第2部分 专题4 整体思想在分式求值中的应用&专题5 分式求值有巧法-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

寒假大串联 八年级数学R一 专题四 整体思想在分式求值中的应用 专题选讲 例1若分式2y十3y+7的值为则 2 y2+6y1 的值为 A.1 B.-1 c-3 D.7 解析：由观察可以发现，已知分式中的2y2十3y与所求式中的4y2十6y有联系，可以将所给条件 进行适当变形，就可得到4y十6y,然后整体代入即可求得所求式的值 2y2+3y+74得2y2+30+7=8,2y2+3=1,4y2+6y=2,所以 21 由已 y2+6y-1 2-7=1,故选A 例2E知时+日4则a十” 解析：由已知可得到a十b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a十b与ab表示的表达 式，然后将a十b用ab代换即可求出所求式的值. 由巴知得十6全4a+b=4a0,22=4a十b十3a6 4·4ab+3ab ab -3(a+b)+2ab-3·4ab+2ab 19 10 例3E知+日日+日日+日品求o+ ab+ac+bc的值. 十十战风粉巴加式支换出日++即可 1 解析：将所求式分子、分母同除以abc可得到 a b c 因为日+0+®，2+=，将0.®.③左右分别相加，2++ 吉++品所以++ 1 180 以a+6+=180,所以 ab+ac+bc1+1+131 cb a 小试牛刀 1如果x十2.则 x4+x2+1 的值是多少？ 2已知，8+=7求。+2 a十a2+的值. 第二部分 融汇跃升 专题五分式求值有巧法 专题选讲w 根据所给条件求分式的值，是分式这部分内容中的一个重点.一般的题目可采用先化简、后 求值的方法，但对于一些特殊情况，若采用适当的方法，就会收到事半功倍的效果. 一、巧设k值 例1巳知吃兰-异求十2十的值 xy+2yz+3xz 解析：本题有多元比例关系，可引进辅助未知数（即参数），使之转化为一元的问题，最后消掉 而得解，体现了通过设中间量来达到化简求值的目的. 设号-言-音=，则x=2次=3次=h。 (2k)2-2(3)+3(4)2 34k217 原式=2)(30)+2(3k)(4)+3(2次)(4)5027 点评：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法. 二、巧用整体思想 例2已知3求a十的-。 a-2a6-6的值 解析：本题可以将已知条件变形，得到a一b=一3ab,然后代入原式即可. 由】-=3，可以得到a—b=一3ab,把它们代入2a十3ab一2b a-2ab-b,得 原式=2(a-b)+3ab--6ab+3ab3 (a-b)-2ab -3ab-2ab 5 点评：本题也可以将要求的分式的分子与分母根据分式的基本性质都除以b,然后借助已知条 件求解，请同学们自己完成。 三、巧取倒数 例3已知b=1,c=1ac=1 ab+ac+的值 a+b-3'b+c4a+c5,求2C 解析：本题把已知条件取倒数，可得上+，十1,1+二的值，把所要求值的分式取倒教可以化 ab'b c'a 成分式上++1」 十二，从而达到解决问题的目的 ab c 将已知条件的两边分别取倒数，得 寒假大串联 八年级数学R atb 一3 1 ab a =30, b+c =4,即 ( a+c=5, 1+1=5③. l ac (①十@十的)2，得片+言+6起求位气取倒数化商为上+名+日 abc 所以b十C+一百 点评：在进行某些分式求值时，有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题，但如果把该式 的分子、分母颠倒后，变形就会容易了，此类问题通常采用倒数法来解决.在解题时要注意灵活 掌握. 