微专题9 奔驰定理与三角形四心 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦奔驰定理与三角形四心（重心、垂心、内心、外心）核心考点，以定理证明为基础构建四心向量表示的内在联系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生系统突破平面向量与几何综合问题。 资料创新整合抽象定理与几何性质，推导奔驰定理培养数学思维（推理能力），对比四心向量表达式发展数学眼光（几何直观），设置分层练习（基础训练、精准强化练）保障复习效果，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题9 奔驰定理与三角形四心 一、基础知识 1.奔驰定理 如图,已知P为△ABC内一点,则有S1+S2+S3=0(其中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC, △PAB的面积). 证明:设∠APB=α,∠APC=β,||=x, ||=y,||=z. 根据三角形正弦定理面积公式得 S1+S2+S3=yzsin [2π-(α+β)]·+xzsin β+xysin α =-yzsin(α+β)+xzsin β+xysin α,① 把①式两边与向量作数量积得 (S1+S2+S3)· =-x2yzsin(α+β)+x2yzsin βcos α +x2yzsin αcos β =x2yz[-sin(α+β)+sin βcos α+sin αcos β]=0. 同理:①式两边与向量,作数量积都得0. 但是S1+S2+S3,,三个向量垂直,而,,也不可能都为0,所以S1+S2+S3=0. 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用. 2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明) (1)点O是△P1P2P3的重心⇔++=0⇔===; (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔·=·=·⇔tan P1·+tan P2·+ tan P3·=0⇔∶∶=tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形); (3)点O是△P1P2P3的内心⇔a+b+c=0⇔∶∶=a∶b∶c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边,分别所对角P1,P2,P3); (4)点O是△P1P2P3的外心⇔||=||=||⇔2P1+2P2+2P3=0⇔∶∶=sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3. 二．典型例题 1.利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题 例1 (1)已知O是△ABC内部一点,满足+2+m=0,且=,则实数m=　　　　.  (2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P在同一平面内,=,=,=,则 S△ABC∶S△PBC=　　　　.  答案　(1)4　(2) 解析　(1)法一　延长CO到点M(图略), 使得=-, 因为+2+m=0, 所以-=+, 即=+, 所以A,B,M三点共线, 又因为反向共线, 所以=, 所以===, 解得m=4. 法二(奔驰定理法)　由奔驰定理得 S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0, 又+2+m=0, 所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m. 所以==,解得m=4. (2)法一　∵=, ∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3, ∴S△PQB=3S△PQR,即S△PRB=2S△PQR, ∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3, ∴S△BCR=3S△PBR=6S△PQR, ∴S△PBC=2S△PBR=4S△PQR, 同理可得S△ACP=S△ABQ=6S△PQR, ∴= ==. 法二(奔驰定理法)　由=, 得-=(-), 整理得=+=+, 由=,得=(-), 整理得=-, ∴-=+, 整理得4+6+9=0, ∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=. 规律方法　已知P为△ABC内一点,且x+y+z=0(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0),则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|; (2)=,=, =. 训练1 设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为　　　　.  答案　4 解析　法一　∵D为AB的中点, 则=(+), 又++2=0, ∴=-,∴O为CD的中点. 又∵D为AB的中点, ∴S△AOC=S△ADC=S△ABC, 则=4. 法二(奔驰定理法)　 ∵++2=0, 根据奔驰定理, ∴==4. 2.奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部) (1).奔驰定理与重心 例2 (2025·兰州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,重心为G.若a+b+c=0,则∠BAC=　　　　.  答案　 解析　由G为△ABC的重心知++=0, 则=--, 因此a+b+c(--) =+=0. 又,不共线, 所以a-c=b-c=0, 即a=b=c. 由余弦定理得 cos ∠BAC===, 且0<∠BAC<π,所以∠BAC=. (2).奔驰定理与外心 例3 已知点P是△ABC的外心,且++λ=0,C=,则λ=　　　　.  答案　-1 解析　依题意得, sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ, ∴sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B或2A+2B=π(舍),∴A=B. 