微专题10 爪形结构与分角定理、张角定理 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦高考几何与向量综合专题，涵盖三点共线向量表示、爪形结构、张角定理、分角定理及梅涅劳斯定理等核心考点，按“基础梳理-典例剖析-强化训练”逻辑架构，通过考点精析、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破几何运算难点。 资料以“模型化解题”为特色，如用爪形结构简化向量分解，结合张角定理快速处理三角形分角问题，培养学生数学思维与运算能力。设置分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生几何综合题应考能力。

微专题10　爪形结构与分角定理、张角定理 一、基础知识 1.三点共线的向量表示 (1)若A,P,B三点共线,则存在唯一实数t使=tAB. (2),为平面的一组基向量,点P在直线AB上的充要条件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使=λ+μ且λ+μ=1. 2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设=a,=b,若=λ(λ≠-1),则=a+b(特别地,当λ=1时,即P为线段P1P2的中点,则有=a+b). (2)三角形的等分线:在△ABC中,D是边BC上的点,且=(m,n>0), 则=+(也叫“爪形结构”). 3.张角定理与分角定理 (1)张角定理=+ [证明如下: ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴AB×AC×sin(α+β)=AB×AD×sin α+AC×AD×sin β, 两边同除以AB·AC·AD得=+.] (2)分角定理 在△ABC中,D是边BC上(异于B,C)或其延长线上的一点,则有sin α∶sin β=∶. [证明如下: =,① = =·,② 得=·, 故sin α∶sin β=∶.] 4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理 (1)梅涅劳斯定理 已知直线DF交△ABC三边所在直线于D,E,F三点,则有:··=1. [证明如下: 设=q,=m,=n,=t, 则有=,=, =,① 因为D,E,F三点共线, 所以(t+1)=t+. 又因为=+, 从而(t+1)+(t+1)=t+,② 当①代入②,可得(t+1)+=+, 即++=0. 注意到++=0,且,,两两方向不同,故有t+1-==. 由=可知t=-1, 将其代入t+1-=,整理可得qmn=1,即··=1. (2)塞瓦定理 已知点O为△ABC内任意一点,AO,BO,CO的延长线分别交边BC,CA,AB于D,E,F,则有: ··=1. [证明如下: 设=p,=q,=r,=n, 则有=,=(q+1), =(n+1),① 因为F,B,A三点共线, 所以=+,② 将①代入②, 即有(n+1)=+, (n+1)=+. 注意到B,O,E三点共线,A,O,D三点共线, 所以有n+1=+,(n+1)=+, 整理可得pqr=1,即··=1. 注:本定理用面积证法更简单.] 二．典型例题 1.三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示 例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.-a+b C.a+b D.-a+b (2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.  训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为　　　　.  (2) (2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C为直线AB上一点,且=-5,则点C的坐标为　　　　.  2.张角定理、分角定理的应用 例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C. (1)求C; (2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长. 训练2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果∠BAD=α,AD是∠BAC的角平分线,证明: (1)cos α=; (2)S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α. 3.梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用 例3 在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)延长OP与AB交于点D,用a,b表示向量. 训练3 如图,四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E,F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G,求的值. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线,设直线不过点O,则S200=(　　) A.100 B.101 C.200 D.201 2.在△ABC中,=,点P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为(　　) A. B. C. D.1 3.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n=(　　) A. 　　B. C. 　　D.1 4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,若=λ,则λ=(　　) A.- B.- C. D. 5.在△ABC中,点D为AB的中点,E,F为BC的两个三等分点,AE交CD于点M.设=a,=b,则=(　　) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b 6.(2025·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin C,且AD=,b=3c,则a的值为(　　) A. B. C.3 D.2 二、多选题 7.设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD中,对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),=3,则(　　) A.