第2部分 专题6 构造全等三角形巧解数学题&专题7 用多边形的外角和定理解题-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

寒假大串联 八年级数学R一 专题六构造全等三角形 巧解数学题 专题选讲m 全等三角形是中学数学的重要内容之一，在解题中有着极其广泛的应用.然而在许多题目 中，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们根据已有的知识经验，认真 分析，仔细观察，依据图形的结构特征，通过添加适当的辅助线，巧妙地构造出全等三角形，迅速 找到解题途径，从而使问题迎刃而解.确实有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.现举例 如下，供同学们参考 一、遇见倍长、倍角用平分 采用平分边（或角）的方法，构造出全等的三角形.然后利用所学的知识来解决问题， 例1如图，在△ABC中，∠B=2∠A,AB=2BC.求证：AC⊥BC. 解析：作∠ABC的平分线BD交AC于点D, 因为∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2，所以∠A=∠1=∠2， 即△ABD为等腰三角形， 再取AB中点E,连接DE,根据等腰三角形的性质，可以得到DE⊥AB. 在△BDE和△BDC中，BE=AB=BC,∠1=∠2，BD=BD, 所以△BDE≌△BDC, 由全等三角形的对应角相等，得到∠BED=∠BCD=90°，即AC⊥BC 点评：本题证明的是垂直关系，虽然题目中不知任何角的度数，但已知条件中有边、角的倍数关 系，可通过平分构造出等腰三角形和全等三角形从而使问题得到解决 二、遇见角的平分线，构成等腰三角形 有角的平分线又有高，想到可以构成等腰三角形 例2如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于点D,过C作BD的垂线交BD 的延长线于点E.求证：BD=2CE 第二部分 融汇跃升 解析：延长CE,BA交于点F,因为BE平分∠CBF,BE⊥CF,所以△BCF为等腰三角形，因为 ∠FBE=∠CBE,BE⊥CF,CE=EF,所以E是CF的中点，即CF=2CE.在Rt△ABD和 Rt△ACF中，∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC,∠ABD=90°-∠F=∠ACF,所以Rt△ABD≌ Rt△ACF,所以BD=CF=2CE. 点评：本题证明的两边存在两倍的关系，由于不在一个三角形中，所以想到通过一个中间量来代 换，有角的平分线又有垂直，所以转化到一个等腰三角形中进行解决 三、遇见中线，延长中线一倍得到全等三角形 采用倍长是解决有关三角形中线的题型最常用的方法. 例3如图，在△ABC中，AD是BC边的中线.则 D E A.AB+AC<2AD B.AB+AC>2AD C.AB+AC=2AD D.以上都不对 解析：延长AD至，点E,使DE=AD,连接BE,在△BDE和△CDA中，DE=AD,∠BDE= ∠CDA,BD=CD,所以△BDE≌△CDA,所以BE=CA,在△ABE中，AB+BE>AE,而BE =AC,AE=2AD,所以AB十AC>2AD.故选B. 点评：本题实际上是把中线的两倍与原三角形的一边转化到一个三角形中，利用三角形的三边关 系定理进行解决。 四、遇见中垂线，连接线段的两端点得三角形全等 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，这一性质在题目中有中垂线的条件时最 常用到。 例4如图，在△ABC中，D为BC边的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB交 AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G.求证：BF=CG 解析：连接EB,EC,因为D为BC边的中点，DE⊥BC,所以EB=EC. 又因为AE为∠BAC的平分线，且EF⊥AB,EG⊥AC,所以EF=EG,在Rt△EBF和 Rt△ECG中，EB=EC,EF=EG,所以Rt△EBF≌Rt△ECG,所以BF=CG. 点评：本题实际上就是构造出以要证相等的两条边为对应边的全等三角形.由中垂线很自然地想 到连接线段的两端点 33 寒假大串联 八年级数学R 五、利用平移构造全等三角形 例5如图所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,若AB>AD,DC=BC,求证：∠B+∠D =180°. E 解析：利用角平分线构造三角形，将∠D转移到∠AEC,而∠AEC与∠CEB互补，∠CEB= ∠B,使问题得到解决.在AB上截取AE=AD, 在△ADC与△AEC中， AD-AE, ∠DAC=∠EAC, AC=AC, 所以△ADC≌△AEC,所以∠D=∠AEC,DC=EC. 因为DC=BC,所以CE=BC,∠CEB=∠B, 又因为∠CEB+∠AEC=180°，所以∠B+∠D=180°. 点评当有相等的边不在同一个三角形中时，通常采用平移的方法，把线（或角）转移到一个三角 形中使问题得到解决」 六、利用翻折构造全等三角形 例6如图，已知△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，BD平分∠ABC.求证：AB=BC+CD. 解析：.BD平分∠ABC,将△BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E,则有BE=BC, 在△BCD与△BED中， BC=BE, ∠CBD=∠EBD, BD=BD, .△BCD≌△BED, ∴.∠DEA=∠DEB=∠ACB=90°，CD=DE .