的方差小于种漫灌方式，所以选择种漫灌方式．
4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人．
次数x分组
频数
2
6
10
2
(1)补全频数分布直方图．
(2)抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________．
(3)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．
【答案】(1)见解析
(2)“”组
(3)
【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数的概念以及用样本估计总体，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图．
（1）根据在“”组频数为，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：补全频数分布直方图如图：
（2）解：由频数分布表可得，“”组人数是2，“”组人数是，
由中位数的定义可得，中位数为第10，11个数据，
而“”组人数为，
∴中位数位于的组别是“”组，
故答案为：“”组；
（3）解：，
答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数是．
【解题思路】计算平均数时，直接求和再除以数据个数；加权平均数需乘以对应权重；中位数需先排序再确定；方差计算步骤为 “先求平均数，再算每个数据与平均数的差的平方和，最后除以数据个数”。解题时结合统计图（条形图、箱线图）提取数据，再根据概念计算。
【考点四】基本性质与判定辨析
【★题型 16】算术平方根的非负性应用
1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则的立方根为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．
【答案】D
【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为：．
故选：D．
2．（25-26八年级上·福建南平·期中）已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形．
【答案】等腰
【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件，根据题意得出的值是解题关键．根据非负数的性质，平方根、绝对值和平方项均非负，其和为零则每个部分均为零，由此求出的值，再根据三角形三边关系判断形状．
【详解】解：∵ ，， ，且，
∴，，，
解得，
∴的三边长分别为，
∵，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰．
3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点．
根据算术平方根的被开方数非负，求出a的值，进而求出b的值；再由平方根的定义求出c的值，代入表达式计算即可．
【详解】解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分．
(1)______，______，______．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)1；；6
(2)5
【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值；
（2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的算术平方根为．
【解题思路】算术平方根、绝对值、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。解题时根据此性质列方程，求出未知数的值，再代入代数式计算，或判断三角形的形状。
【★题型 17】一次函数的性质辨析
1．（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．y的值随x值的增大而增大
C． D．当时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题，根据函数图象经过的象限可判断A、B、C，根据一次函数与坐标轴的交点可判断D．
【详解】解：∵函数图象经过第一、二、四象限，
∴，且y的值随x值的增大而减小，故A、B说法错误，C说法正确，
∵一次函数与x轴交于点，
∴当时，，
根据现有条件无法得到当时，，故D说法错误，
故选：C．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，y随x增大而增大；当时，y将随x的增大而减小．根据可知y随x的增大而减小，根据函数的增减性和x的大小即可判断．
【详解】解：∵，
∴y将随x的增大而减小，
∵点都在直线上，且，
∴．
故选：B．
3．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．先结合直线是由直线平移得到的，则，故，再令，求出对应的的值，即可作答．
【详解】解：∵直线是由直线平移得到的，
∴，
故，
令，所以，
解得，
即直线与轴的交点坐标是，
故答案为：
4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数．
(1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？
(2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．
（1）根据y随x的增大而减小，即，建立不等式求解即可；
（2）根据一次函数不经过第四象限，即，建立不等式求解，再结合m为整数判断即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵一次函数不经过第四象限，
∴且，
∴解得．
∵m为整数，
∴或．
【解题思路】一次函数y=kx+b的增减性由k决定，k>0时y随x增大而增大，k<0时相反；图象经过的象限由k和b共同决定。解题时根据函数的增减性或图象位置，确定k、b的取值范围，或比较函数值的大小。
【★题型 18】二元一次方程组的解的意义
1．（25-26八年级上·全国·期末）小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（ ）
A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
故选：A．
2．（2019·北京平谷·一模）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设甲的速度是，乙的速度是，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是，
依题意，得：．
故答案为：．
3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？
【答案】共有3种不同的截法，分别为：①截成的彩绳1根，的彩绳5根；②截成的彩绳2根，的彩绳3根；③截成的彩绳3根，的彩绳1根
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
【详解】解：设截成的彩绳根，的彩绳根，
由题意可得，
，
不造成浪费，且两种不同规格彩绳都要截出来，
，是正整数，
或或
共有3种不同的截法，分别为：①截成的彩绳1根，的彩绳5根；②截成的彩绳2根，的彩绳3根；③截成的彩绳3根，的彩绳1根．
4．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知关于x，y的方程组的解是．求的值．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根．将代入原方程组，可得出关于，的二元一次方程组，求得，的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：将代入原方程组得：，
解得，
∴．
【解题思路】解决二元一次方程组的解的意义相关问题，核心是紧扣 “方程组的解满足其中每一个方程” 这一本质。对于已知解求方程中未知参数的题型，直接将解代入对应的方程，通过解方程求出参数的值；对于由实际问题抽象二元一次方程组的题型，先分析题意找出两个等量关系，再设出未知数，根据等量关系列出方程组；对于二元一次方程的整数解应用题型，先根据题意列出二元一次方程，再结合未知数的实际取值要求，通过枚举法确定方程的所有符合条件的整数解，进而解决实际问题。
【★题型 19】勾股定理逆定理的判定应用
1．（24-25八年级下·云南·期末）若三角形三边长之比为，则这个三角形中的最大角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．通过设三角形三边的长度，利用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，从而得出最大角的度数．
【详解】解：设三角形的三边长分别为，，（）．
∵ ，，
∴ ，
∴ 该三角形是直角三角形，最大角的度数为，
故选：B．
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是
【答案】/度
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案．
【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，，
∵，
又∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最大角的度数是．
故答案为：．
3．如图，在四边形中，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）先求得，再由勾股定理求出的长．
【详解】（1）是直角三角形．
理由如下：
在中，
是直角三角形；
（2）在四边形中，
由（1）得，
∴在中，
4．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解．
（1）根据勾股定理逆定理即可证明；
（2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【解题思路】若三角形三边长满足（c为最长边），则该三角形为直角三角形。解题时先计算三边的平方，验证是否满足勾股定理逆定理，再结合垂直平分线、折叠等性质，求解边长或角度。
【★题型 20】数据的分析性质辨析
1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：，；，．那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（ ）
A．甲较为稳定 B．乙较为稳定 C．两个人一样稳定 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
根据体温的稳定性由方差判断，方差越小越稳定，进行判断即可．
【详解】解：∵甲的方差，乙的方差，且，
∴甲的体温更稳定．
故选：A．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表：
时间/h
2.5
3
3.5
4
5
6
7
频数
1
6
8
12
9
5
1
则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ）
A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了众数和中位数，
众数是出现次数最多的数据，中位数需先计算总数据个数，再确定中间位置的数据值．
【详解】解：总频数 ，
∵众数为频数最大的对应时间，频数12最大，对应时间，
∴众数为4；
∵总频数42为偶数，
∴中位数为第21和22个数据的平均值，
累积频数：时间累积1，时间累积7，时间累积15，时间累积27，时间累积36，时间累积41，时间累积42，
∴第21和22个数据均落在时间，
∴中位数为．
故选：A．
3．（25-26八年级上·全国·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的下四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
【答案】B
【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可．
【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误；
B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确；
C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误；
D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误；
故选∶B．
4．（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”）
【答案】中位数
【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
由于取前名同学参加学校的决赛，共有名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案．
【详解】解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数，
只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了，
故答案为：中位数．
【解题思路】方差越小，数据越稳定；众数是出现次数最多的数据；中位数反映数据的中间水平；平均数反映数据的平均水平。解题时根据统计量的意义，结合表格或统计图中的数据，分析数据的特征，或选择合适的统计量进行决策。
二.培优篇
【考点五】综合运算与实际应用
【★★题型 21】二次根式的综合化简求值
1．（22-23八年级上·四川广安·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算；
（1）先计算并化简每个部分，，，，再将每个部分按照运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式将展开，再去掉括号，最后合并同类项即可.
