专题08 勾股定理与翻折（7大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题08 勾股定理与翻折 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 矩形翻折之折痕过对角线 题型二 矩形翻折之折痕过一个顶点 题型三 矩形翻折之折痕过边上任意两点 题型四 三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上） 题型五 三角形翻折之过斜边中点所在直线 题型六 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边） 题型七 三角形中的其他翻折问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 矩形翻折之折痕过对角线 ⭐技巧积累与运用 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’。 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    矩形翻折之折痕过一个顶点 ⭐技巧积累与运用 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 矩形翻折之折痕过边上任意两点 ⭐技巧积累与运用 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 例1．（2023·驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ． 例2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上） ⭐技巧积累与运用 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 1．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ． 三角形翻折之过斜边中点所在直线 ⭐技巧积累与运用 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 1．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．7 C． D． 2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边） ⭐技巧积累与运用 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD； 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合。 例1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 例2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 例3．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 三角形中的其他翻折问题 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 例4．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 1．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（    ） A．2 B． C．5 D． 4．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 5．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是 ． 6．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 8．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 10．（2024·福建·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积． 1．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，中，，，，将边沿翻折，使点 落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东淄博·七年级期中）如图，在四边形中，，，，，是上的一点．若沿折叠，使，两点重合，则的面积为______． 4．（2024·内蒙古·八年级期末）如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为________． 5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 6．（2023·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3. (1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= . (2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长； (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长. 7．（2023·江苏苏州·八年级期末）(1)如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______∘.(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9． 【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚)； 【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=，求B'D的长； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 勾股定理与翻折 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 矩形翻折之折痕过对角线 题型二 矩形翻折之折痕过一个顶点 题型三 矩形翻折之折痕过边上任意两点 题型四 三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上） 题型五 三角形翻折之过斜边中点所在直线 题型六 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边） 题型七 三角形中的其他翻折问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 矩形翻折之折痕过对角线 ⭐技巧积累与运用 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’。 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则．根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形，∴．∴． 在和中∵，∴．∴． 在中，即．解得：．∴．故选：A． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【答案】D的坐标为 【分析】根据题意由折叠的性质可知，易得设则，在中，由勾股定理得，进一步求得D的坐标,并且主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，， 即，解得：，∴点D的坐标为： 矩形翻折之折痕过一个顶点 ⭐技巧积累与运用 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴，∴，，∴； （2）∵折叠，∴，设，则：， 在中，，∴，∴，∴． 2．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴，∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得故选：A． 3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可 【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF． ∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE 代入数据求得AE=5 根据三角形的面积公式 得BH=即可得BF= 由FE=BE=EC，可得∠BFC=90° 再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF= 故答案为： 【点睛】此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分． 4．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得，∴， 在中， ，∴，解得．故答案是： 5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得AB＝A＝CD＝D＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠DE，BE＝E，CE＝E，由中点性质可得E＝2E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求CE的长，由“AAS”可证，可得＝1，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝90° 由折叠的性质可得：AB＝＝CD＝＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠，BE＝，CE＝， ∠BEA=∠=，∠CED=∠= ∴∠AED=+===90∴是直角三角形∴AD2＝AE2+DE2， ∵点恰好为的中点，∴＝2，∴BE＝2CE， ∴BC＝AD＝3EC， ∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，∴(3CE)2= AB2+BE2+DC2+CE2 即9CE2＝8+4CE2+8+CE2，∴CE＝2，∴＝BE＝4，BC＝AD＝6，＝2，∴＝2， ∵∠＝∠DC'F＝90°，∠AF＝∠DFC'，A＝D，∴AFDF（AAS）， ∴F＝F＝1，∴EF＝C'E+F＝3，故选：A． 