第3部分 19.1 二次根式及其性质-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

2.1 3.解：图略（提示：要使△ABC周长最小，我们可作点 x2-2+ A关于OM的对称点A1,关于ON的对称点A2,连 接A1A2交OM,ON于点B,C.这样就把AB,AC x2+=3. 分别以OM,ON为轴翻折到了A1B,A2C的位置， 即有AB=A1B,AC=AC,由于两点之间线段最 专题六构造全等三角形巧解数学题 短，故△ABC的周长最小.) 1.证明：延长BC到E,使CE=AC,连接AE, 专题四整体思想在分式求值中的应用 .CE=AC,∠E=∠CAE,∠ACB=2∠E. ,∠ACB=2∠B,∴.∠B=∠E, 1.解：将待求分式取倒数，得 ..AB-AE. -++1-(+》-1=2-1 .AC+CE>AE,..2AC>AE,..2AC>AB. 2.证明：延长AD到G,使DG=AD.连接BG. 3…原式 AD是中线，∴.BD=DC 在△ACD和△GBD中， 2.解： a2-at1=7,a≠0，a2-a+1= 1 7, CD=BD, ∠CDA=∠BDG, +上8.a+a+1=a2+ .a a2 a+1=(a+ AD-GD. .△ACD≌△GBD, )》-18原式号 .AC=GB,∠CAD=∠G. :AF=EF,.∠CAD=∠AEF, 专题五分式求值有巧法 ∴.∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG, .BE=BG,∴.BE=AC. 1.解：设a+b=3k①， 2a+3b=8k②. 3.证明：在AB上取BE=BC,连接DE,,BD平分 ∠ABC交AC于点D,∴.∠CBD=∠EBD. 且k≠0.①②联立，将其看作关于a,b的二元一次 在△CBD和△EBD中， 方程组，解得a=k,b=2k. BC=BE, 所以法楼 ,2k十2k4k41 ∠CBD=∠EBD, BD=BD, 2.解：由x十y十之=0，xyz≠0得：y十x=一x,x十之= .∴.△CBD≌△EBD、 -yx十y=一x,∴原式=2+二y+二=-3. .CD=ED,∠C=∠BED. y 3.解：设g=么=二=，则a=h,b=ck,c=ak. ∠C=2∠A, b-c a .∠BED=2∠A· c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ,∠BED=∠A+∠ADE,∠A=∠ADE, .k3=1,k=1,.a=b=c, ..AE=DE,.'.AE=CD..'AB=BE+AE, 原式=a+h=1 ..AB=CD+BC. a-b+c 专题七用多边形的外角和定理解题 4.解：原式=a-b:a2-2ab+b a a 解：由于多边形的最小内角为95°，其他内角依次多 _a-b.a 10°，故其最大外角为85°，其他外角依次减少10°. a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=3601 1 故这个多边形的边数是6. =a-6' 当a=2,b=2-3时， 第三部分探究先飞 原式= 1V3 第十九章二次根式 2-2+331 5.解：(1)x2十x-1=0, 19.1二次根式及其性质 1一0 x+1 1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.B x-1=-1 ② 8.13,12,9,49. 2 (2)由(1)知x-1 =-1, 10.(1)x≥-3 (2)x≥2(3)x为任意实数 (x-)=1 (4)x>2 11.(1)5(2)2025(3)18 12.解：由题意得：(x+y)2+√5x-3y-16=0, 2+y=0, 63y16=0.解得：亿=2， W421 y=-2, 8=8=4a※[a※(-2]=6※ ,土√+y=士√8=士2√2 13.解：因为a,b,c为△ABC的三边 5 210 ..b+c>a;a+b>c,a+c>b, ∴.a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0, 2323 4 .原式=|a-b-c-b-c-a+c-a-b =-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-b) 第四部分新知测效 =-a+b+c+b-c一a-c+a+b =-a+3b-c. 假期学情测评（一） 14.(1)解：隐含条件2-x≥0，解得：x≤2， -、1.C2.D3.B4.A5.D6.C7.C .x-3<0,即3-x>0, 8.A9.B10.A .原式=(3-x)-(2-x)=3-x-2+x=1: (2)解：观察数轴得隐含条件：a<0,b>0,|a|> 二.+1Dx-D2.151a714号 b,.∴.a+b0,b-a>0, ∴.原式=-a-(a+b)-(b-a) 184行1647.>1且a子号 18.6或8 --a-a-b-b+a =-a-2b; 19.220①42s=2-1 (3)解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件： 三、21.解：(1)原式=-8xy3十8x4·x2·y3= a+b+c>0;b+c>a;a+c=b,a+b>c, -8zy3+8.xy3=0; .b-c-a<0,c-b-a<0, (2)原式=16.xy8·（-6x2y)÷(-12x3y2)= .∴.