【详解】（1）解：
.
（2）解：
.
2．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，
（1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和代数式求值，正确理解题干给的信息、掌握求解的方法是关键；
（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）仿照题干中给的方法解答即可
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴
．
4．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据，将的值代入计算即可得；
（2）根据，将的值代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴
．
（2）解：∵，，
∴
．
【解题思路】先将二次根式化为最简形式，再利用平方差、完全平方公式简化计算；遇到分母含二次根式的情况，进行分母有理化。解题时注意运算顺序，合并同类二次根式，最后代入数值求值（需注意取值范围）。
【★★题型 22】二元一次方程组的实际应用
1．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹
(2)快递车的总配送路程是千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键；
（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得，
解得：
答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹；
（2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得
解得：
答：快递车的总配送路程是千米
2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天
(2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
（1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答；
（2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得．
【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，
由题意得：
解得：
∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天，
答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天
（2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元，
由题意得：
解得：
答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元．
3．（22-23八年级上·河南平顶山·期末）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．
【答案】(1)买一支康乃馨需4元，一支百合需5元
(2)①，且为整数；②购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，然后由题意可得方程组，进而求解即可；
（2）①由题意可直接列出函数关系式；②根据①中函数关系及一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，由题意得：
，
解得：；
答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元．
（2）解：①由题意得：
，
∵康乃馨不多于9支，
∴且为整数；
②由①可知：，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w有最小值，最小值为；
答：购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元．
4．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)该店客房有多少间？房客有多少人？
(2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？
【答案】(1)该店客房有间，房客有人
(2)他们再次入住定间房时更合算
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，
【详解】（1）解：（1）设客房有x间，房客有y人，
根据题意可得：，
解得：
答：该店客房有8间，房客有63人．
（2）如果每4人一个房间，需要，需要16间客房，总费用为（钱），
如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用（钱）3200钱，
所以他们再次入住定18间房时更合算．
答：他们再次入住定18间房时更合算．
【解题思路】解决二元一次方程组实际应用问题，核心是先找准题目中的两个等量关系，设出对应的未知数，列出二元一次方程组并求解；对于涉及费用、方案设计的拓展问题，可结合求出的单价、效率等，进一步构建函数关系式或计算不同方案的成本，利用函数性质或数值对比确定最优方案，全程需注意未知数的实际取值范围，确保解符合题意。
【★★题型 23】一次函数的实际应用
1．甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）．
(1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？
【答案】(1)
(2)在两人相遇前，甲离开学校、时与乙相距
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用．
（1）结合函数图象，利用待定系数法求解函数解析式即可．
（2）设直线的解析式为，可得，再结合（1）的结论进一步求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
即，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴．
∴所求解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
即，
①当时，，
解得，
②当时，，
解得：．
由题意知，甲离开学校后，到与乙相遇时，两人相距等于．
∴在两人相遇前，甲离开学校，时与乙相距．
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为．
(1)分别求出与x的函数关系式；
(2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
【答案】(1)，
(2)小明选择B品牌的共享电动车更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解答即可；
（2）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论．
【详解】（1）解：设（为常数，且），
将坐标代入，
得，
解得，
∴与x的函数关系式为．
当时，；
当时，设（为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴．
综上，．
（2）解：，
由图象可知，当时，，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱．
3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个．
(1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)，且为整数；
(2)当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键．
（1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围；
（2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值．
【详解】（1）解：由题意可得，
∵ 定价不低于进价，即，
∴ ，
又∵ 为非负整数，
∴ 且为整数；
（2）解：；
，
∵，且x为整数，
∴当时，最大值为2112，此时定价为．
∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元
4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题．
（1）把点代入求得，进而令，求得，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）设点的坐标为，则．根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，得
点．
设一次函数的图象与轴交于点，
令，解得，
，
．
（2）设点的坐标为，则．
由（1）可知，
，
解得．
∵点在轴的负半轴上，
，即点的坐标为．
【解题思路】解决一次函数实际应用问题，核心是结合图象或文字信息，利用待定系数法求出一次函数解析式，需注意分段函数要根据自变量的取值范围分段求解；涉及行程、收费等实际场景时，先理清速度、时间、路程或单价、数量、总价等数量关系，再将实际问题转化为函数问题；对于最值、方案选择或存在性问题，可通过联立函数解析式求交点、结合函数增减性分析最值，或根据面积、距离等条件列方程求解，同时要关注自变量的实际取值范围（如整数、非负数），确保解符合题意。
【★★题型 24】勾股定理的实际应用
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，
∵，，，
∴，，
∵，即，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的底面边长分别为和，高为，，
∴，，
根据两点之间线段最短，，
故答案为：．
3．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
【答案】(1)①10；②
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可；
（2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
②由折叠得：，
∴，
∴．
在中，，
∴，解得：，
∴的长为．
（2）解：设，则．
∵是边上的高，
∴．
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴．
4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论；
（2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
【解题思路】解决勾股定理实际应用问题，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，结合图形变换（折叠）、最短路径原理、方程思想来分析。对于求线段最值的题型，可通过构造全等三角形转化线段，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理计算最小值；对于长方体表面最短路径问题，需将长方体侧面展开为平面图形，连接起点与终点得到线段，再用勾股定理计算线段长度；对于折叠类题型，抓住折叠前后对应线段相等的性质，设出未知线段长，结合勾股定理列方程求解；对于判断三角形形状或求线段长的题型，先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，再结合等面积法、勾股定理列方程计算相关线段长度。
【★★题型 25】数据的分析综合应用
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）樱桃是落叶果树中成熟最早的树种，素有“春果第一枝”之美称，其色艳，味美有芳香，被誉为水果珍品．某果园共收获2000箱樱桃，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重有以下几种数据（单位：）：，，，，，根据数据，绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息解答问题：
(1)所抽取的n箱樱桃单箱净重的中位数为________、众数为________；
(2)计算所抽取的n箱樱桃单箱的平均净重；
(3)试估计这个果园2000箱樱桃的总净重．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先由图中数据求出n的值，再根据中位数和众数的确定方法，求出中位数和众数即可；
（2）利用加权平均数的计算方法，进行计算即可；
（3）用样本平均数估计总体的平均数计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：，且第10个数据和第11个数据均为，故中位数为（）；
出现次数最多的是，故众数为：（）．
故答案为：，．
（2）解：（），
所抽取的20箱樱桃单箱的平均净重为；
（3）解：（），
估计这个果园2000箱樱桃的总净重为．
【点睛】本题考查条形图和扇形图，求中位数和众数，求平均数以及利用样本平均数估计总体平均数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
2．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91；93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.5
