第3部分 19.2 二次根式的乘法与除法-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

寒假大串联 八年级数学R 19.2二次根式的乘法与除法 雯点预览 知识点一：最简二次根式 最简二次根式满足的三个条件： ①被开方数不含开方开得尽的数； ②根号下面不含分母： ③分母里面不含根号. 注意：若被开方数是多项式时，要判断多项式能否进行因式分解，若不能进行因式分解，则为 最简二次根式；若能进行因式分解，且分解的结果没有相同的式子，则也为最简二次根式 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法法则： 几个二次根式相乘，根指数不变，把被开方数相乘.即a·√石=√ab(a≥0，b≥0). 拓展：aB·c√a=ac√bd(b≥0，d≥0) 知识点三：积的算术平方根的性质 积的算术平方根的性质： 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积.即ab=√a· √b(a≥0，b≥0). 知识点四：二次根式的除法法则 二次根式的除法法则： a÷6=a- a (a≥0，b>0) 折民a*-指-吾6000 知识点五：商的算术平方根与分母有理化 1.商的算术平方根的性质： 及-a-a·b-ab- √bbb·bb =6(a≥0，b>0) 2.分母有理化： 1 √a干√6 √a干√6 √a土√b (Wa±√b)(a干√b)a-b ,分子分母所乘的式子叫作分母的有理化因式。 第三部分 探究先飞 知识点六：二次根式的乘除混合运算 二次根式的混合运算步骤： ①将算式中的除法转化成乘法； ②将根号前面的系数和被开方数分别相乘； ③化成最简二次根式. 典型例题w 例1下列二次根式中，是最简二次根式的是 () A.√13 B.√27 c D.√16 解析：A.√I3是最简二次根式，符合题意；B.√27=3√，不是最简二次根式，不符合题意； c.2 √ 2 ,不是最简二次根式，不符合题意；D.√6=4，不是最简二次根式，不符合题意，故 选A. 答案：A 例2计算：⑧× 解析：8×2 =22×2 =2 答案：2 例3化简√64X25的结果是 A.100 B.60 C.40 D.20 解析：√64X25 =√64X/25 =8×5 =40 答案：C 例4化简二次根式一3)二得 A.√3-x B.√/x-3 C.-√3-x D.-√Jx-3 寒假大串联 八年级数学R 解析二次根式有意义3-r>0,-3=(-3=-3)X3× /1 3-x V3-x=(x-3)X,1 X√3-x=-√3-x. 3-x 答案C 例5下列各式计算正确的是 () A.√24÷√6=4 B.√54÷√=√6 C.√30÷√6=5 n- 解析：A.√24÷√6=2，不符合题意；B.√54÷=√6，符合题意；C.√30÷√6=√5，不符合题 意D.7÷9√7 ×49=2√7，不符合题意，故选B. 答案：B 例6计算÷×月 的结果是 () A.66 C46 3 D36 4 解析：原式= /18÷8×2 54√5436 4 答案：D 预习检测 1.下列各式中，最简二次根式是 A.√m2+1 B.√3ab C.√12 n 2.将√/125化成最简二次根式的结果为 A.5/5 B.5√/25 C.255 D.±5√5 3.下列等式不成立的是 A.√/12÷√3=2 B.12X5=6 C.√(-4)X(-3)=23 n厚-受 -2 4.下列等式成立的是 A.45×2√5=8/5 B.4√2×3√/3=12/5 C.3√2×45=75 D.45×22=86 第三部分 探究先飞 5.√x一y的有理化因式是 A.√x-y B.√x+y C.元-√列 D.√元+ 1 6.若a=1十√2，b= 1-√2 ,则a与b的关系是 A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 7如果ab0ah<0.那么下面各式：心分二公②6 =一b,其 中正确的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 8在将式子”(m>0)化简时， √m 小明的方法：” _m·√m_m√m 一Jm； √m √m·√Jm 小亮的方法：”=（√m) =√m； m √m 小丽的方法：”一 m =m, m√mm 则下列说法正确的是 A.小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确 B.小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确 C.小明、小亮、小丽的方法都正确 D.小明、小丽、小亮的方法都不正确 9.若√/63m是整数，则正整数n的最小值是 A.3 B.7 C.9 D.63 10.若x=√5，y=5-√J10,则xy的值为 A.55-52 B.5-5√5 C.5-25 D -/10 5 1.下列各式√2尽⑧w0.4中，是最简二次根式的有 13.若最简二次根式”√/2n+I与最简二次根式√4n一m相等，则m+n= 14.已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=√3×3X3X7m=3√3X7m可知m有 最小值3X7=21.设n为正整数，若/20是大于1的整数，则m的最小值为 寒假大串联 八年级数学R 。1 15.