原式=(a+b十c)-(b一c一a)-(c-b-a) -96.xy°÷(-12x3y2)=8x3y2. =a+b+c-b+c+a-c+b+a =3a+b+c. 22.解：原式=11.+2)(-2)_2+2 x-2·(x-1)2一x-1' 19.2二次根式的乘法与除法 3+25 当x=3时，原式=3-12 1A2.A3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.B10.A 23.(1)EF=BE+CF.证明：：OB平分∠ABC, 35 .∠ABO=∠OBC.:EF∥BC,.∠EOB= 11.512.213.814.215.2-2 ∠OBC,.∠ABO=∠EOB,∴.EO=BE;同理 (3)-36W万(4)9W5 OF=CF,..EF=EO+OF=BE+CF; 16.(1)-45V3(2)- (2)EF=BE一CF. 17解：1)：x2己=2+，y=1 =2-√3， 24.证明：连接CD,,△ACB为等腰直角三角形，D 2-5 2+5 为AB的中点，.CD⊥AB,CD=AD=BD,且 .x2-2xy+y2=(x-y)2=12; ∠ACD=∠ABC=45°，∠DCE=∠DBF=180°- (2)xy=(2+3)(2-√3)=1， 45°=135°.又.DE⊥DF,.∠CDE=∠BDF= 90°-∠BDE,.△DCE≌△DBF,∴.DE=DF. (x+y)2=[(2+3)+(2-√3)]2=16， 25.解：(1)设购买一个手电简需要x元，则购买一个台 .x2+y2=(x+y)2-2y=16-2×1=14, 学+号兴 灯赛层十0元棉瑞题意，得·白 y 解得x=5,经检验，x=5是原方程的解.∴.x十 19.3二次根式的加法与减法 20=25.所以购买一个台灯需要25元，购买一个手 电简需要5元： 1.B2.C3.D4.A5.B6.A7.B8.B9.C (2)设公司购买台灯的个数为a个，则还需购买手 10.-111.6312.5+313.14W214.5+√5 电简的个数为(2a十8-a)个， 15.(1)12(2)-2+4√3 由题意得25a+5(2a+8-a)≤670， 16.解：(1)a十b=2√5；ab=(W5+√3)（√5-√3）=2； 解得a≤21. (2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=18. .荣庆公司最多可以购买21个该品牌的台灯. 26.解：(1)作CE⊥y轴于E,如图， 17.解：，最简二次根式√2a-2与√一a+16是同类 A(-2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4. 二次根式，∴.2a-2=一a+16,.a=6. ,∠CBA=90°，.∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°， (1).a=6,∴a的平方根是士6； .∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， (2)a=6,∴a※(-2)=6※(-2)=6干-2 ∴.∠ECB=∠ABO. 6-(-2) 在△CBE和△BAO中，第三部分 探究先飞 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 要点预览 知识点一：二次根式的概念 1.代数式√a(a≥0)叫作二次根式，读作“根号a”,其中a是被开方数.例如√3，√2元(x≥0)， √一3(x>3)都是二次根式 1 通常把形如m√a(a≥0)的式子也叫作二次根式，如3√2，一√5，a√3,2b√a+1也是二次 根式。 注意：ma(a≥0)表示m与a(a≥0)是相乘的关系，当m是分数时，只能是真分数或假分 数，不能写成带分数或小数的形式. 2.二次根式的特征 (1)必须含有平方根“√一”，“一”的根指数是2；[根指数2一般省略不写 (2)被开方数一定是非负数，如√/一2和√/一a一1都不是二次根式. 知识点二：二次根式有无意义的条件 L.二次根式有意义：被开方数是非负数，即√a有意义台→a≥0： 二次根式无意义：被开方数是负数，即a无意义台a<0. 2.若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数； 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零， 知识点三：二次根式的性质 1.二次根式的双重非负性 √a(a≥0)具有双重非负性： (1)被开方数是非负数； (2)本身也是非负数. 2.二次根式的性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的 平方的形式，即a=(√a)(a≥0). 3.二次根式的性质2 (1)一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； 寒假大串联 八年级数学R (2)对于实数a,一般来说，由a2=a,得a=√/a下，其中a≥0.利用二次根式的性质1， a(a>0), 可知√a下=|al,所以a=|al= 0(a=0), -a(a<0), 注意：性质a?=|a表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.