第2部分 专题2 照镜子中的数学&专题3 以本为本看最短距离-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

第二部分 融汇跃升 专题二照镜子中的数学 专题选讲 镜子中的物像对物体来说，究竟改变了什么？没有改变什么？下文从镜子在不同位置时对 物体的改变以及镜子中的时钟问题的解决方法给同学们作简单介绍， 题引：小明在镜子中看到的时钟的指针如图甲所示，那么此时是什么时刻？ 121i 甲 丙 解法一：“反看正读法”，如图甲，从题目纸的背面看图，再采用常规的读数方法，即可读出此 时的时刻是11：35； 解法二：“正看逆读法”，如图乙，按逆时针方向读数，图上的数也按逆时针方向从小到大排 列，也能直接读出11：35； 解法三：“12扣除法”，如图丙，将时钟上的时间按常规读出后，再从12中减去这个时间，即用 常规读得0：25，则实际时间是12：00一0：25=11：35； 解法四：“对称法”，如图丁，平面镜成像的特点之一，像与物体左右颠倒，分别作出时针和分 针以过6点和12点的直线为对称轴的指针，从而得出该时刻的时间为11：35， 点评：当在物体旁放一面镜子时，镜子中的物像和物体到镜面的距离相等，即像物等距；像与物的 大小相同，也就是像物等大.根据轴对称的意义，可知像与物体成轴对称. 平面图形在镜子中的成像原理如图所示，正中间的图形代表原图形，长方 形四边的虚线代表图形上下左右四个方向的镜子，四周的图形表示图形在镜子 中所成的物像， (1)当镜子与图形垂直，且镜子在图形的正左边（或正右边）时，图形与它所 成的像上下位置不变，左右位置颠倒： (2)当镜子与图形垂直，且镜子在图形的正上方（或正下方）时，图形与它所 成的像左右位置不变，上下位置颠倒； (3)当镜子与图形平行，所成的像与镜子在图形左边或右边所成的像完全相同， 著名数学家赫尔曼·外尔说：“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完 善…”通过上例可以看出，对称不仅是一种美的思想，还和生活中的一些最优化问题紧密相连 小试牛刀 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是 A.21:10 B.10:21 C.10:51 D.12:01 寒假大串联 八年级数学R 专题三 以本为本看最短距离 专题选讲 同学们都知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰 到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性 质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题， 题引：如图，点A,B在直线l的同侧，点B是点B关于1的对称点，AB'交l于点P. (1)AB'与AP+PB相等吗？为什么？ (2)在L上再取一点Q,并连接AQ与QB,比较AQ十QB与AP+PB的大小，并说明理由， 这是一道利用轴对称的知识求得最短距离，在近年的中考中，利用这个性质求最短距离的试 题时有出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举几个例子说明， 例1如图①，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. (1)求到河边饮水的最短路线； (2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图. 河流 M 营地 t ths t tw 草地 ① ② ③B 解析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要.(1)可抽象为，点M到直线α的最 短距离；(2)可抽象得到这样的数学模型：直线a,b间有一点M,试分别在a,b上求出两点，使点 M与这两，点构成的三角形的周长最短.要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可 利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题， 解：(1)如图②，过点M作MP⊥a于点P,MP即为最短路线； (2)如图③，分别作，点M关于a,b的对称点A,B,连接AB分别交a,b于点C,D,则最短的牧马 路线为：M→C→D→M! 