在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，∴.∠A=45°，∴.∠EDA=∠A=45°， .'.DE=EA, ..AB=BE+EA=BC+CD. 第二部分融汇跃升 点评：在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分构 造全等三角形求解， 小试牛刀w 1.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,求证：2AC>AB. 2.如图，AD为△ABC中BC上的中线.BF分别交AC,AD于点F,E,且AF=EF.求证：BE =AC. 3.如图，△ABC中，∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于点D,求证：AB=CD+BC. 國 寒假大串联 八年级数学R一 专题七用多边形的外角和定理解题 专题选讲 多边形的外角和是指在多边形的每个顶，点处只取一个外角，它们的和都等于360°.由同一顶 点处的外角与内角的互补关系以及多边形的内角和定理，可以比较容易地得出：任意多边形的外 角和都等于360°.如果能灵活地运用多边形的这一性质，会使许多问题得到巧解.现举例如下： 一、求角的度数（或个数） 例1如图，一个四边形的三个外角分别为110°，85°，30°.求∠a的度数. 85 1109 309 解析：因为∠a的外角为180°一∠a,由外角和定理知： 180°-∠a+110°+85°+30°=360°，所以∠a=45°. 二、求多边形的边数 例2一个多边形的每个外角都等于45°，求它的边数. 解析：设此多边形的边数为n,由题意得：45°n=360°，解得n=8,故所求多边形是八边形. 三、其他情况 例3若凸(4n十2)边形A1A2A3…A4m+2(n为正整数)的每一个内角都是30°的整倍数，且∠A =∠A2=∠A3=90°，则n的所有可能值是多少？ 解析：因为外角与相邻内角的互补关系，内角是30°的整倍数，所以外角也是30°的整倍数， ∠A1=∠A2=∠A3=90°，它们的外角也是90°，所以其余(4n一1)个外角的和为360°一 270°=90，因为外角池是30的整倍数，所以4n-1≤30，中4n-1≤3，u≤，所以n只能为1 小试牛刀 一个多边形的最小内角为95°，其他内角依次多10°，求这个多边形的边数. 國2.1 3.解：图略（提示：要使△ABC周长最小，我们可作点 x2-2+ A关于OM的对称点A1,关于ON的对称点A2,连 接A1A2交OM,ON于点B,C.这样就把AB,AC x2+=3. 分别以OM,ON为轴翻折到了A1B,A2C的位置， 即有AB=A1B,AC=AC,由于两点之间线段最 专题六构造全等三角形巧解数学题 短，故△ABC的周长最小.) 1.证明：延长BC到E,使CE=AC,连接AE, 专题四整体思想在分式求值中的应用 .CE=AC,∠E=∠CAE,∠ACB=2∠E. ,∠ACB=2∠B,∴.∠B=∠E, 1.解：将待求分式取倒数，得 ..AB-AE. -++1-(+》-1=2-1 .AC+CE>AE,..2AC>AE,..2AC>AB. 2.证明：延长AD到G,使DG=AD.连接BG. 3…原式 AD是中线，∴.BD=DC 在△ACD和△GBD中， 2.解： a2-at1=7,a≠0，a2-a+1= 1 7, CD=BD, ∠CDA=∠BDG, +上8.a+a+1=a2+ .a a2 a+1=(a+ AD-GD. .△ACD≌△GBD, )》-18原式号 .AC=GB,∠CAD=∠G. :AF=EF,.∠CAD=∠AEF, 专题五分式求值有巧法 ∴.∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG, .BE=BG,∴.BE=AC. 1.解：设a+b=3k①， 2a+3b=8k②. 3.证明：在AB上取BE=BC,连接DE,,BD平分 ∠ABC交AC于点D,∴.∠CBD=∠EBD. 且k≠0.①②联立，将其看作关于a,b的二元一次 在△CBD和△EBD中， 方程组，解得a=k,b=2k. BC=BE, 所以法楼 ,2k十2k4k41 ∠CBD=∠EBD, BD=BD, 2.解：由x十y十之=0，xyz≠0得：y十x=一x,x十之= .∴.△CBD≌△EBD、 -yx十y=一x,∴原式=2+二y+二=-3. .CD=ED,∠C=∠BED. y 3.解：设g=么=二=，则a=h,b=ck,c=ak. ∠C=2∠A, b-c a .∠BED=2∠A· c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ,∠BED=∠A+∠ADE,∠A=∠ADE, .k3=1,k=1,.a=b=c, ..AE=DE,.'.AE=CD..'AB=BE+AE, 原式=a+h=1 ..AB=CD+BC. a-b+c 专题七用多边形的外角和定理解题 4.解：原式=a-b:a2-2ab+b a a 解：由于多边形的最小内角为95°，其他内角依次多 _a-b.a 10°，故其最大外角为85°，其他外角依次减少10°. a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=3601 1 故这个多边形的边数是6. =a-6' 当a=2,b=2-3时， 第三部分探究先飞 原式= 1V3 第十九章二次根式 2-2+331 5.解：(1)x2十x-1=0, 19.1二次根式及其性质 1一0 x+1 1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.B x-1=-1 ② 8.13,12,9,49. 2 (2)由(1)知x-1 =-1, 10.(1)x≥-3 (2)x≥2(3)x为任意实数 (x-)=1 (4)x>2 11.(1)5(2)2025(3)18