又C=,∴A=B=, 又=,∴λ===-1. (3).奔驰定理与内心 例4 (2025·南阳质检)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,O为△ABC的内心,若=λ+μ,则3λ+6μ的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　=λ+μ可化为 +λ-λ+μ-μ=0, 整理得(1-λ)+(λ-μ)+μ=0, 所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2, 解得λ=,μ=, 所以3λ+6μ=3×+6×=3. (4).奔驰定理与垂心 例5 (2025·温州调研)如图,已知O是△ABC的垂心,且+2+3=0,则 tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=(　　) A.1∶2∶3 B.1∶2∶4 C.2∶3∶4 D.2∶3∶6 答案　A 解析　由奔驰定理得S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0, 又+2+3=0, 所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3, 又O是△ABC的垂心, 所以=,=, 即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3, 所以tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=1∶2∶3. 易错提醒　涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件. 训练2 (1)设I为△ABC的内心,且2+3+=0,则角C=　　　　.  (2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心,∠BAC=,如图.若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为,x,y,则x+y的最大值是　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)由2+3+=0, 可得a∶b∶c=2∶3∶, 令a=2k,b=3k,c=k, 则cos C==, 又C∈(0,π),所以C=. (2)法一　据奔驰定理得,+x+y=0, 即=2x+2y, 平方得=4x2+4y2+8xy||·||cos ∠BPC, 又∵点P是△ABC的外心, ∴||=||=||, 且∠BPC=2∠BAC=, ∴x2+y2+xy=, 从而(x+y)2=+xy≤+, 解得0<x+y≤, 当且仅当x=y=时取等号, ∴(x+y)max=. 法二　S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=∶x∶y, 又∠BAC=,∴sin 2A=, ∵x=2B,y=2C, ∴x+y=(sin 2B+sin 2C) = =, 又∵B∈,∴2B-∈, ∴∈, ∴x+y∈,∴(x+y)max=. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线.若·=·,则直线AD一定经过三角形ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　D 解析　因为·=·, 所以·=(-)· =·-·=0, 所以AD⊥CB,即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.故选D. 2.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设=λ+μ,则实数λ和μ的值分别为(　　) A., B., C., D., 答案　A 解析　根据奔驰定理,得3+2+4=0, 即3+2(+)+4(+)=0, 整理得=+,故选A. 3.已知O是△ABC内一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵++=0, ∴O是△ABC的重心, ∴S△OBC=S△ABC, ∵·=2, ∴||||cos ∠BAC=2, ∵∠BAC=60°,∴||||=4, 又S△ABC=||||sin ∠BAC=, ∴△OBC的面积为. 4.(2025·成都诊断)已知点P,Q在△ABC内,若+2+3=2+3+5=0,则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据奔驰定理得 S△PBC∶S△PAC∶S△ PAB=1∶2∶3, S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5, ∴S△PAB=S△QAB=S△ABC, ∴PQ∥AB, 又∵S△PBC=S△ABC,S△QBC=S△ABC, ∴==-=. 5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O为△ABC内的一点,△BOC, △AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA+SB+SC=0.因其几何表示酷似奔驰的标志,所以称为“奔驰定理”.已知O为△ABC的内心,三个角所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,c=5,则·=(　　) A.2-8 B.-2 C.-7 D.3-9 答案　A 解析　因为a=3,b=2,c=5, 所以cos B==, 因为O为△ABC的内心, 如图,设∠1=∠OBC,∠2=∠OBA, 由题意∠1=∠2, 则SA∶SC=|BO||BC|sin ∠1∶|BO||BA|sin ∠2=a∶c, 同理可得SA∶SB∶SC=a∶b∶c, 所以根据“奔驰定理”有a+b+c=0, 所以a(-)+b+c(-)=0, 即=+, 所以·=·(-)=--·=2-8. 6.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0,即称为经典的“奔驰定理”, 若△ABC的三边为a,b,c,现有a·+b·+c·=0,则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　B 解析　记点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,S△OBC=a·h2,S△OAC=b·h3, S△OAB=c·h1, 因为S△OBC·+SOAC·+S△OAB·=0, 则a·h2·+b·h3·+c·h1·=0, 即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0, 又因为a·+b·+c·=0, 所以h1=h2=h3,所以点P是△ABC的内心. 