点评：(1)利用垂线段最短获解；(2)点A,M关于直线a对称，则可得到CA=CM,同理DM= DB,所以MC+CD+DM=AC+CD+DB,这实际上将△MCD的周长，即三条不在同一直线 上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线α，b 的交点即为所求的两点. 26 第二部分 融汇跃升 例2如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A,B,C,且 凉亭与长廊两两连通.如果凉亭A,B的位置已经选定，那么凉亭C建在什么 位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹）， 并简要说明理由， 解析：要使工程造价最低，必须使长廊最短，如下图所示 作法： 1.作点A关于直线n的对称，点A'(如下图)； 17 m 2.连接A'B交n于点C;点C就是所求的点. 理由：在直线n上任意取异于点C的，点P,连接CA,PA,PA',PB,AB.由作图可知，直线n是 线段AA'的对称轴.所以PA=PA',CA=CA',在△PBA'中，PB+PA'>BA',即PA+PB>CB+ CA,所以PB+PA十AB>CB+CA十AB,即CB十CA十AB最小.所以，点C即为所求. 点评：换了一种情境的考查是这类试题最常用的考查方式，在不失兴趣的情况下，让学生能够将 所学习的数学知识应用到生活中去，也体现了一种课标理念 小试牛刀 1.已知A,B两点在直线L的两侧，请你在直线L上求一点P,使PA一PB|的值最大，并说明 理由 B 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,AC=4,P是AB边上的动点 (不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP,连接BA,则 B'A长度的最小值是 B 3.如图，已知∠MON内有一点A,求作一个△ABC,使其周长最小，且点B,C分别在OM, ON上. M @,a,b,c都是整数，.边长c的最小值为5； (3),-x2+2xy-2y2+6y+7=-（x2-2xy+ 2y2-6y-7)=-(.x2-2y+y2+y2-6y+9- 16)=-[(x-y)2+(y-3)2-16]=-(x-y)2 (y-3)2+16,.(x-y)2≥0，(y-3)2≥0， .-(x-y)2≤0，-(y-3)2≤0，.当x=y=3时， 代数式有最大值，最大值为16. 21.(1)147 (2)解：设另一个因式为(x十b),得2x2十a.x 6=(2x一3)(x+b), ,(2x-3)(x+b)=2x(x+b)-3(x+b)=2x2+ 2bx-3x-3b=2x2+(2b-3)x-3b,∴.2x2+a.x 6=2x2十(（2b一3)x一3b,.由等式恒等原理可知： ①式为：-3b=-6,②式为：a=2b-3,由①②解 得：b=2,a=1,∴.另一个因式为(x+2). 第十八章过关测试卷 (分式) -、1.C2.C3.A4.C5.B6.D7.D 8.D9.B10.D 二、11.≠212.答案不唯-，如6十313 3-4x x2-x+3 14.x(x十① 15316号 17.118.3(x- 3),3(3-x)19.14871487 为 xx+70 三、20.解：(1)- 2 1 m+3 (2) 21.解：原式4× 1 x-2Xx+2 (x+2)(x-22× x-2 x（x十2)=，当x=1时，原式=1.答案不唯 x可以取除0,2，一2以外的数。 22.解：(1)由题意可知A=。。- a2+4ab+4b2·a a-b a十2b:(2)当a=4,b=3时，A=42义3=. 23.解：由题意得十号4，解得x号 11 3.x-5 经检验日是原方程的解 11 :x的值为 24.解：去分母，得3.x=a(x-2)+4, _4-2a (3-a)x=4-2a,小x=3-a (1)当3-a=0时，无解，此时a=3; （2)因为x=0或2时，分式无意义，所以.x=2 3-a =0或2，此时a=2. 综上所述，a=2或3. 25.解：(1)设第一批购进x件这种休闲衫，则第二批购 进了2x件，依题意可得： 176000_80000=4,解得x=2000. 2.x 3 故第一批购进这种休闲衫2000件，第二批购进了 4000件： (2)设这两笔生意共盈利y元，可列方程为： y=[58×(2000+4000-150)+80%×58×150]- (80000+176000), 解得y=90260. 第二部分融汇跃升 专题一 证明三角形全等的基本思路 1.证明：连接AD. .AB=AC,BD=CD,AD=AD, .△ABD≌△ACD, ∴.∠BAD=∠CAD, AD是∠EAF的平分线. 