已知m5+2”3-2 ，则(m-1)(n-1)= 16.计算： w号x(-8压： ②月×(-) (aav后6÷(-2a5)XF: (4)√27×√J45÷√3. 。1 7.巴知工三2y之求下列代数式的值 (1)x2-2xy+y2; (2)义+x 细12.解：由题意得：(x+y)2+√5z-3y-16=0, 2+y=0, 6x316=0.解得： x=2, y=-2, .士√十y=士⑧=士2√2. 13.解：因为a,b,c为△ABC的三边， ..b-c>a,a+b>ca-+c>b, ∴.a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0, .原式=|a-b-c-|b-c-a+c-a-b =-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-6) =-a+b+c+b-c-a-c+a+b =-a+3b-c. 14.(1)解：隐含条件2-x≥0，解得：x≤2， .x-3<0,即3-x>0, .原式=(3一x)一(2一x)=3一x-2十x=1; (2)解：观察数轴得隐含条件：a<0,b>0,|a|> |b|,∴.a+b<0,b-a>0, .原式=一a一(a+b)-(b-a) =-a-a-b-b+a =-a-2b; (3)解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件： a+b+c>0,b+c>a;a+c>b;a+b>c, ∴.b-c-a<0,c-b-a<0, .原式=(a+b十c)-(b一c一a)-(c-b-a) =a十b+c-b+c十a-c+b+a =3a十b十c. 19.2二次根式的乘法与除法 1.A2.A3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.B10.A 35 11.512.213.814.215.2-25 160)-4552号(8)-366(495 17.解：1)x=,1=2+月，y=。 2-√5 2+g=23, .x2-2xy+y2=(x-y)2=12; (2)xy=(2+√3)(2-√5)=1， (x+y)2=[(2+√3)+(2-√3)]2=16， .x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2×1=14, 义+之=y2+x214 2y=7=14. 19.3二次根式的加法与减法 1.B2.C3.D4.A5.B6.A7.B8.B9.C 10.-111.6312.5+√313.14√214.5+5 15.(1)12(2)-2+4√3 16.解：(1)a+b=25;ab=(5+√3)(V5-√3)=2； (2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=18. 17.解：，最简二次根式√2a-2与√一a十16是同类 二次根式，∴.2a-2=-a+16,.a=6. (1),a=6,.a的平方根是土6； (2):a=6,…u※(-2)=6※(-2)=6干(-2 6-(—2) 5 号号子a*0(-8=6装 4 1 6 210 23231 4 第四部分新知测效 假期学情测评（一） -、1.C2.D3.B4.A5.D6.C7.C 8.A9.B10.A 二、11.y(x+1)(x-1)12.1513.714-2 5.45°16.417.a>-1且a≠-7 18.6或8 19.220.(1)4(2S=2L-1 三、21.解：(1)原式=-8.xy3十8x·x2·y3= -8z6y3+8x5y3=0; (2)原式=16.xy8·(-6.x2y)÷(-12x3y)= -96x°y°÷(-12x3y2)=8x3y2. 22.解：原式=1.+2)(x-2)1+2 x-2·(x-1)2x-1' 当=3时，原式背号 23.(1)EF=BE+CF.证明：，OB平分∠ABC, .∠ABO=∠OBC.:EF∥BC,.∠EOB= ∠OBC,∴.∠ABO=∠EOB,∴.EO=BE;同理 OF=CF,..EF=EO+OF=BE+CF; (2)EF=BE-CF. 24.证明：连接CD,,△ACB为等腰直角三角形，D 为AB的中点，.CD⊥AB,CD=AD=BD,且 ∠ACD=∠ABC=45°，∠DCE=∠DBF=180°- 45°=135°.又.DE⊥DF,.∠CDE=∠BDF= 90°-∠BDE,.△DCE≌△DBF,.DE=DF. 25.解：(1)设购买一个手电简需要x元，则购买一个台 灯要十0元：根据题意得，。-·合 解得x=5,经检验，x=5是原方程的解..x十 20=25.所以购买一个台灯需要25元，购买一个手 电简需要5元； (2)设公司购买台灯的个数为a个，则还需购买手 电简的个数为(2a十8一a)个， 由题意得25a+5(2a+8一a)670, 解得a≤21. .荣庆公司最多可以购买21个该品牌的台灯. 26.解：(1)作CE⊥y轴于E,如图， A(-2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4. .∠CBA=90°，∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°， ∴.∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴.∠ECB=∠ABO. 在△CBE和△BAO中，