a
70
八年级
m
b
c
(1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩m；
(3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数．
【答案】(1)90，93，见解析
(2)87
(3)300
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，箱线图，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求出b，c，然后求出a，然后补全箱线图即可；
（2）根据平均数得概念求解即可；
（3）用600乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可得解．
【详解】（1）∵共有12个数据
∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数
∴八年级所抽取学生的中位数；
∵93出现的次数最多
∴八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如下：
（2）八年级所抽取学生的平均成绩；
（3）（人）
∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人．
3．（25-26八年级上·全国·期末）某社区开展了一次爱心捐款活动，为了解捐款情况，该社区随机调查了部分群众的捐款金额，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的群众共有 人，扇形统计图中 ；
(2)补全条形统计图，并写出本次抽取的群众捐款金额的众数是________元，平均数是________元，中位数是________元；
(3)若该社区有2000名群众，根据以上信息，试估计本次活动捐款总金额．
【答案】(1)50，32
(2)图见解析，10，16，15
(3)32000元
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数和中位数，以及用样本估计总体；弄清题意是解本题的关键．
（1）根据捐款5元在条形图除以扇形图中的百分比即可求出总人数，然后用捐款10元的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）求出捐款15元的人数，根据各项数据对比，最多的一项是众数，根据平均数的定义求出平均数，结合总人数和条形图确定中位数；
（3）用样本平均值乘以总人数即可．
【详解】（1）解：本次被调查的群众人数为：（人），
捐款10元所占的百分比为：，
∴，
故答案为：50，32；
（2）解：捐款15元的人数为：（人），
补全条形统计图如答图所示：
捐款10元的人数最多，故众数为：10，
平均数：（元），
由于总人数为50人，，
故中位数为：15元，
故答案为：10；16；15；
（3）解：（元），
答：估计本次活动捐款总金额为32000元．
4．（25-26八年级上·全国·期末）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：）．
七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级被抽取学生成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89
a
八年级
89
b
91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)画出七年级20名学生的成绩的箱线图；
(3)你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
【答案】(1)90，，25
(2)图见解析
(3)八年级的成绩更好，理由见解析
【分析】本题考查了扇形统计图、箱线图、中位数与众数等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据众数与中位数的定义可得的值，扇形统计图求出八年级20名学生的成绩在组中的人数所占百分比，再求出，据此即可得；
（2）先求出七年级20名学生的成绩中的最大值、最小值、下四分位数、中位数、上四分位数，再据此画出箱线图即可得；
（3）从平均数、中位数与众数的角度进行判断即可得．
【详解】（1）解：在七年级20名学生的成绩中，90出现的次数最多，
∴众数，
八年级20名学生的成绩在组中的人数所占百分比为，
∴，
∴，
∵，，
∴将八年级20名学生的成绩按从小到大进行排序后，第10个数为90，第11个数为91，
∴其中位数，
故答案为：90，，25．
（2）解：由题意可知，七年级20名学生成绩的最大值为100，最小值为77，下四分位数为，上四分位数为，中位数为，
则画箱线图如下所示：
．
（3）解：八年级的成绩更好，理由如下：
因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数和众数大于七年级的，所以八年级的成绩更好．
【解题思路】结合条形图、扇形图、箱线图等统计图，提取数据并计算平均数、中位数、众数、方差等统计量；利用样本估计总体，通过样本的统计量估算总体的情况；根据统计量的意义，对实际问题进行分析和决策。
【考点六】跨章节综合
【★★题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合
1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
将代入，即可求出的值，即可求解．
【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
即方程组的解为： ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法．
先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标．
【详解】解：假设的解析式为，将代入得，
，
解得，
∴；
假设的解析式为，将点和点代入得，
，
解得，
∴，
联立，
解得，
所以，交点的坐标为，
故答案为：．
3．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
(3)若是轴上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离．
（1）把代入，得到和值，即可得到结论；
（2）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标；
（3）设，根据建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得：，；
（2）该一次函数为，
令，则，解得，
该一次函数图象与轴的交点坐标为，；
∴
（3）设，
∵
∴
解得：
∴
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点．
(1)求出直线的函数解析式；
(2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键：
（1）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）根据的面积是面积的一半，列出方程求出点的纵坐标，进而求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
当时，，当时，，
∴或．
【解题思路】一次函数与二元一次方程组的关系 —— 方程组的解是两个函数图象的交点坐标。解题时可通过图象直接读取交点坐标，或联立两个函数解析式，解方程组求交点；也可利用函数图象的位置关系，解决不等式或面积问题。
【★★题型 27】坐标系与几何综合
1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由条件可知，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴．
答案：D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了长方形与折叠问题、点坐标与图形、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质和点坐标可得，根据折叠的性质可得，利用勾股定理可得，则，再设点的坐标为，则，，在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴在中，，
∴，
∵点在边上，，，
∴设点的坐标为，则，
∴，
在中，，即，
解得，
∴点的坐标为．
3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在x轴，y轴上的点A，B处，，．
(1)若，，则点C的坐标为______；
(2)若点C的坐标为，求点A，B的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标的性质是解题的关键．
（1）过点C作轴交于点D，证得，根据全等三角形的性质证得、，进而求得点C的坐标即可；
（2）过点C作轴交于点D，同（1）证得，根据全等三角形的性质证得，，结合点，求得和，进而求得点A，B的坐标即可．
【详解】（1）解：过点C作轴交于点D，
则，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
，
、，
，
∴点C的坐标为；
故答案为：；
（2）解：过点C作轴交于点D，
则，
，
，
，
．
∵，
，
，,
，
、，
，
，
，，
答：点A，B的坐标为，．
4．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点，坐标、求得的长度，进而求出的长度即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，
∴，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【解题思路】结合平面直角坐标系的坐标特征，利用全等三角形、勾股定理等几何知识，确定点的坐标。遇到折叠、旋转等变换时，根据变换的性质（如折叠前后对应边相等），构造直角三角形，列方程求解点的坐标。
【★★题型 28】一次函数与几何图形综合
1．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出度数，两个角的和差即为所求度数．
【详解】解：与轴的交点坐标为，
．
又点是轴上的一点，且，
点的坐标是或．
如图：
①当点的坐标是时，，
．
，
，
，
，
②当点的坐标是时，，
，
，
．
故答案为：或．
2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)当时，求m的值；
(3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可；
（2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可；
（3）过作于，然后结合图形表示出，得出方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：．
，
当时，，
；
（2）解：的横坐标为，
，
当时，，
．
，
，
，
由得：，
解得：；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
解得：．
3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题．
（1）把点代入求得，进而令，求得，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）设点的坐标为，则．根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．
（1）解：把点代入，得
点．
设一次函数的图象与轴交于点，
令，解得，
，
．
（2）设点的坐标为，则．
由（1）可知，
，
解得．
∵点在轴的负半轴上，
，即点的坐标为．
4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点．
作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可．
解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则
由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
故，即 是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴，
∴ 轴，，
∴，
则 的周长，
根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小，
设直线 的解析式为，
则 解得 ，
∴直线 的解析式为，
与直线联立得
，
解得，，
∴，
故选∶A．
【解题思路】解决一次函数与几何图形综合问题，核心是结合一次函数的图象性质，运用几何图形的性质来分析。对于求角度或点坐标的题型，先根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，结合线段长度条件确定动点的不同位置，再分类讨论计算角度或坐标；对于涉及线段长度、图形面积的题型，设出关键点的坐标，结合函数解析式表示出相关线段的长度，利用三角形面积公式列出方程求解；对于求周长最小值的题型，借助轴对称的性质将折线转化为直线，结合 “两点之间线段最短”，联立一次函数解析式求出交点坐标，进而解决最值问题。
【★★题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案．
方案一：没有底薪，只拿销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题：