四、巧消辅助元 例4已知x+v+2=0,且xy≠0，则y十十 +2+2-y十x2+y2- 解析：由已知条件可得x=一(y十之)，y=一(x十z),之=一(x十y),代入所求式，得 1 1 1 原式 y2+2-（0y+)2十2+x2-(x+)十x2+y2-(x+y) 1 y+2-y-23x-2十x2+x2-x2-2xx-之+ x2+y2-x2-2xy-y2 =-（ 2yz x十y十之=0 2xyz 点评：当题目中所提供的式子有等于0的条件出现时，通过把所求分式进行变形，使之出现相应 的式子是解答此类问题的关键. 小试牛刀w 1已知十。爱求+松的直 @ 第二部分融汇跃升 2.已知x≠0，x+y十=0，求y++++十义的值 xy之 3已号名求号拾十的值 4先化简，再求值：。=(a2。)其中a-2.6=2- a 5.已知x2+x-1=0. (1)求x-1的值： (2x2+1的值 @2.1 3.解：图略（提示：要使△ABC周长最小，我们可作点 x2-2+ A关于OM的对称点A1,关于ON的对称点A2,连 接A1A2交OM,ON于点B,C.这样就把AB,AC x2+=3. 分别以OM,ON为轴翻折到了A1B,A2C的位置， 即有AB=A1B,AC=AC,由于两点之间线段最 专题六构造全等三角形巧解数学题 短，故△ABC的周长最小.) 1.证明：延长BC到E,使CE=AC,连接AE, 专题四整体思想在分式求值中的应用 .CE=AC,∠E=∠CAE,∠ACB=2∠E. ,∠ACB=2∠B,∴.∠B=∠E, 1.解：将待求分式取倒数，得 ..AB-AE. -++1-(+》-1=2-1 .AC+CE>AE,..2AC>AE,..2AC>AB. 2.证明：延长AD到G,使DG=AD.连接BG. 3…原式 AD是中线，∴.BD=DC 在△ACD和△GBD中， 2.解： a2-at1=7,a≠0，a2-a+1= 1 7, CD=BD, ∠CDA=∠BDG, +上8.a+a+1=a2+ .a a2 a+1=(a+ AD-GD. .△ACD≌△GBD, )》-18原式号 .AC=GB,∠CAD=∠G. :AF=EF,.∠CAD=∠AEF, 专题五分式求值有巧法 ∴.∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG, .BE=BG,∴.BE=AC. 1.解：设a+b=3k①， 2a+3b=8k②. 3.证明：在AB上取BE=BC,连接DE,,BD平分 ∠ABC交AC于点D,∴.∠CBD=∠EBD. 且k≠0.①②联立，将其看作关于a,b的二元一次 在△CBD和△EBD中， 方程组，解得a=k,b=2k. BC=BE, 所以法楼 ,2k十2k4k41 ∠CBD=∠EBD, BD=BD, 2.解：由x十y十之=0，xyz≠0得：y十x=一x,x十之= .∴.△CBD≌△EBD、 -yx十y=一x,∴原式=2+二y+二=-3. .CD=ED,∠C=∠BED. y 3.解：设g=么=二=，则a=h,b=ck,c=ak. ∠C=2∠A, b-c a .∠BED=2∠A· c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ,∠BED=∠A+∠ADE,∠A=∠ADE, .k3=1,k=1,.a=b=c, ..AE=DE,.'.AE=CD..'AB=BE+AE, 原式=a+h=1 ..AB=CD+BC. a-b+c 专题七用多边形的外角和定理解题 4.解：原式=a-b:a2-2ab+b a a 解：由于多边形的最小内角为95°，其他内角依次多 _a-b.a 10°，故其最大外角为85°，其他外角依次减少10°. a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=3601 1 故这个多边形的边数是6. =a-6' 当a=2,b=2-3时， 第三部分探究先飞 原式= 1V3 第十九章二次根式 2-2+331 5.解：(1)x2十x-1=0, 19.1二次根式及其性质 1一0 x+1 1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.B x-1=-1 ② 8.13,12,9,49. 2 (2)由(1)知x-1 =-1, 10.(1)x≥-3 (2)x≥2(3)x为任意实数 (x-)=1 (4)x>2 11.(1)5(2)2025(3)18