【点睛】此题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是求出CE的长． 矩形翻折之折痕过边上任意两点 ⭐技巧积累与运用 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 1．（2023·驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是 ． 【答案】或7 【分析】根据题意，分及两种情况进行讨论求解．其中，当时，，，三点共线，由矩形性质及已知条件，有，，在中，运用勾股定理求得的长，再根据翻折性质，在中，运用勾股定理求得FD的长；当，运用翻折性质，证得是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长． 【详解】解：分两种情况进行讨论， ①当时，∵矩形中，沿所在直线翻折，得到， ∴，∴，，三点共线．∵矩形，，∴． ∵，点E是的中点，∴．∴在中，． ∵沿所在直线翻折，得到，，∴，∴． 设，则，∵，∴，∵，∴在中， ，即，解得，∴． ②当时，∵， ∴． ∴沿所在直线翻折，得到，∴． ∵矩形， ∴．∵，∴是等腰直角三角形． ∵，点E是的中点，∴， ∵矩形，，∴，∴．综上所述，的长为或7． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中，，故选：B． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，将四方形沿折叠得到四边形，点的对应点恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】存在两种情况，一是点在边上，连接交于点，作于点，则四边形是矩形，所以，由折叠得点与点关于直线对称，则垂直平分，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则；二是点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点，则四边形为矩形，所以，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点在边上，连接交于点，作于点，则， 四边形是边长为的正方形， ，， 四边形是长方形，， 由折叠得点与点关于直线对称，垂直平分，，， ，，， ，且，，解得：，； 如图，点在边的延长线上，连接交的延长线于点，作于点， ，四边形为矩形，， 垂直平分，，，， ， ，，， ，且，， 解得： ，综上所述，线段的长度为或．故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上） ⭐技巧积累与运用 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 1．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，，， 在中，，，，， ，设，则， 在中，，即：，解得：，．故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，， 根据折叠的性质可知：．∴．故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ，，，，，， 的周长．故答案为：． 三角形翻折之过斜边中点所在直线 ⭐技巧积累与运用 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 1．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，先求解，设，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，∴，根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得∶，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得∶，解得，∴；故选C． 2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 【答案】． 【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可． 【详解】如图所示，∵，∴BC==8， ∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y， 根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，过作于，先判定，即可得出，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，连接，过作于，    ∵，，，∴由勾股定理得， 由折叠可得，与全等， ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边） ⭐技巧积累与运用 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD； 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合。 1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点，，由折叠的性质可得：， 设，则，由勾股定理可得：， ，解得：，，故选：D． 2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，本题先设，再表示，再利用勾股定理建立方程求解即可，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 【详解】解：设，∵，，∴，， ∵，∴，解得：，∴，故答案为： 3．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB． 【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE， ∵，∴，∴， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B， ∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题． 三角形中的其他翻折问题 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题，勾股定理等知识点．根据题意推出是解题关键． 【详解】解：∵，的面积为， ∴∴ ∵沿着直线翻折得到，∴，， ∵，，∴ ∵，∴∴ ∴故答案为： 2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据翻折的性质可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可求出，由直角三角形两锐角互余可得，即可求出，可证明是等腰直角三角形，可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，根据可求出的长，即可得的长． 【详解】连接，如图 ∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；角所对的直角边等于斜边的一半，正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据折叠可知， ，在中，，，， ，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ，，， ，是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：，， ，故答案为：． 1．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，． 根据折叠的性质，得 ，， ，． 在中，由勾股定理，得．∴． 在中，由勾股定理，得．∴．解得．故选B． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出，折叠得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵，∴， ∵折叠，∴，∴；故选A． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿翻折，使点A与点B重合，∴，∴， 设，则，，在中，∵，∴， 解得，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 4．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设，由翻折的性质可知， ∵D是的中点，，在中，由勾股定理得： 即，解得：，∴，故选：C． 5．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】】由折叠可得AE=A'E=1，∠EFB=∠EFB'=60°，根据平行线性质可得∠A'EF=120°，∠B'EF=60°，求出A'B'的长度，则可求矩形ABCD面积． 【详解】解：∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BFE=∠EFB'=60°，AB=A'B'，∠A=∠A'=90°，AE=A'E=1， ∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠DEF=∠EFB=60°， ∵A'EB'F，∴∠A'EF+∠EFB'=180°，∴∠A'EF=120°， ∴∠A'EB'=60°且∠A'=90°，∴∠A'B'E=30°，且A'E=1，∴B'E=2，A'B'==AB， ∵AE=1，DE=3，∴AD=4，∴S矩形ABCD=AB×AD=4×=，故答案为：4． 【点睛】本题考查了折叠问题，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质，关键在于灵活运用折叠的性质解决问题． 6．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在中，，点D在边上，连接，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点E处，若，，则的长是 ．    