第2部分 专题1 证明三角形全等的基本思路-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（人教版·新教材）

,a,b,c都是整数，.边长c的最小值为5； (3),-x2+2xy-2y2+6y+7=-（x2-2xy+ 2y2-6y-7)=-(.x2-2y+y2+y2-6y+9- 16)=-[(x-y)2+(y-3)2-16]=-(x-y)2 (y-3)2+16,.(x-y)2≥0，(y-3)2≥0， .-(x-y)2≤0，-(y-3)2≤0，.当x=y=3时， 代数式有最大值，最大值为16. 21.(1)147 (2)解：设另一个因式为(x十b),得2x2十a.x 6=(2x一3)(x+b), ,(2x-3)(x+b)=2x(x+b)-3(x+b)=2x2+ 2bx-3x-3b=2x2+(2b-3)x-3b,∴.2x2+a.x 6=2x2十(（2b一3)x一3b,.由等式恒等原理可知： ①式为：-3b=-6,②式为：a=2b-3,由①②解 得：b=2,a=1,∴.另一个因式为(x+2). 第十八章过关测试卷 (分式) -、1.C2.C3.A4.C5.B6.D7.D 8.D9.B10.D 二、11.≠212.答案不唯-，如6十313 3-4x x2-x+3 14.x(x十① 15316号 17.118.3(x- 3),3(3-x)19.14871487 为 xx+70 三、20.解：(1)- 2 1 m+3 (2) 21.解：原式4× 1 x-2Xx+2 (x+2)(x-22× x-2 x（x十2)=，当x=1时，原式=1.答案不唯 x可以取除0,2，一2以外的数。 22.解：(1)由题意可知A=。。- a2+4ab+4b2·a a-b a十2b:(2)当a=4,b=3时，A=42义3=. 23.解：由题意得十号4，解得x号 11 3.x-5 经检验日是原方程的解 11 :x的值为 24.解：去分母，得3.x=a(x-2)+4, _4-2a (3-a)x=4-2a,小x=3-a (1)当3-a=0时，无解，此时a=3; （2)因为x=0或2时，分式无意义，所以.x=2 3-a =0或2，此时a=2. 综上所述，a=2或3. 25.解：(1)设第一批购进x件这种休闲衫，则第二批购 进了2x件，依题意可得： 176000_80000=4,解得x=2000. 2.x 3 故第一批购进这种休闲衫2000件，第二批购进了 4000件： (2)设这两笔生意共盈利y元，可列方程为： y=[58×(2000+4000-150)+80%×58×150]- (80000+176000), 解得y=90260. 第二部分融汇跃升 专题一 证明三角形全等的基本思路 1.证明：连接AD. .AB=AC,BD=CD,AD=AD, .△ABD≌△ACD, ∴.∠BAD=∠CAD, AD是∠EAF的平分线. 又.DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF. 2.(1)证明：连接AD, 在△BAD和△CDA中， AB=DC, DB=AC, AD=DA, ∴.△BAD≌△CDA, ∴.∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等)； (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三 角形的公共边 3.(1)证明：.DEAB,AF∥DC, ∴.∠B=∠DEC,∠AFB=∠C. .BE=FC, .BE+EF=FC+EF.BF=EC. ∠B=∠DEC, 在△ABF和△DEC中，BF=EC, ∠AFB=∠C, .△ABF≌△DEC; (2)解：由(1)△ABF≌△DEC得：AB=DE. ,ABDE,.四边形ABED为平行四边形， ∴.BE=AD=3. 同理，四边形AFCD为平行四边形， ..FC=AD=3. .EF=BE=3, .BC=9. 专题二 照镜子中的数学 C 专题三以本为本看最短距离 1.解：作点B关于直线l的对称点B1,连接B1A交直 线1于点P,则点P即为所求的点，如图所示.第二部分 融汇跃升 专题一证明三角形全等的基本思路 专题选讲w 利用两个三角形全等，能够证明若干线段或角相等有关的几何问题.那么，对于我们所要考 虑的两个三角形，如何证明它们全等呢？ 般来讲，应根据题设并结合图形，先确定两个三角形已知相等的边或角，然后按照判定定 理，寻找并证明还缺少的条件.其基本思路： 1.有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用 SSS判定. 思路1找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS”探索 例1已知：如图，AB=AC,AE=AD,点D,E分别在AB,AC上.∠B与∠C相等吗？为什么？ 解析：欲知∠B=∠C,应探索△CAD≌△BAE.由于已有AB=AC,AE=AD,找一找是否对应 边的夹角∠CAD=∠BAE.它们是公共角.所以△CAD≌△BAE,故∠B与∠C相等. 思路2找第三边对应相等，利用“SSS”探索 例2“三月三，放风筝”.如图是小明制作的风筝.他根据DE=DF,EH=FH,不用度量，就知 道∠E=∠F,请你用所学的知识给予证明. 解析：欲知∠E=∠F,应探索△DEH≌△DFH,为此连接DH.由于已有DE=DF,EH=FH, 找一找是否第三边DH=DH.由于它们是公共边，故成立. 2.有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后 者利用AAS判定. 例3如图，在△ABC中，∠B=∠C,说明AB=AC. 寒假大串联 八年级数学R 解析：作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,再找出∠B和 ∠C的对边AD=AD,得△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC. 另外，当有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等，利用AAS判定.当有一边和该 边的邻角对应相等，找夹角的另一边对应相等，或另一角对应相等，前者利用SAS判定，后者利 用AAS或ASA判定. 小试牛刀m L.已知，如图所示，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证：DE=DF. 2.如图，已知AB=DC,DB=AC. (1)求证：∠ABD=∠DCA.注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据； (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 3.如图，在四边形ABCD中，DE∥AB交BC于点E,AFDC交BC于点F(,点E在点F左 侧)，BE=FC (1)求证：△ABF≌△DEC; (2)当BE=EF,AD=3时，求BC的长 國