=+ B.λμ= C.+的最大值为1 D.≥- 三、填空题 9.边长为4的等边三角形ABC中,=,=3,CD与BE交于点O,则|++|=　　　　.  10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的角平分线,若∠BAC=,|AD|=2,则2b+c的最小值为　　　　.  四、解答题 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1. (1)若b+c=,求△ABC周长. (2)若=3,求tan B的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题10　爪形结构与分角定理、张角定理 一、基础知识 1.三点共线的向量表示 (1)若A,P,B三点共线,则存在唯一实数t使=tAB. (2),为平面的一组基向量,点P在直线AB上的充要条件是存在唯一一组实数对(λ,μ),使=λ+μ且λ+μ=1. 2.(1)定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设=a,=b,若=λ(λ≠-1),则=a+b(特别地,当λ=1时,即P为线段P1P2的中点,则有=a+b). (2)三角形的等分线:在△ABC中,D是边BC上的点,且=(m,n>0), 则=+(也叫“爪形结构”). 3.张角定理与分角定理 (1)张角定理=+ [证明如下: ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴AB×AC×sin(α+β)=AB×AD×sin α+AC×AD×sin β, 两边同除以AB·AC·AD得=+.] (2)分角定理 在△ABC中,D是边BC上(异于B,C)或其延长线上的一点,则有sin α∶sin β=∶. [证明如下: =,① = =·,② 得=·, 故sin α∶sin β=∶.] 4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理 (1)梅涅劳斯定理 已知直线DF交△ABC三边所在直线于D,E,F三点,则有:··=1. [证明如下: 设=q,=m,=n,=t, 则有=,=, =,① 因为D,E,F三点共线, 所以(t+1)=t+. 又因为=+, 从而(t+1)+(t+1)=t+,② 当①代入②,可得(t+1)+=+, 即++=0. 注意到++=0,且,,两两方向不同,故有t+1-==. 由=可知t=-1, 将其代入t+1-=,整理可得qmn=1,即··=1. (2)塞瓦定理 已知点O为△ABC内任意一点,AO,BO,CO的延长线分别交边BC,CA,AB于D,E,F,则有: ··=1. [证明如下: 设=p,=q,=r,=n, 则有=,=(q+1), =(n+1),① 因为F,B,A三点共线, 所以=+,② 将①代入②, 即有(n+1)=+, (n+1)=+. 注意到B,O,E三点共线,A,O,D三点共线, 所以有n+1=+,(n+1)=+, 整理可得pqr=1,即··=1. 注:本定理用面积证法更简单.] 二．典型例题 1.三点共线、定比分点、三角形等分线的向量表示 例1 (1)(2025·郑州质检)如图,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.-a+b C.a+b D.-a+b (2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.  答案　(1)B　(2)　- 解析　(1)==(-)=(b-a). =+=-a+×(b-a)=-a+b. (2)=+=+,=. ∴=-=-, 又=x+y, ∴x=,y=-. 训练1 (1)(2025·烟台调研)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为　　　　.  (2)(2025·福州质检)已知点A(-1,-1),B(2,5),点C为直线AB上一点,且=-5,则点C的坐标为　　　　.  答案　(1)2　(2) 解析　(1)因为2=+=m+n, 由于M,O,N三点共线,所以m+n=2. (2)∵=-5,∴λ==5, 利用定比分点的坐标公式有 =+=(-1,-1)+(2,5)=. ∴C点的坐标为. 2.张角定理、分角定理的应用 例2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C. (1)求C; (2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长. 解　(1)由正弦定理,条件等式可化为 a2+b2=c2-absin C, 又a2+b2=c2+2abcos C, ∴-absin C=2abcos C, ∴tan C=-,∴C=. (2)∵c=2,a=3b, 由余弦定理,得(2)2=a2+b2-2ab=9b2+b2-6b2=13b2,∴b=2. 由张角定理,得=+, ∴=+=,∴CD==. 训练2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果∠BAD=α,AD是∠BAC的角平分线,证明: (1)cos α=; (2)S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD2tan α. 证明　(1)∵S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴AB×AC×sin 2α=AB×AD×sin α+AC×AD×sin α, 即cb×2sin α×cos α=c×AD×sin α+b×AD×sin α. 两边同除以bc·sin α得2cos α=+, ∴cos α=. (2)∵由角平分线张角定理得 cos α=, ∴=+. ∵(b+c)=++2≥2+2=4(当且仅当b=c时取“=”), ∴(b+c)×≥4, 即b+c≥4×=, ∴S△ABC=AD×(b+c)×sin α≥AD××sin α=AD2tan α. 3.梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用 例3 在△OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)延长OP与AB交于点D,用a,b表示向量. 解　(1)法一　∵B,P,M共线, ∴记=s, ∴=+ =+=b+a,① 同理,记=t, 得=a+b,② ∵a,b不共线, ∴由①、②得 ∴=a+b. 法二　△OAN被直线MB所截,由梅涅劳斯定理,得··=1, 即2··=1, ∴=, ∴=+=+·=+,即=a+b. 或者,同理△OBM被直线NA所截,得 ··=1, 即3··=1,∴=, ∴=+=+·=+,即=a+b. (2)由塞瓦定理得··=1, 即··=1, ∴=,下面只要求出P分OD的比即可. △OAD被直线MB所截,由梅涅劳斯定理,得··=1, 即×·=1, ∴=. ∴===+, 即=a+b. 