(1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元；
(2)求，图象的函数解析式；
(3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？
【答案】(1)600
(2)的解析式为，的解析式为
(3)当销售数量件时选方案一，时两种方案均可，件时选方案二
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系，是解题的关键．
（1）依据题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，结合函数的图象可以判断得解；
（2）依据题意，结合函数的图象通过待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为，从而分三种情况分析可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，
又由的图象可知，时，
方案二的底薪是600元．
故答案为：600；
（2）解：由题意，设的解析式为，
图象过点，
的解析式为：
又设的解析式为，
图象过点，，
，且
的解析式为
（3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为
当，即时，方案一工资更多；
当，即时，两种方案工资相同；
当，即时，方案二工资更多．
2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）春节期间，某动物园为了吸引游客，推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费；
乙：购买一张动物园年卡后，门票打折优惠．
设一人一年内去动物园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数表达式；
(2)甲方式购票每次多少元，乙方式购买一张动物园年卡的费用多少元；
(3)某同学带着240元压岁钱到该动物园游玩，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
【答案】(1)，
(2)甲方式购票每次20元，乙方式购买一张动物园年卡80元
(3)选择乙种消费卡划算，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）设，，根据图像分别计算即可；
（2）由（1）中两代数式作答即可；
（3）将分别代入两代数式计算后比较即可．
【详解】（1）解：设，
根据题意得，
解得，
∴；
设，
根据题意得：，
解得，
∴；
（2）解：甲方式购票每次20元，乙方式购买一张动物园年卡80元；
（3）解：甲：，解得，即甲种消费卡可玩12次；
乙：，解得，即乙种消费卡可玩16次；
，
∴选择乙种消费卡划算．
3．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．
(1)分别写出，关于的函数解析式．
(2)当时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
【答案】(1)
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；
②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
；
（2）解：①当时，，．
，
该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶．
该方案所需费用为（元）．
4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示．
(1)两地相距______，快车返回时速度为______；
(2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地；
(3)慢车出发多长时间后，两车相距．
【答案】(1)330；100
(2)2.8
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键．
（1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答；
（2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解；
（3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为，
∵慢车的速度为，
∴快车的速度为，
∴两地相距；
，
设快车返回时速度为，
则，
解得，
∴快车返回时速度为；
故答案为：330；100；
（2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为，
∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为，
故答案为：2.8；
（3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为；
快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为，
∴点的坐标为，
设线段的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴线段的解析式为，
令，则，
解得，
∴当慢车出发后，两车第二次相距；
答：慢车出发或后，两车相距．
【解题思路】从实际问题中提取等量关系，建立一次函数模型y=kx+b；利用待定系数法求出解析式，再根据函数的增减性，解决最值、方案选择等问题；涉及分段函数时，需分情况讨论，结合自变量的取值范围求解。
三.压轴篇
【考点七】规律问题探究
【★★★题型 30】二次根式与勾股数的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按上述规律，第个等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键．
直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可．
【详解】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
……
第n个等式：．
故选：D．
2．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的值为 ．
【答案】 7 41
【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可．
【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组，
，
∵b是正整数，
为奇数，
∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数，
∴当时，（对应数组）；
当时，（对应数组）；
当时，下一个奇数为7，
验证：，，
满足且，
∴，
由规律可知，是第n个符合条件的奇数，
∴，
∴当时，．
故答案为：7；41．
3．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
…，
∴
∴，
∴
．
故答案为：．
【解题思路】观察已知等式或勾股数组的结构，总结规律；利用规律推导第n个等式或数组，再验证规律的正确性。
【★★★题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究
1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，难度较大．根据题意得到规律第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形且终点为，当n为偶数时，且终点为．根据，求出，即可得到第2025个点的横坐标为45．
【详解】解：由图可知：第一个正方形共有个点，且终点为；
第二个正方形连同第一个正方形共有个点，且终点为；
第三个正方形连同前两个正方形共有个点，且终点为；
第四个正方形连同前三个正方形共有个点，且终点为；
…
∴第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形终点为，当n为偶数时，且终点为．
∵，
∴，
解得：．
∴第2025个点的横坐标为45．
故选：D
2．（24-25八年级下·山东德州·月考）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线，当时，，
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴点的横坐标为，
把代入，得，
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴点的横坐标为，
同理可得，，
∴点的横坐标为，
,
点的横坐标为，
设，则，
∴②①，得,
即，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标是，
故答案为：．
3．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，可得：，可得运动的总路径的长为，据此即可求解．
【详解】解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，
，，，
，，
，，，，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故答案为：．
4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ．
【答案】
【分析】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、，
∵，且是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
将点的坐标代入，得：，
解得：，
∴，，
同理求得，，
∴，
，
，
……
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
【解题思路】解决平面直角坐标系与一次函数规律探究问题，核心是先分析前几个特殊点的坐标、线段长度或图形面积，归纳出重复出现的变化规律，再利用规律推导后续未知量。对于点的坐标规律题型，先根据一次函数解析式和几何图形性质求出前几个点的坐标，总结出坐标随序号变化的通项公式；对于动点路径长度或图形面积规律题型，先计算前几次运动的路径长或前几个图形的面积，找出长度或面积的递变规律，再代入所求序号计算对应的结果。
【考点八】方案设计与综合探究
【★★★题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题
1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元．
运费表
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）：
甲地
乙地
厂
x
②
厂
①
③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出与之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
【答案】(1)①，②，③
(2)；
(3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨，
【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意．
（1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可；
（2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可；
（3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由题意得，①，②，③，
故答案为：①，②，③；
（2）解：由题意得，； ；
（3）解：因为，即，
可得，
得，
又，
得．
∵，
一次函数中，，
故随增大而减小，
∴内，取最大值120时，总最小．
故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨，
所以（元）．
2．（23-24九年级上·安徽合肥·月考）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第天）
1
3
6
10
日销售量件）
198
194
188
180
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第天）
销售价格（元件）
100
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
【答案】(1)
(2)第40天利润最大，最大利润为7200元
(3)共有46天利润不低于5400元
【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为元，则当时，；当时，，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）根据和时，由求得的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．
【详解】（1）解：与成一次函数，
设，将，，，代入，得：
，
解得：．
所以关于的一次函数表达式为；
（2）设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为：
，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值是7200；
当时，，
，