又.DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF. 2.(1)证明：连接AD, 在△BAD和△CDA中， AB=DC, DB=AC, AD=DA, ∴.△BAD≌△CDA, ∴.∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等)； (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三 角形的公共边 3.(1)证明：.DEAB,AF∥DC, ∴.∠B=∠DEC,∠AFB=∠C. .BE=FC, .BE+EF=FC+EF.BF=EC. ∠B=∠DEC, 在△ABF和△DEC中，BF=EC, ∠AFB=∠C, .△ABF≌△DEC; (2)解：由(1)△ABF≌△DEC得：AB=DE. ,ABDE,.四边形ABED为平行四边形， ∴.BE=AD=3. 同理，四边形AFCD为平行四边形， ..FC=AD=3. .EF=BE=3, .BC=9. 专题二 照镜子中的数学 C 专题三以本为本看最短距离 1.解：作点B关于直线l的对称点B1,连接B1A交直 线1于点P,则点P即为所求的点，如图所示. 2.1 3.解：图略（提示：要使△ABC周长最小，我们可作点 x2-2+ A关于OM的对称点A1,关于ON的对称点A2,连 接A1A2交OM,ON于点B,C.这样就把AB,AC x2+=3. 分别以OM,ON为轴翻折到了A1B,A2C的位置， 即有AB=A1B,AC=AzC,由于两点之间线段最 专题六构造全等三角形巧解数学题 短，故△ABC的周长最小.) 1.证明：延长BC到E,使CE=AC,连接AE, 专题四整体思想在分式求值中的应用 .CE=AC,∠E=∠CAE,∠ACB=2∠E. .∠ACB=2∠B,∴.∠B=∠E, 1.解：将待求分式取倒数，得 ∴.AB=AE +中1-+1=(+2)-1=-1 .AC+CE>AE,..2AC>AE,..2AC>AB. 2.证明：延长AD到G,使DG=AD.连接BG. 3…原式 AD是中线，∴.BD=DC. 在△ACD和△GBD中， 2.解： a2-a+1=7,a≠0，a2-a+1 7, CD=BD, a+1=8」 ∠CDA=∠BDG, 4+-2++1=(a AD-GD. a2 .△ACD≌△GBD, 》-18原式号 .AC=GB,∠CAD=∠G. ,AF=EF,∴.∠CAD=∠AEF, 专题五分式求值有巧法 ∴.∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG, .BE=BG,∴.BE=AC 1.解：设a十b=3k①， 2a+3b=8k②. 3.证明：在AB上取BE=BC,连接DE,,BD平分 ∠ABC交AC于点D,∴.∠CBD=∠EBD. 且k≠0.①②联立，将其看作关于a,b的二元一次 :在△CBD和△EBD中， 方程组，解得a=k,b=2k. BC=BE, 所以法坠楼 ,2k十2k4k41 ∠CBD=∠EBD, BD=BD, 2.解：由x十y十之=0，xyz≠0得：y十x=-x,x十之= ..△CBD≌△EBD, 一yx十y=一，∴原式=2+二y+二=-3. .CD=ED,∠C=∠BED. x y 之 3.解：设公=么=二=k,则a=的，b=k,c=ak. :∠C=2∠A, b-c a .∠BED=2∠A· c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ,∠BED=∠A+∠ADE,.∠A=∠ADE, .k3=1,k=1,∴a=b=c, ..AE=DE,.'.AE=CD..'AB=BE+AE, 原式=a+hS=1 ..AB=CD+BC. a-b+c 专题七用多边形的外角和定理解题 4.解：原式=a-b:a2-2ab+b a a 解：由于多边形的最小内角为95°，其他内角依次多 _a-b._a 10°，故其最大外角为85°，其他外角依次减少10°. a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=360 1 故这个多边形的边数是6. =a-b' 当a=2,b=2-3时， 第三部分探究先飞 原式= 13 第十九章二次根式 2-2+V53 5.解：(1)x2十x-1=0, 19.1二次根式及其性质 1一0 x+1 1.D2.B3.D4.C5.C6.C7.B -1=-1 8.13,12,9,49. 吟 (2)由(1)知x-1 =-1, 10.(1)x≥-3 (2)x≥2(3)x为任意实数 (红-2)=1， (4)x>2 11.(1)5(2)2025(3)18