第3部分 第1章 二次根式-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（浙教版·新教材）

期末·寒假大串联 第三部分 探究先飞 第1章二次根式 》探究目标 重点：二次根式的概念、四条性质以及二次根式的四则运算法则 难点：理解二次根式的性质和运算的合理性 探究学习 M 1.1二次根式 一、1.已知x2=a,那么a是x的 ;x是a的 ,记为 ,a一定是数. 2.4的算术平方根为2，用式子表示为4= ;正数a的算术平方根为 ,0的算术平方 第 根为；式子a≥0(a≥0)的意义是 三 3.√16的平方根是 部 4.一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关 分 系式h=5t2.如果用含h的式子表示t,则t= 5.圆的面积为S,则圆的半径是 探 6.正方形的面积为b一3，则边长为 究 二，思考vV压，沿√0梦式子的实际意义。 先 飞 说一说它们的共同特征 定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的代数式叫作二次根式，a叫作 1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 5,a5,a≥0w 2.当a为正数时，√a是a的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a才 有算术平方根.所以，在二次根式√a中，字母a必须满足 ,Wa才有意义. 1.2二次根式的性质 一、1.什么是二次根式，它有哪些性质？ /2 2.二次根式一有意义，则x 3.在实数范围内因式分解： x2-6=x2-()2=(x十 )(x- 二、1.计算：√42= W0.22= ,w(20) 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a>0时，√a2= 63 期末·寒假大串联 2.计算：√(-4)2= w√(-0.2)2= w(-20)2= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，√a= 3.计算：√0= ,当a=0时，√a2= 归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质： a a0 √a=la= 0 a=0 -aa<0 三、1.化简下列各式： (1)W0.32= (2)√(-0.5)2= (3)√(-6)2= (4)(2a)2= (a<0) 2.请大家思考、讨论二次根式的性质（√a)2=a(a≥0）与√a=a有什么区别与联系. 第三部 分 究 1.3二次根式的运算 先 飞 一、二次根式的乘法 填空：(1)W4×√9 ,√4X9= 4X√9 √4X9. (2)W√16X√25= ,√/16X25= ;w√16X√25 W16×25. (3)/100X√36= ,√100×36= w√100X/36 /100×36. 1.学生交流活动总结规律。 2.一般地， 对二次根式的乘法规定为 √a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，反过 来：√ab=√a·b(a≥0，b>≥0) 二、二次根式的除法 填空： (1)g 9 W1 规律： ⑨ w16 √/16 (2)Q6 /16 √16 √36 √36 √36 (3)4 4 '√16 W√16= √/16 (4)36 6 √36 √81 √8 √8I 用月 64 期末·寒假大串联 般地，对二次根式的除法规定： 图-层ao6 ,反过来： (a≥0，b>0) 三、二次根式的加减 计算下列各式 (1)22+3√2= (2)2√⑧-3√8+5√8= (3)W7+2√7+3√9×7= (4)3√5-2√3+√2= 由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2√2与√⑧表面上看是不相同的，但它们可以合 并吗？也可以.（与整数中同类项的意义相类似，我们把3√3与一23,3√a、一2√a与4√a这样的几个二次 根式，称为同类二次根式) 3√2+√8=3√2+22=5√2 3√3+√27=3√3+33=6W3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并. 探究检则 一、深思熟虑，精心选择 1.下列各式中一定是二次根式的是 ( 第 A.√-7 B.√a C.5 D.√a2+1 三 2.要使式子√2x十6有意义，字母x的取值必须满足 部 A.x≥-3 B.x>-3 C.x≠-3 D.x<-3 分 3.下列根式中不属于最简二次根式的是 A.J10 B.√8 C.√7 D.5 探 1 究 4.下列各组根式：①2和12，②2和，√？，③√4y和√9xy,④√x一y和V+,其中属于同类二 先 次根式的有 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 5.若√4一4a十a2=a一2，则a的取值范围为 A.a>2 B.a≤2 C.a<2 D.a≥2 7 6.计算/18÷8×√2 的值为 A.93 C.18√6 8 7.已知m=√5-2，n= 1。则m与n的关系是 5+2 A.m=n B.m·n=1 C.m=-n D.m·n=-1 8.下列计算正确的是 A.√(-3)X(-4)=√(-3)×√(-4)=(-√3)×(-√4)=2√3 B2g-xg-日 C.√J162-92=√16-√92=16-9=7 D.√(-2)2a=√（-2)z·√a=2√a 65 期末·寒假大串联 9.已知a<0,那么√a2-2a可化简为 A.-a B.a C.-3a D.3a 10.化简3a, √层的结果是 A.3 B.3或-3 C.-3 D.3a 二、全面思考，耐心填空 11.化简：√（-5)7= 12.计算：√27-3 13.比较大小：43 5√2（填“>”、“<”或“=”）. 元=一√十n,则n的取值范围是 14.已知2 n 15.23=√22X3=√4X3=√12①， -25=√(-2)2X3=√4X3=√12②， .2√3=-23③. 以上推导中的错误在第 步开始出现。 16.已知2<x<5,化简√(x-2)z+√(x-5)2 第 17.估计√24+3的值，在 和 两个自然数之间. 18.在实数范围内分解因式：x4一9= 部 三、平心静气，展示智慧 分 19.计算：(1)W18- 究 先 飞 2x(25+月）-厄. 20.已知x=√3-1，求x2+2x十3的值. 66(2)y=2.5x+150: (3)小强4月份需做家务32.5小时. 第三部分 探究先飞 第1章二次根式 -、1.D2.A3.B4.B5.D6.A7.A8.D9.C10.B 二、11.512.2313.<14.-1≤n<015.②16.317.7818.(x2+3)(x +√3)(x-3) 三，19.解，)原式=3-《度+√) =3√2-(2√2十√2)=0： ②原式-5×2g+5×/居-2后=1-2w5. 20.解：x2+2x十3=(x+1)2+2, 把x=3-1代入，得： (W3-1+1)2+2=3+2=5. 。8…