随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000；
综上所述，当时，的值最大，最大值是7200，
即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
（3）当时，由可得，
解得：，
，
；
当时，由可得，
解得：，
，
，
综上，，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示：
深圳市居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度）
电价（元/度）
第一档：
第二档：
第三档：
本月实用金额：167.5（元）
（大写）壹佰陆拾柒元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
(2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量；
(3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？
【答案】(1)
(2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度．
(3)元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键．
（1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可；
（2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答．
（3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：当时，则，
答：当时，y与x之间的函数关系式为．
（2）解：∵200度电费为：，400度电费为：，
，
∴小强家该月的用电量处于第二档，
令，则，解得：．
答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度．
（3）解：∵，
∴小强家本月用电量属于第三档，
∴
元．
答：小强家这一个月实付金额元．
4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
(1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
(2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？
【答案】(1)C点横坐标表示游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时，游轮在“七里扬帆”停靠的时长为
(2)当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km
【分析】本题为一次函数应用题，考查了函数与图象，待定系数法求函数解析式，一元一次方程应用等知识，根据题意读懂图象是解题关键．
（1）根据题意结合图象即可求解；
（2）先确定点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为，再求出线段解析式为，线段解析式为，分货轮未追上游轮，相距12km和货轮超过游轮，相距12km两种情况列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时；
∵游轮的速度为20km/h，
∴游轮航行时间为（h），
（h），
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为；
（2）解：由题意得游轮到达七里扬帆用时（h），
（h），（h），
∴点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为，
设线段解析式为，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
解得，
∴线段解析式为；
设线段解析式为，
∵点D坐标为，点E坐标为，
∴，
解得，
∴线段解析式为．
当货轮未追上游轮，相距12km时，
，
解得，
当货轮超过游轮，相距12km时，
，
解得．
答：当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km．
【解题思路】解决一次函数与二元一次方程组的方案选择问题，核心是先根据题意梳理数量关系，设出变量，列出一次函数解析式和不等式（组），再结合一次函数的增减性确定最优方案。对于调运类问题，先依据总量关系用含变量的代数式表示各部分运输量，再根据运费单价列出总运费的一次函数关系式，结合运费限制条件求出变量的取值范围，利用函数增减性找到运费最小时的调运方案；对于利润类问题，先通过待定系数法求出销量的一次函数表达式，再分阶段根据 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 列出分段函数解析式，分别求出各段函数的最大值并比较得出最优利润；对于阶梯收费类问题，先根据不同档位的收费标准列出分段函数关系式，代入缴费金额判断用电量所在档位，进而计算实际用量或应付费用；对于行程类方案问题，先结合函数图象解读各点坐标的实际意义，求出不同阶段的函数解析式，再根据路程差建立方程，分情况讨论求解满足条件的时间。
【★★★题型 33】坐标系中一次函数动点问题
1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【模型建立】
美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题：
【模型运用】
（1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________；
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，
①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①点的坐标为；②点的坐标为或或
【分析】题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题．
（1）根据得到，再利用计算即可；
（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点作轴于．先求出点、点的坐标，再证明，得到，即可求出点的坐标．
②由题意设点的坐标为，设点的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造一线三等角模型求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴
∴
；
（2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且；
如图2，过点作轴于．
当时，则，
点的坐标为，即；
当时，则
解得
点的坐标为，即．
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
②由题意设点的坐标为，设点的坐标为．
情况1．如图3，当，时，
过点作轴，过点作轴，过点做轴，则，则点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
解得，
此时点的坐标为；
情况2．如图4，当时，过点作轴于点，过点作轴于点，则，则点的坐标为，点的坐标为，
由“K形图”可得
，
，
解得，
此时点的坐标为，
情况3．如图5，当时，过点作轴于点，过点作于点，则，则点的坐标为，点的坐标为，
由“K形图”可得
，
，
解得，
此时点的坐标为，
综上所述，满足题意的点的坐标为或或．
2．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或
【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
（1）分别令，，求出两点坐标即可。；
（2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解．
【详解】（1）解：，
∴当时，，当时，，解得：，
∴；
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
∴的面积与之间的函数关系式为；
（3）解：①．
理由如下：当的面积时，
，解得：，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，
过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，
∴点
情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS），
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知，在中，．
(1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标；
(2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标．
(3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为或
(3)在点B的运动过程中，的长度不发生变化，
【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解；
（2）由题意易得，即，然后分当点C在y轴的左侧时，当点C在y轴的右侧时，进而根据“k型全等”可进行求解；
（3）过点C作轴于点F，设，则有，，由题意易得，然后可得，，
则可得直线的解析式为，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，且，
∴，
∵，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴点A的坐标；
（2）解：令时，则，解得：，
令时，则，
∴，即，
当点C在y轴的左侧时，如图所示：
过点C作轴于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点C在y轴的右侧时，如图所示：
过点C作轴于点E，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：在点B的运动过程中，的长度不发生变化，理由如下：
如图，过点C作轴于点F，
设，
∵，
∴，，
同理（2）可得：，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令时，则，即，
∴．
4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限，，点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)若为线段的中点，为轴上一点，直线交于，交轴于点，其中，连接，求直线的解析式及四边形的面积；
(3)若点是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点，使以为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；49
(3)或或或
【分析】（1）过点B作轴于T，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出，再根据点A的坐标求出的长即可得到答案；
（2）求出点D和点E的坐标，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，进而求出点C的坐标，再求出点F的坐标，根据列式求解即可；
（3）分点D和点A为直角顶点两种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于T，
∵，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点D是的中点，
∴，
∵，且点E在y轴正半轴上，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解；如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D上方时，
过点D作轴于M，过点P作交延长线于N，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
如图所示，当点D为直角顶点，且点P在点D下方时，
过点D作轴，过点P作于N，过点A作于M，
同理可证明，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
如图所示，当点A为直角顶点时，同理可得
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【解题思路】整合一次函数、几何图形、坐标系等知识，采用 “数形结合” 的思想，将几何问题转化为代数问题；遇到动点问题时，动态分析动点的位置，分类讨论不同情况，结合全等、勾股定理、函数性质等知识综合求解。
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期末全册复习专题（8大考点33类题型）
北师大版八上
目录
一.基础篇 2
【考点一】概念与定义辨析 2
【★题型 1】实数的概念辨析 2
【★题型 2】平方根、算术平方根、立方根 3
【★题型 3】勾股数与直角三角形构成条件 3
【★题型 4】平面直角坐标系相关概念 4
【★题型 5】数据的分析基础概念 5
【考点二】图形识别（数形结合） 5
【★题型 6】实数与数轴的对应关系 5
【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征 6
【★题型 8】一次函数图象识别 7
【考点三】夯实基本运算 8
【★题型 9】实数的混合运算 8