【答案】 【分析】过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，过点作于，于，    将沿直线翻折，，，， ，，， ，，， ，， ， ，，，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键． 7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再利用求． 【详解】解：连接，是的中线，且沿着直线翻折， ， 是等腰三角形， ， ，为等边三角形， ， 在中，，． 【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点． 8．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点D作，交于点G，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，过点D作，交于点G，    ∵，∴为等腰直角三角形，， ∵，∴，设，则根据翻折得， ∴，在中，， 可得方程，，解得：，∴， ∵将沿着EF翻折，使得A点落在边上的D处，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵沿直线翻折得到， ∴，，∴， 在中，，，∴， ∵的面积为，为中点，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 10．（2024·福建·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积． 【答案】(1)5(2)10 【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案； （2）直接根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有： 以，，，∴（AAS），∴CF＝AF. 设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5； （2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键． 1．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长． 【详解】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示 由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE ∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE ∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA ∵BD=ED∴ ∠DEB=∠DBE ∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180° 即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90° 在Rt△AEB中，由勾股定理得： ∴ ∵ ∴∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积． 2．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，中，，，，将边沿翻折，使点 落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得, ，根据，可得，根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，可得,即可得出结论． 【详解】解：中，，， 将边沿翻折，使点落在上的点处，， ，，即，，即，， 在中， ，根据折叠的性质可得：，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，， ， 且， 为等腰直角三角形，，，故选：D． 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，等面积问题，，根据折叠的性质求出，是解本题关键． 3．（2023·山东淄博·七年级期中）如图，在四边形中，，，，，是上的一点．若沿折叠，使，两点重合，则的面积为______． 【答案】##1.5 【分析】设AE=x，由折叠的性质得到DE=BE=4-x，根据勾股定理列方程求得AE=，于是得到△AED的面积=AD·AE=×2×=． 【详解】解：设AE=x，由折叠的性质得：DE=BE=4-x， ∵∠A=90°，∴AE2+AD2=DE2，即x2+22=（4-x）2， 解得：x=∴AE=，∴△AED的面积=AD·AE=×2×=． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 4．（2024·内蒙古·八年级期末）如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为________． 【答案】 【分析】P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点，先根据勾股定理求出EC的长，再求出BE的长，则可知AP的长． 【详解】解：如图， P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点， ∵△ABC中，，AC=5，BC=4∴AB=3∴PE=3 根据折叠的性质PC=BC=4∴EC=∴BE=BC-EC=∴AP=BE=故答案为 【点睛】本题是一道动点问题，主要考查了折叠的性质和勾股定理，关键是分析出N点与C点重合时AP的值最小． 5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时. 【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; （2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; 【详解】解：（1）由题意可得,∴ 设,则在中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得∴    在中∵∴∴ 在中解得： 此时 ∴当时，点恰好落在边上 这时. 【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 6．（2023·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3. (1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= . (2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长； (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长. 【答案】（1），;（2）;（3） 【分析】（1）可得表达式，由折叠可得，然后用勾股定理列方程求解； （2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （3）如图③中，设．首先证明△DFP≌△A′FE，推出，，由，推出，，，在Rt△ECB中，可得，解方程即可. 【详解】解：（1），由折叠可得， 在中， 即，解得 （2）如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1=∠3， ∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴DE=EB，设CE =y，则DE=EB=5−y， 在Rt△BEC中,，解得，所以CE= (3)如图③中,设PA=PA′=m. 在△DFP和△A′FE中，∴，∴，， ∵，∴，，， 在Rt△ECB中,，解得，∴ 【点睛】本题考查勾股定理中的折叠问题，利用折叠的性质，找出线段关系，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，是此类问题的通用解法. 7．（2023·江苏苏州·八年级期末）(1)如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______∘.(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9． 【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚)； 【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=，求B'D的长； 【答案】(1)23(2)【画一画】画图见解析;【算一算】DB`=3 【分析】(1)根据矩形性质可得AD∥BC,从而可得∠ADB=∠DBC=46°,再根据翻折的性质即可求得∠DBE的度 (2)画一画:连接CE并延长交BA的延长线与点G,利用尺规作图画出∠BGC的角平分线即可得抓痕MN, 算一算:由已知可得GD=,根据矩形的性质及翻折的性质可得∠DFG=∠DGF,从而可得DF=DG=,在Rt△CDE中,根据勾股定理可求得CF= ,根据BF=BC-CF求得BF的长,再根据翻折的性质继而可求得DB`的长即可 【详解】(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=46°， 由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC= ∠DBC=23°，故答案为23． (2)【画一画】，如图2中， 【算一算】如图3中， ∵AG=，AD=9，∴GD=9−=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠DGF=∠BFG， 由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=， ∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF=，∴BF=BC−CF= ， 由翻折不变性可知，FB=FB'=，∴DB'=DF−FB'=−=3． 【点睛】此题考查作图-折叠变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于掌握作图法则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$