√a的值不一 定等于a. (3)(√a)与√a的区别与联系： 类别 (a)2 √a 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示数a的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 区别 a的取值 a≥0 a为任意实数 化简结果 (a)2=a √a=|al 联系 (1)结果都是非负数；(2)当a≥0时，（√a)2=√a. 典型例题 例1下列式子一定是二次根式的是 () A.√元 B.√/x+2 C.√x2-2 D.√2 解析：A当x<0时，√工不是二次根式，不符合题意；B.当x十2<0时，Wx十2不是二次根式，不 符合题意；C.当x2一2<0时，√x2一2不是二次根式，不符合题意；D.√2=√⑧是二次根式，符合 题意；故选D, 答案：D 例2已知x为实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？ 1 (1W2x:(2)w2-x:3)(4W+7 解析：1)由2x-120,符x≥所以，当x≥号时2x有意义(2)由2-≥0，得x≤2.所 当x≤2时2一x有意义；③)由≥0以及x≠0，得x>0.所以，当x>0时，有意义 (4)因为不论x是什么实数，都有x2≥0，可知1十x2>0.所以当x是任意实数时，√1十x2有 意义 答案：1≥：(2)r≤2，(3x>0:4任意实数 38 第三部分 探究先飞 例3二次根式√/（一2）严的值等于 A.-2 B.±2 C.2 D.4 解析：原式=|一2=2. 答案：C 例4当1<a<2时，代数式J(a-2)2+√(a-1)的值是 解析：.1<a<2, ∴.a-2<0,a-1>0, ∴.√(a-2)2+√(a-1)z=|a-2+|a-1=-(a-2)+a-1=1. 答案：1 例5若√(3-b)=3一b,则b满足的条件是 解析：.√(3一b)=3一b .3-b≥0 .b≤3 答案：b≤3 例6已知x,y是实数，且y=√x一3十√3一x十9，则一xy的立方根为 解析：由题意知，x一3≥0,3一x≥0，解得x=3,∴.y=9,则一xy的立方根为一xy=一27= -3. 答案：一3 例7设实数a,b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是 () A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b 解析：根据数轴上a,b的值得出a,b的符号，a<0,b>0,a十b>0,∴Wa2+|a十b|=-a+a+ b=b,故选D. 答案：D 例8在△ABC中，a,b,c是三角形的三边长，化简(a一b+c)一2c-a一b. 解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知a一b十c>0,c一a一b<0, 原式=a-b+c|-2c-a-b|=(a-b+c)+2(c-a-b)=a-b+c+2c-2a-2b=3c- a-3b. 答案：3c-a-3b 顾习检测 1.下列式子一定是二次根式的是 A.√a B.-√a C.3 D.√a 过 寒假大串联 八年级数学R 2.下列各式：①y;②√a+2;③√x+5;④√3a;⑤Wy+6y+9;⑥5，其中一定是二次根式 的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.下列各式成立的是 A.√(-2)z=-2B.√(-3)=士3 C./a2-a D.√(-5)2=5 4.若√(3x一2)=2-3x,则x的取值范围是 A号 B号 c号 n号 5.若/(1一x)=x一1，则x的取值范围为 A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1 6.已知(1一x)2+√2-y=0,则x+y的值为 A.1 B.2 C.3 D.5 7.实数a,b在数轴上的位置如图所示，那么化简√a一a十b一√J(a-b)的结果是( 6 A.2a+b B.a+2b C.a D.26 8.已知/I3一x是整数，则自然数x的所有取值为 9已知a可+6-46+4=0.则合 10.写出使下列式子有意义的x的取值范围. (1)W1+3x; y (2),/3(x-2): (3)Wx2+7; (4)x-2 11.计算下列各式的值， (1)(-5)2; (2)(√2025)2： (3)(-3√2)2. 细 第三部分 探究先飞 12.已知实数x,y,满足(x十y)2与v5.x一3y一16互为相反数，求x2+y2的平方根. 13.若a,b,c是△ABC的三边长，化简W(a-b-c)-|b-c-a+√(c-a-b)严. 14.阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题. 化简：（/1-3.x)2-|1-x 解：由1-3≥0，解得：2<了， .1-x>0, .原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x. (1)按照上面的解法，试化简√3-x)严一(2-x); (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：√a2+√(a+b)一b一a; 0 0 b (3)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简：√/(a十b+c)+√(b一c一a)2+√J(c-b-a). @