7.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=,λ2=,λ3=,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,f(P)=,则(　　) A.点P在△GAB内 B.点P在△GBC内 C.点P在△GAC内 D.点P与点G重合 答案　A 解析　不妨设S△ABC=1,根据奔驰定理重心公式可知f(G)=, 即S△GAB,S△GAC,S△GBC相等, 题干要求S△PAC=,所以点P必然在过G且平行于AC的直线上,如图. 而S△PBC>S△PAB,所以点P必然在线段EG上,且不包括端点, 即点P在△GAB内,故选A. 二、多选题 8.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D为BC边的中点,若点P满足3+2+=0,则下列说法正确的是(　　) A.点P一定在△ABC内部 B.4+2= C.S△ABC=3S△PAC D.点P在直线AD上 答案　ABC 解析　A中,如图所示,设AB,AC的中点分别为E,F,连接EF, 因为3+2+=0, 所以2(+)+(+)=0, 所以2·2+2=0, 即2+=0, 所以P是线段EF上靠近点E的三等分点, 所以点P在△ABC的内部,故A正确; B中,因为3+2+=0, 所以4-+2+=0, 所以4+2=-=,故B正确; C中,由奔驰定理知,S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 因为3+2+=0, 所以S△PBC∶SPAC∶S△PAB=3∶2∶1, 所以==3, 即S△ABC=3S△PAC, 故C正确; D中,由选项A知,P是线段EF上靠近点E的三等分点, 所以点P不可能在直线AD上,故D错误. 9.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA+SB+SC=0.设O是锐角三角形ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下结论正确的是(　　) A.若++=0,则O为△ABC的重心 B.若+2+3=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 C.若O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan ∠BAC·+tan ∠ABC·+tan ∠ACB·=0 D.若||=||=2,∠AOB=,2+3+4=0,则S△ABC= 答案　ABC 解析　对于A,如图所示, 设D为AB的中点,连接OD, 则+=2=, 故C,O,D三点共线,即O在中线CD上, 同理可得O在另外两边BC,AC的中线上,故O为△ABC的重心,故A正确; 对于B,由奔驰定理可得SA∶SB∶SC=1∶2∶3,故B正确; 对于C,根据奔驰定理得tan ∠BAC·+tan ∠ABC·+tan ∠ACB·=0,故C正确; 对于D,由||=||=2,∠AOB= 可知SC=×2×2×=1, 又2+3+4=0, 所以SA∶SB∶SC=2∶3∶4, 由SC=1可得,SA=,SB=, 所以S△ABC=SA+SB+SC=++1=, 故D错误. 10.(2024·新余模拟)已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=∶2∶1 答案　ABC 解析　对于A，因为SA∶SB∶SC=1∶1∶1， 所以++=0， 取BC的中点D(图略)，则+=2， 所以2=-， 故A，M，D三点共线，且MA=2MD， 同理，取AB的中点E，AC的中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线， 所以M为△ABC的重心，A正确； 对于B，若M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r， 则SA=BC·r，SB=AC·r，SC=AB·r， 所以BC·r·+AC·r·+AB·r·=0， 即BC·+AC·+AB·=0，B正确； 对于C，若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M， 则∠BMD=∠BCA，∠CMD=∠ABC， 因此===，同理=， 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=SA∶SB∶SC=3∶4∶5，C正确； 对于D，若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心， 则∠ACB=75°， 设△ABC的外接圆半径为R，故∠BMC=2∠BAC=90°， ∠AMC=2∠ABC=120°， ∠AMB=2∠ACB=150°， 故SA=R2sin 90°=R2， SB=R2sin 120°=R2，SC=R2sin 150°=R2， 所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，D错误. 11.已知O是锐角△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC= C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则∠ACB= D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=- 答案　ACD 解析　对于A，由奔驰定理可得，SA∶SB∶SC=1∶2∶3，故A正确； 对于B，SC=×2×2×sin∠AOB=1， 由2+3+4=0得SA∶SB∶SC=2∶3∶4，故S△ABC=SC=，故B错误； 对于C，若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 又SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr=a∶b∶c(a，b，c为角A，B，C所对的边，r为△ABC内切圆半径)，三边满足勾股定理，故∠ACB=，故C正确； 