第2部分 3 结合三角形解实际问题&4 “勾股定理”再探究&5 化“斜”为“直”妙用勾股-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（浙教版·新教材）

期末·寒假大串联 结合三角形 解实际问题 解决与三角形有关的实际问题，经常用到三角形的内角和是180°，以及三角形的三边关系.下面举两例 和同学们共赏. 一、三角形内角和 例1如图，一块模板按规定AF,DE的延长线相交成85°的角，因交点不在模 板上，不便测量.工人师傅连接AD,测得∠FAD=32°，∠ADE=65°，即可知道AF, DE的延长线相交所成的角符不符合规定，为什么？ 解：延长AF,DE交于点M,则∠M+∠FAD十∠ADE=180°， 因为180°-∠FAD-∠ADE=180°-32°-65°=83°， 83°≠85°， 所以此模板不符合规定 点评：三角形的内角和定理应用非常广泛，本题就是利用三角形的内角和是180°来检验工件是否合格， 二、三边关系 例2如图，某市新建了四个社区，为方便社区的居民购物，决定在四个社区之间建一个大型超市M,使 第 它到四个社区的距离之和MA+MB+MC+MD最小.请你帮忙规划一下，超市应建在什么地方？ D 部 分 融 汇 解：如图，连接AC,BD,设AC和BD相交于，点M,再任取不同于，点M的任意一，点N,连接AN,BN, 跃 CN,DN. 升 由三角形的三边关系，得AN十CN>AC,BN+DN>BD, EpAN+CN>AM+CM,BN+DN>BM+DM. 由此可知，从点M到A,B,C,D四，点的距离之和小于从点N到这四点的距离之和，而点N是不同于 点M的任意一，点，也就是说，从点M到这四，点的距离之和比其他任意一点到这四点的距离之和都小，是最 短距离.所以把超市M建在AC和BD的交，点处，能使它到四个社区的距离之和最小， 点评：在求距离或线段最短时，往往要用到三角形的高（垂线段最短）或三边关系，同学们在解决相关的 实际问题时，要注意体会其中蕴含的数学知识. 44 期末·寒假大串联 “勾股定理”再探究 三角形按角分类，可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.勾股定理是在直角三角形的前提下存 在的，它反映的是直角三角形的三边之间的数量关系.对于一个直角三角形，它们三边具有“两直角边的平 方和等于斜边的平方”，那么在非直角三角形的情况下，它们的三边又存在着怎样的关系呢？下面我们对锐 角三角形和钝角三角形两种情况进行探究，看看它们三边之间有怎样的数量关系， 探究一如图，在锐角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c.试探究a2,b2,c2之间的关系. 我们可以过点A作AD⊥BC于点D,构造Rt△ABD和Rt△ACD.为了计算方便起见，不妨设CD= x,则有BD=a一x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2. 所以有AB2-BD2=AC2-CD2,即c2-(a-x)2=b2-x2. 所以a2+b2=c2+2a.x. 因为a>0,x>0,所以2ax>0,所以有a2+b2>c2. 同理可推出b2+c2>a2和a2十c2>b2. 因此有结论：锐角三角形任两边的平方和大于第三边的平方 第 探究二如图，在钝角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c.试探究 a2,b2,c2之间的关系（不妨设∠C是钝角）. 部 我们可以过点B作BD⊥AC,且交AC的延长线于点D,构造Rt△BCD和 分 Rt△ABD.为了计算方便起见，不妨设CD=x,则有AD=b十x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2-AD. 融 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=BC2一CD2. 所以有AB2-AD2=BC2-CD2,即c2-(b十x)2=a2-x2 汇跃 所以a2+b2+2bx=c2. 因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以有a2十b2<c2. 升 因此有结论：钝角三角形两条较短边的平方和小于最长边的平方. 由此可见，无论什么样的三角形，它们三边的平方之间都存在着一种数量关系.这种数量关系也体现了 从不等到相等的过渡过程，相等只是不等在特殊情况下的一种情形. 45 期末·寒假大串联 化“斜”为“直”妙用勾股 解决有关几何图形的问题时，仔细观察图形的特征，抓住已知条件的本质，恰当地构造出直角三角形， 化“斜”为“直”，从而将问题转化，运用勾股定理求解，则会收到化难为易，事半功倍的效果，下面举例予以 说明. 一、利用已知直角，补充图形构成直角三角形 例1如图，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，DC=6√5，AD =2√3，求四边形ABCD的面积 分析：由∠B=∠D=90°，考虑延长BA,CD交于点E,构造出Rt△CBE和 Rt△ADE.这样四边形ABCD的面积就等于Rt△CBE和Rt△ADE的面积 之差 解：延长BA,CD交于点E. :∠A=135,∠D=90°， ∴.∠EAD=45°，∠EDA=90°. 第 ,DC=63,AD=2W3, 二 ..DE=AD=23,CE=83. 部 又.∠C=45°， ∴BC=BE. 分 则在Rt△CBE中，由勾股定理得：2BC2=CE2=(8√3)2=192， 融 .BC2=96. 汇 之Seam=SaE-5ae=2nc2-号AD=42 跃 点评：求任意四边形的面积的方法：①将四边形化为三角形求其面积；②添辅助线，构造直角三角形. 升 二、利用图形的特征，作高线构造直角三角形 例2如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是BC上任一点，求 证：BD2+CD2=2AD2. 分析：要求证的是线段的平方和形式，首先想到运用勾股定理.但线段BD, CD,AD并不能构成一个直角三角形，所以要考虑作高构造直角三角形，再用勾股 定理证明. 证明：过A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2. ,AB=AC,∠BAC=90°， .△ABC是等腰直角三角形 ..AE=BE=CE. 又，BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE十DE)2 =BE2+CE2+2DE2 =2AE2+2DE2 =2AD2 ∴.BD2+CD2=2AD2. 点评：运用添高法构造直角三角形，可使勾股定理更充分地发挥其作用 46