【★题型 10】二次根式的运算 8
【★题型 11】二元一次方程组的解法 9
【★题型 12】待定系数法求一次函数解析式 9
【★题型 13】勾股定理的基础计算 10
【★题型 14】平行线的角度计算 11
【★题型 15】数据的分析基础计算 12
【考点四】基本性质与判定辨析 14
【★题型 16】算术平方根的非负性应用 14
【★题型 17】一次函数的性质辨析 14
【★题型 18】二元一次方程组的解的意义 15
【★题型 19】勾股定理逆定理的判定应用 16
【★题型 20】数据的分析性质辨析 17
二.培优篇 18
【考点五】综合运算与实际应用 18
【★★题型 21】二次根式的综合化简求值 18
【★★题型 22】二元一次方程组的实际应用 19
【★★题型 23】一次函数的实际应用 20
【★★题型 24】勾股定理的实际应用 21
【★★题型 25】数据的分析综合应用 22
【考点六】跨章节综合 25
【★★题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合 25
【★★题型 27】坐标系与几何综合 26
【★★题型 28】一次函数与几何图形综合 28
【★★题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合 29
三.压轴篇 31
【考点七】规律问题探究 31
【★★★题型 30】二次根式与勾股数的规律探究 31
【★★★题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究 32
【考点八】方案设计与综合探究 33
【★★★题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题 33
【★★★题型 33】坐标系中一次函数动点问题 36
一.基础篇
【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题
【考点一】概念与定义辨析
【★题型 1】实数的概念辨析
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·河北保定·期末）从 中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先明确无理数是无限不循环小数，常见类型有含的式子、开方开不尽的数、有规律但无限不循环的小数；有理数是整数和分数的统称。解题时逐一判断每个数的类型，统计无理数个数，或结合数轴估算无理数的范围，进而求解。
【★题型 2】平方根、算术平方根、立方根
1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 ．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·上海闵行·月考）一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ．
【解题思路】牢记定义 —— 一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是其中的非负根；立方根的符号与原数一致。解题时先化简原式，再根据定义计算；若已知正数的两个平方根，利用 “平方根互为相反数” 列方程求参数，再反求原数。
题型 3 勾股数与直角三角形构成条件
【★题型 3】勾股数与直角三角形构成条件
1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ．
【解题思路】勾股数是正整数组，满足 “两小边平方和等于最大边平方”；判断三角形是否为直角三角形，直接用勾股定理逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。若已知三边长度，可先判断形状，再结合面积公式或勾股数规律求解。
【★题型 4】平面直角坐标系相关概念
1．（25-26八年级上·山东济南·期中）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若点在第二象限内，且，，则点的坐标是 ．
4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为 ．
【解题思路】掌握象限内点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离（到x轴距离为纵坐标绝对值，到y轴距离为横坐标绝对值）。解题时根据点所在象限确定坐标符号，结合距离公式列方程求坐标；若直线平行于坐标轴，利用 “平行于x轴纵坐标相同，平行于y轴横坐标相同” 的性质求解。
【★题型 5】数据的分析基础概念
1．（25-26八年级上·全国·期末）一组数据：，，，，，，，的下四分位数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（ ）
A．81分，分 B．81分，81分 C．81分，82分 D．83分，77分
3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）小智在计算一组数据的方差时，列式如下：，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为5，平均数为4 B．样本容量为4，平均数为5
C．样本容量为5，平均数为5 D．样本容量为4，平均数为4
4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是 分．
【解题思路】众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需先将数据排序，再根据数据个数奇偶性确定（奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均值）；方差反映数据波动程度（方差越小越稳定）；加权平均数需用 “各数据 × 权重” 求和再除以权重和。解题时先整理数据，再根据概念计算对应统计量。
【考点二】图形识别（数形结合）
【★题型 6】实数与数轴的对应关系
1．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
4．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ．
【解题思路】：解决实数与数轴对应关系的题目，核心是把握 “数轴上的点与实数一一对应” 这一关键性质，结合勾股定理、无理数的估算、数轴上两点间的距离公式来分析。对于由几何图形确定数轴上点表示的数的题型，先利用勾股定理计算出相关线段的长度，以此得到对应的无理数的值，再根据点在数轴上的位置确定该点表示的实数；对于估算无理数对应数轴上点的位置的题型，先通过平方数确定无理数的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断；对于涉及数轴上多点距离与数值求和的题型，先依据两点间距离公式求出未知点表示的数，再将各点表示的数相加得出结果。
【★题型7】平面直角坐标系中点的坐标特征
1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
2．（24-25七年级下·河南安阳·期末）若点平行轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（24-25七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若直线与轴平行，且，则的值为 ．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知平面直角坐标系内不同的两点和到轴的距离相等，则的值为 ．
【解题思路】关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数；平行于坐标轴的直线上的点，横、 纵坐标具有共性。解题时根据对称或平行的性质，确定点的坐标关系，列方程求参数值，再计算相关代数式的值。
【★题型 8】一次函数图象识别
1．（25-26八年级上·全国·期末）关于一次函数的图象，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）函数与函数（，）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】一次函数y=kx+b的图象由k和b决定 ——k>0图象从左到右上升，k<0下降；b决定与y轴交点位置。解题时结合函数解析式的限制条件（如定义域），或正比例函数与一次函数的k符号关联，判断图象的形状和位置。
【考点三】夯实基本运算
【★题型 9】实数的混合运算
1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求出a，b的值；
(2)求的平方根和的立方根．
2．（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算：
(1) (2)
3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）、、均为实数，且是的整数部分．
(1)则的值为__________；的值为___________；的值为___________；
(2)求的平方根．
4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：
(1)； (2)
【解题思路】先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。涉及平方根、立方根时，先化简；若已知平方根或立方根的条件，先列方程求参数，再代入计算。
【★题型 10】二次根式的运算
1．（25-26八年级上·河北保定·期中）计算：
(1)； (2)．
2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算：
(1) (2)
3．（25-26八年级上·福建三明·期中）计算：
(1)； (2)
4．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
(1) (2)
【解题思路】先将二次根式化为最简二次根式，再根据运算法则计算 —— 加减运算需合并同类二次根式，乘除运算利用公式；遇到平方差、完全平方公式的形式，可利用公式简化计算。
【★题型 11】二元一次方程组的解法
1．（25-26八年级上·全国·期末）解方程组：
(1) (2)
2．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）解方程组：
(1)； (2)．
3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）解方程组：
(1) (2)
4．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程组：
(1)； (2)
【解题思路】常用代入消元法和加减消元法。代入消元法适用于有一个方程能直接表示出未知数的情况，将其代入另一个方程消元；加减消元法适用于同一未知数系数相同或互为相反数的情况，通过方程加减消去一个未知数，进而求解。
【★题型 12】待定系数法求一次函数解析式
1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过点和点，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与平行，且过点的直线的解析式是 ．
3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过点和点．
(1)求这个函数的表达式；
(2)直接写出将这条直线向上平移4个单位长度的函数表达式．
4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，直线（）经过点和，线段两个端点的坐标分别为，．
(1)求直线的表达式；
(2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值．
【解题思路】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将已知点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定解析式。若两直线平行，则k值相等，可先设解析式再代入点求解。
【★题型 13】勾股定理的基础计算
1．（25-26八年级上·河南周口·月考）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，以点为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点，则 ．
3．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，求它至少要走的路程．
4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的两段构成（即），若段长度为，、两点之间的距离比段长，求段的长度．
【解题思路】直角三角形中，利用勾股定理（c为斜边）求边长；求斜边上的高时，利用 “等面积法”。遇到折叠、最短路径等问题，先转化为直角三角形，再用勾股定理列方程求解。
【★题型 14】平行线的角度计算
1．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．45° B．58° C．65° D．75°
2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
3．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间）
4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上．
（1）线段，的长度分别为 ， ；
（2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °．