对于D，若O为△ABC的垂心，则∠BOC+∠BAC=π，·=·cos∠BOC=-·cos∠BAC，同理·=-||·||cos∠ACB， 又·=·(-)=0⇔·=·⇔cos∠BAC=cos∠ACB， 同理cos∠ABC=cos∠ACB，cos∠ABC=cos∠BAC， ∴∶∶=cos∠BAC∶cos∠ABC∶cos∠ACB， ∵3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 且SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB =cos∠ABCcos∠ACBsin∠BAC∶cos∠BACcos∠ACBsin∠ABC∶cos∠BACcos∠ABCsin∠ACB =∶∶=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB， 如图，D，E，F分别为垂足， 设AF=m，tan∠BAC=3t(t>0)，则FC=3mt，BF=m，AB=m，AC=·m， 又AE∶EC=∶=5∶3， 故AE=AC，BE=3t·AE=AC， 由AB·FC=AC·BE⇔m·3mt=(9t2+1)m2，解得t=， 由tan2∠ACB=-1=5⇒cos∠ACB=， 故cos∠AOB=-cos∠ACB=-，故D正确 三、填空题 12.(2025·南昌调研)△ABC的内切圆圆心为O,半径为2,且S△ABC=14,2+2+3=0,则△ABC的外接圆面积为　　　　.  答案　 解析　∵2+2+3=0,且O为内心, ∴a∶b∶c=2∶2∶3, 令a=2k,则b=2k,c=3k, 设△ABC内切圆半径为r,外接圆半径为R, 由S△ABC=(a+b+c)·r, 得×7k×2=14, 得k=2, ∴a=4,b=4,c=6, ∴cos C=-,sin C=, 由2R==,得R==, ∴外接圆面积S=πR2=. 13.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3+4+5=0,则△ABC的面积为　　　　.  答案　 解析　∵3+4=-5, 且||=||=||=1, ∴9||2+16||2+24·=25||2, ∴·=0,∴OA⊥OB, ∴S△AOB=×1×1=, 由奔驰定理知,S△BOC∶S△AOC∶S△ AOB=3∶4∶5, ∴S△AOB=·S△ABC, ∴S△ ABC=S△AOB=. 14.(2025·天津河北区质检)在△ABC中,点G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=4,||=2,则边BC的长为　　　　.  答案　2 解析　延长AG交BC于点D, 连接OD,作OH⊥AC于点H,则D,H分别为BC,CA的中点,如图所示. 易知·=||||cos ∠OAC=||||=||2, 同理可得·=||2. 由重心的性质可知·=· =×(+)· =(+)·=(+)=4, 即+=24. 又||=||=3, 且||=|+|=3, 可得|+|=6, 所以|+|2=++2· =36, 可得·=6. 因此||2=|-|2 =+-2·=12, 即||=2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题9 奔驰定理与三角形四心 一、基础知识 1.奔驰定理 如图,已知P为△ABC内一点,则有S1+S2+S3=0(其中S1,S2,S3分别为△PBC,△PAC, △PAB的面积). 证明:设∠APB=α,∠APC=β,||=x, ||=y,||=z. 根据三角形正弦定理面积公式得 S1+S2+S3=yzsin [2π-(α+β)]·+xzsin β+xysin α =-yzsin(α+β)+xzsin β+xysin α,① 把①式两边与向量作数量积得 (S1+S2+S3)· =-x2yzsin(α+β)+x2yzsin βcos α +x2yzsin αcos β =x2yz[-sin(α+β)+sin βcos α+sin αcos β]=0. 同理:①式两边与向量,作数量积都得0. 但是S1+S2+S3,,三个向量垂直,而,,也不可能都为0,所以S1+S2+S3=0. 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志,所以我们把上述结论称为奔驰定理,该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用. 2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明) (1)点O是△P1P2P3的重心⇔++=0⇔===; (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔·=·=·⇔tan P1·+tan P2·+ tan P3·=0⇔∶∶=tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形); (3)点O是△P1P2P3的内心⇔a+b+c=0⇔∶∶=a∶b∶c(其中a,b,c是△P1P2P3的三边,分别所对角P1,P2,P3); (4)点O是△P1P2P3的外心⇔||=||=||⇔2P1+2P2+2P3=0⇔∶∶=sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3. 二．典型例题 1.利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题 例1 (1)已知O是△ABC内部一点,满足+2+m=0,且=,则实数m=　　　　.  (2)(2025·成都诊断)已知点A,B,C,P在同一平面内,=,=,=,则S△ABC∶S△PBC=　　　　.  规律方法　已知P为△ABC内一点,且x+y+z=0(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0),则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|; (2)=,=, =. 训练1 设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为　　　　.  2.奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部) (1).奔驰定理与重心 例2 (2025·兰州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,重心为G.