训练3 如图,四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E,F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G,求的值. 解　对△AEF及点C,由塞瓦定理有··=1, 由BD∥EF,有=, 代入上式,得=1. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线,设直线不过点O,则S200=(　　) A.100 B.101 C.200 D.201 答案　A 解析　易知a1+a200=1, ∴S200==100. 2.在△ABC中,=,点P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　=λ+(1-λ), =,=λ+, 又=m+, ∴∴m=. 3.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n=(　　) A. 　　B. C. 　　D.1 答案　B 解析　=+=+=··+=+, ∴m=,n=,∴m+n=. 4.(2025·石家庄调研)已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,若=λ,则λ=(　　) A.- B.- C. D. 答案　B 解析　O为原点,设P(x,y),由=λ, 得λ=,由定比分点公式得 =+, 即(x,y)=(2,1)+(3,-1) =, 又∵P点在直线l上, ∴=-5,∴λ=-. 5.在△ABC中,点D为AB的中点,E,F为BC的两个三等分点,AE交CD于点M.设=a,=b,则=(　　) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b 答案　A 解析　∵D,M,C共线, ∴=x+(1-x) =+(1-x); ∵A,M,E共线, ∴=y=y=+, ∴∴=2-2x,∴x=, ∴=+,=- =+- =+ =-=a-b. 6.(2025·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D.若asin A=bsin B+(c-b)sin C,且AD=,b=3c,则a的值为(　　) A. B. C.3 D.2 答案　B 解析　由asin A=bsin B+(c-b)sin C及正弦定理得a2=b2+(c-b)c, 由余弦定理得cos A==, 则A=, 由三角形内角平分线定理得==, 所以=+, 两边平方得||2==+·+, 即()2=c2+c·3c·+(3c)2, 解得c=, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+-2×4××=,a=. 二、多选题 7.设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(　　) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 答案　AC 解析　对于A,如下图所示,可知P在△OAB内部,故成立; 对于B,如图所示,可知P在△OAB外部,故不成立; 对于C,因为=+=++=+,如下图所示,可知P在△OAB内部,故成立; 对于D,因为=+=++=-+,如图所示,可知P在△OAB外部,故不成立,故选AC. 8.(2025·南昌调研)如图所示,在凸四边形ABCD中,对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),=3,则(　　) A.=+ B.λμ= C.+的最大值为1 D.≥- 答案　ABD 解析　由=3,得 -=3-3, ∴=+,A正确; 直线FD交△ABE三边所在直线于D,C,F, 由梅涅劳斯定理,得··=1, ··=1,λμ=, +≥2=4,当且仅当λ=μ时,等号成立,所以B正确,C错误; ==-·, (1+λ)(1+μ)=λμ+λ+μ+1≥+2+1=,≥-,当且仅当λ=μ时,等号成立,故D正确. 三、填空题 9.边长为4的等边三角形ABC中,=,=3,CD与BE交于点O,则|++|=　　　　.  答案　 解析　++=2+, ∵直线BE交△ADC三边所在直线于E,O,B, 由梅涅劳斯定理得··=1, 即··=1,∴=, ∴|++|=|2+|=|-3+|=|-2|=|CD|=. 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的角平分线,若∠BAC=,|AD|=2,则2b+c的最小值为　　　　.  答案　6+4 解析　如图. ∵AD是∠BAC的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=, 由张角定理得=+, 即=+,∴+=, ∴2b+c=(2b+c)×2 =++6≥6+2=6+4. 四、解答题 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1. (1)若b+c=,求△ABC周长. (2)若=3,求tan B的值. 解　(1)如图,令∠BAC=2θ, 由张角定理得S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴=+,又AD=1, ∴bc·sin 2θ=(b+c)·sin θ, ∴2bc·cos θ=b+c,又b+c=, ∴bc·cos θ=.① 又S△ABC==S△ABD+S△ACD=, ∴(b+c)·sin θ=,又b+c=, ∴sin θ=,∴θ=,∴∠BAC=2θ=, 代入①,得bc·=,∴bc=. 在△ABC中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc·cos ∠BAC, 即a2=(b+c)2-2bc-2bc·cos 2θ, ∴a2=-2×-2××=, ∴a=,∴周长=a+b+c=. (2)∵=3,∴DC=3BD, 由角平分线性质可知===, 设AB=y,则AC=3y,BD=x,则DC=3x, 由(1)知,(b+c)·sin θ=, ∴(3y+y)·sin θ=,∴ysin θ=,② 又S△ABC==, ∴y·3y·sin 2θ=, ∴y2·sin 2θ=,③ 由②③得,tan θ=,∴θ=,y=, ∴c=,b=3y=4. 在△ABC中,由余弦定理得, a2=b2+c2-2bc·cos 2θ, ∴a==x+3x,∴x=. 在△ABD中,由余弦定理得, AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos B, ∴1=x2+y2-2x·y·cos B, ∴cos B=, ∴sin B==, ∴tan B==. 学科网（北京）股份有限公司 $