【解题思路】利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合直角三角形的内角和为180度。当图形中无直接平行线时，可作辅助线，构造平行线间的角度关系，进而计算角度。
【★题型 15】数据的分析基础计算
1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后各项得分如表：
演讲内容
语言表达
演讲技巧
小高
95
85
85
小新
85
90
93
(1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到）
(2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图：
(1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？
(2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？
3．（2025·河南信阳·一模）河南中牟县的姚家镇草莓种植面积达亩，被称为“全国十大草莓生产基地”之一．草莓种植的重要环节就是浇灌，传统的浇灌方式有两种：．滴灌，．漫灌．为对比产量，某种植户对两种浇灌方式下的垄草莓产量（单位：千克）做出了如下统计：
：，，，，，，，，，．
：，，，，，，，，，．
并得到了如下不完整的统计表：
平均数
中位数
众数
方差
(1)表格中的______，______；
(2)若种滴灌方式共种植垄，种漫灌方式共种植垄，那这垄的总产量大约是多少？
(3)从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？并说明理由．
4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人．
次数x分组
频数
2
6
10
2
(1)补全频数分布直方图．
(2)抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________．
(3)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．
【解题思路】计算平均数时，直接求和再除以数据个数；加权平均数需乘以对应权重；中位数需先排序再确定；方差计算步骤为 “先求平均数，再算每个数据与平均数的差的平方和，最后除以数据个数”。解题时结合统计图（条形图、箱线图）提取数据，再根据概念计算。
【考点四】基本性质与判定辨析
【★题型 16】算术平方根的非负性应用
1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则的立方根为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．
2．（25-26八年级上·福建南平·期中）已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形．
3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分．
(1)______，______，______．
(2)求的算术平方根．
【解题思路】算术平方根、绝对值、平方数均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。解题时根据此性质列方程，求出未知数的值，再代入代数式计算，或判断三角形的形状。
【★题型 17】一次函数的性质辨析
1．（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．y的值随x值的增大而增大
C． D．当时，
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（24-25八年级下·吉林白山·期末）已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ．
4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数．
(1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？
(2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【解题思路】一次函数y=kx+b的增减性由k决定，k>0时y随x增大而增大，k<0时相反；图象经过的象限由k和b共同决定。解题时根据函数的增减性或图象位置，确定k、b的取值范围，或比较函数值的大小。
【★题型 18】二元一次方程组的解的意义
1．（25-26八年级上·全国·期末）小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（ ）
A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8
2．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组是 ．
3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和两种规格的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，共有哪几种不同的截法？
4．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知关于x，y的方程组的解是．求的值．
【解题思路】解决二元一次方程组的解的意义相关问题，核心是紧扣 “方程组的解满足其中每一个方程” 这一本质。对于已知解求方程中未知参数的题型，直接将解代入对应的方程，通过解方程求出参数的值；对于由实际问题抽象二元一次方程组的题型，先分析题意找出两个等量关系，再设出未知数，根据等量关系列出方程组；对于二元一次方程的整数解应用题型，先根据题意列出二元一次方程，再结合未知数的实际取值要求，通过枚举法确定方程的所有符合条件的整数解，进而解决实际问题。
【★题型 19】勾股定理逆定理的判定应用
1．（24-25八年级下·云南·期末）若三角形三边长之比为，则这个三角形中的最大角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是
3．如图，在四边形中，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
4．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【解题思路】若三角形三边长满足（c为最长边），则该三角形为直角三角形。解题时先计算三边的平方，验证是否满足勾股定理逆定理，再结合垂直平分线、折叠等性质，求解边长或角度。
【★题型 20】数据的分析性质辨析
1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：，；，．那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（ ）
A．甲较为稳定 B．乙较为稳定 C．两个人一样稳定 D．不能确定
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表：
时间/h
2.5
3
3.5
4
5
6
7
频数
1
6
8
12
9
5
1
则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ）
A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5
3．（25-26八年级上·全国·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的下四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
4．（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”）
【解题思路】方差越小，数据越稳定；众数是出现次数最多的数据；中位数反映数据的中间水平；平均数反映数据的平均水平。解题时根据统计量的意义，结合表格或统计图中的数据，分析数据的特征，或选择合适的统计量进行决策。
二.培优篇
【考点五】综合运算与实际应用
【★★题型 21】二次根式的综合化简求值
1．（23-24八年级上·四川广安·期末）计算：
(1)； (2)．
2．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
(1)； (2)
3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简；
(2)若，求的值．
4．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)． (2)．
【解题思路】先将二次根式化为最简形式，再利用平方差、完全平方公式简化计算；遇到分母含二次根式的情况，进行分母有理化。解题时注意运算顺序，合并同类二次根式，最后代入数值求值（需注意取值范围）。
【★★题型 22】二元一次方程组的实际应用
1．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
3．（22-23八年级上·河南平顶山·期末）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．
4．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)该店客房有多少间？房客有多少人？
(2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？
【解题思路】解决二元一次方程组实际应用问题，核心是先找准题目中的两个等量关系，设出对应的未知数，列出二元一次方程组并求解；对于涉及费用、方案设计的拓展问题，可结合求出的单价、效率等，进一步构建函数关系式或计算不同方案的成本，利用函数性质或数值对比确定最优方案，全程需注意未知数的实际取值范围，确保解符合题意。
【★★题型 23】一次函数的实际应用
1．甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）．
(1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为．
(1)分别求出与x的函数关系式；
(2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？
3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个．
(1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？
4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】解决一次函数实际应用问题，核心是结合图象或文字信息，利用待定系数法求出一次函数解析式，需注意分段函数要根据自变量的取值范围分段求解；涉及行程、收费等实际场景时，先理清速度、时间、路程或单价、数量、总价等数量关系，再将实际问题转化为函数问题；对于最值、方案选择或存在性问题，可通过联立函数解析式求交点、结合函数增减性分析最值，或根据面积、距离等条件列方程求解，同时要关注自变量的实际取值范围（如整数、非负数），确保解符合题意。
【★★题型 24】勾股定理的实际应用
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ．
2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
3．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【解题思路】解决勾股定理实际应用问题，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，结合图形变换（折叠）、最短路径原理、方程思想来分析。对于求线段最值的题型，可通过构造全等三角形转化线段，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理计算最小值；对于长方体表面最短路径问题，需将长方体侧面展开为平面图形，连接起点与终点得到线段，再用勾股定理计算线段长度；对于折叠类题型，抓住折叠前后对应线段相等的性质，设出未知线段长，结合勾股定理列方程求解；对于判断三角形形状或求线段长的题型，先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，再结合等面积法、勾股定理列方程计算相关线段长度。
【★★题型 25】数据的分析综合应用
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）樱桃是落叶果树中成熟最早的树种，素有“春果第一枝”之美称，其色艳，味美有芳香，被誉为水果珍品．某果园共收获2000箱樱桃，从中随机抽取n箱进行称重，单箱净重有以下几种数据（单位：）：，，，，，根据数据，绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息解答问题：
(1)所抽取的n箱樱桃单箱净重的中位数为________、众数为________；
(2)计算所抽取的n箱樱桃单箱的平均净重；
(3)试估计这个果园2000箱樱桃的总净重．
2．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：60，70，70，80，83，89，91；93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85.5
a
70
八年级
m
b
c
(1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩m；
(3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数．
3．（25-26八年级上·全国·期末）某社区开展了一次爱心捐款活动，为了解捐款情况，该社区随机调查了部分群众的捐款金额，并将收集的数据整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的群众共有 人，扇形统计图中 ；
(2)补全条形统计图，并写出本次抽取的群众捐款金额的众数是________元，平均数是________元，中位数是________元；
(3)若该社区有2000名群众，根据以上信息，试估计本次活动捐款总金额．
4．（25-26八年级上·全国·期末）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：）．
七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级被抽取学生成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89
a
八年级
89
b
91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)画出七年级20名学生的成绩的箱线图；
(3)你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
【解题思路】结合条形图、扇形图、箱线图等统计图，提取数据并计算平均数、中位数、众数、方差等统计量；利用样本估计总体，通过样本的统计量估算总体的情况；根据统计量的意义，对实际问题进行分析和决策。
【考点六】跨章节综合
【★★题型 26】一次函数与二元一次方程组的综合
1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ．
3．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积．
(3)若是轴上的一点，且，求点的坐标．
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点．
(1)求出直线的函数解析式；
(2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标．
【解题思路】一次函数与二元一次方程组的关系 —— 方程组的解是两个函数图象的交点坐标。解题时可通过图象直接读取交点坐标，或联立两个函数解析式，解方程组求交点；也可利用函数图象的位置关系，解决不等式或面积问题。
【★★题型 27】坐标系与几何综合
1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标．
3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，三角板的两个顶点分别在x轴，y轴上的点A，B处，，．
(1)若，，则点C的坐标为______；
(2)若点C的坐标为，求点A，B的坐标．
4．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知，两点的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为 ．
【解题思路】结合平面直角坐标系的坐标特征，利用全等三角形、勾股定理等几何知识，确定点的坐标。遇到折叠、旋转等变换时，根据变换的性质（如折叠前后对应边相等），构造直角三角形，列方程求解点的坐标。
【★★题型 28】一次函数与几何图形综合
1．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为 ．
2．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)当时，求m的值；
(3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值．
3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图象经过点．
(1)求的面积．
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解决一次函数与几何图形综合问题，核心是结合一次函数的图象性质，运用几何图形的性质来分析。对于求角度或点坐标的题型，先根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，结合线段长度条件确定动点的不同位置，再分类讨论计算角度或坐标；对于涉及线段长度、图形面积的题型，设出关键点的坐标，结合函数解析式表示出相关线段的长度，利用三角形面积公式列出方程求解；对于求周长最小值的题型，借助轴对称的性质将折线转化为直线，结合 “两点之间线段最短”，联立一次函数解析式求出交点坐标，进而解决最值问题。
【★★题型 29】二元一次方程组与一次函数的实际综合
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案．
方案一：没有底薪，只拿销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题：
(1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元；
(2)求，图象的函数解析式；
(3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？
2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）春节期间，某动物园为了吸引游客，推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费；
乙：购买一张动物园年卡后，门票打折优惠．
设一人一年内去动物园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数表达式；
(2)甲方式购票每次多少元，乙方式购买一张动物园年卡的费用多少元；
(3)某同学带着240元压岁钱到该动物园游玩，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
3．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元．
(1)分别写出，关于的函数解析式．
(2)当时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示．
(1)两地相距______，快车返回时速度为______；
(2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地；
(3)慢车出发多长时间后，两车相距．
【解题思路】从实际问题中提取等量关系，建立一次函数模型y=kx+b；利用待定系数法求出解析式，再根据函数的增减性，解决最值、方案选择等问题；涉及分段函数时，需分情况讨论，结合自变量的取值范围求解。
三.压轴篇
【考点七】规律问题探究
【★★★题型 30】二次根式与勾股数的规律探究
1．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按上述规律，第个等式（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为 ；若时，的
3．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为 ．
【解题思路】观察已知等式或勾股数组的结构，总结规律；利用规律推导第n个等式或数组，再验证规律的正确性。
【★★★题型 31】平面直角坐标系与一次函数规律探究
1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
2．（24-25八年级下·山东德州·月考）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ．
3．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为 ．
4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ．
【解题思路】解决平面直角坐标系与一次函数规律探究问题，核心是先分析前几个特殊点的坐标、线段长度或图形面积，归纳出重复出现的变化规律，再利用规律推导后续未知量。对于点的坐标规律题型，先根据一次函数解析式和几何图形性质求出前几个点的坐标，总结出坐标随序号变化的通项公式；对于动点路径长度或图形面积规律题型，先计算前几次运动的路径长或前几个图形的面积，找出长度或面积的递变规律，再代入所求序号计算对应的结果。
【考点八】方案设计与综合探究
【★★★题型 32】一次函数与二元一次方程组的方案选择问题
1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元．
运费表
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）：
甲地
乙地
厂
x
②
厂
①
③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出与之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
2．（23-24九年级上·安徽合肥·月考）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第天）
1
3
6
10
日销售量件）
198
194
188
180
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第天）
销售价格（元件）
100
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示：
深圳市居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量（度）
电价（元/度）
第一档：
第二档：
第三档：
本月实用金额：167.5（元）
（大写）壹佰陆拾柒元伍角
根据以上提供信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；
(2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量；
(3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？
4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
(1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
(2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？
【解题思路】解决一次函数与二元一次方程组的方案选择问题，核心是先根据题意梳理数量关系，设出变量，列出一次函数解析式和不等式（组），再结合一次函数的增减性确定最优方案。对于调运类问题，先依据总量关系用含变量的代数式表示各部分运输量，再根据运费单价列出总运费的一次函数关系式，结合运费限制条件求出变量的取值范围，利用函数增减性找到运费最小时的调运方案；对于利润类问题，先通过待定系数法求出销量的一次函数表达式，再分阶段根据 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 列出分段函数解析式，分别求出各段函数的最大值并比较得出最优利润；对于阶梯收费类问题，先根据不同档位的收费标准列出分段函数关系式，代入缴费金额判断用电量所在档位，进而计算实际用量或应付费用；对于行程类方案问题，先结合函数图象解读各点坐标的实际意义，求出不同阶段的函数解析式，再根据路程差建立方程，分情况讨论求解满足条件的时间。
【★★★题型 33】坐标系中一次函数动点问题
1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【模型建立】
美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题：
【模型运用】
（1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________；
【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，
①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标．
2．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知，在中，．
(1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标；
(2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标．
(3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．
4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限，，点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)若为线段的中点，为轴上一点，直线交于，交轴于点，其中，连接，求直线的解析式及四边形的面积；
(3)若点是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点，使以为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】整合一次函数、几何图形、坐标系等知识，采用 “数形结合” 的思想，将几何问题转化为代数问题；遇到动点问题时，动态分析动点的位置，分类讨论不同情况，结合全等、勾股定理、函数性质等知识综合求解。
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