若a+b+c=0,则∠BAC=　　　　.  (2).奔驰定理与外心 例3 已知点P是△ABC的外心,且++λ=0,C=,则λ=　　　　.  (3).奔驰定理与内心 例4 (2025·南阳质检)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,O为△ABC的内心,若=λ+μ,则3λ+6μ的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (4).奔驰定理与垂心 例5 (2025·温州调研)如图,已知O是△ABC的垂心,且+2+3=0,则 tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB=(　　) A.1∶2∶3 B.1∶2∶4 C.2∶3∶4 D.2∶3∶6 易错提醒　涉及三角形的四心问题时,内心和重心一定在三角形内部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推论中的点都在三角形内部,解题时,要注意观察题目有无这一条件. 训练2 (1)设I为△ABC的内心,且2+3+=0,则角C=　　　　.  (2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心,∠BAC=,如图.若△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为,x,y,则x+y的最大值是　　　　.  【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·江苏部分学校联考)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线.若·=·,则直线AD一定经过三角形ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 2.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设=λ+μ,则实数λ和μ的值分别为(　　) A., B., C., D., 3.已知O是△ABC内一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 4.(2025·成都诊断)已知点P,Q在△ABC内,若+2+3=2+3+5=0,则等于(　　) A. B. C. D. 5.(2025·石家庄质检)平面向量中有一个非常优美的结论:已知O为△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA+SB+SC=0.因其几何表示酷似奔驰的标志,所以称为“奔驰定理”.已知O为△ABC的内心,三个角所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,c=5,则·=(　　) A.2-8 B.-2 C.-7 D.3-9 6.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0,即称为经典的“奔驰定理”, 若△ABC的三边为a,b,c,现有a·+b·+c·=0,则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=,λ2=,λ3=,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,f(P)=,则(　　) A.点P在△GAB内 B.点P在△GBC内 C.点P在△GAC内 D.点P与点G重合 二、多选题 8.(2025·安徽皖江名校联考)已知△ABC,D为BC边的中点,若点P满足3+2+=0,则下列说法正确的是(　　) A.点P一定在△ABC内部 B.4+2= C.S△ABC=3S△PAC D.点P在直线AD上 9.(2025·贵阳模拟)奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SA+SB+SC=0.设O是锐角三角形ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下结论正确的是(　　) A.若++=0,则O为△ABC的重心 B.若+2+3=0,则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 C.若O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则tan ∠BAC·+tan ∠ABC·+tan ∠ACB·=0 D.若||=||=2,∠AOB=,2+3+4=0,则S△ABC= 10.(2024·新余模拟)已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·+AC·+AB·=0 C.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA=3∶4∶5 D.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=∶2∶1 11.已知O是锐角△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，以下命题正确的有(　　) A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3 B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC= C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则∠ACB= D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=- 三、填空题 12.(2025·南昌调研)△ABC的内切圆圆心为O,半径为2, 且S△ABC=14,2+2+3=0,则△ABC的外接圆面积为　　　　.  13.若△ABC内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且3+4+5=0,则△ABC的面积为　　　　.  14.(2025·天津河北区质检)在△ABC中,点G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=4,||=2,则边BC的长为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $