专题二 微拓展2 奔驰定理和四心问题-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

微拓展2　奔驰定理和四心问题 [考情分析]　奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度较大． 考点一　奔驰定理 奔驰定理： 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. [例1]　(1)(2025·高三安徽淮南阶段测试)已知O是△ABC内部的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a＝3，b＝2，c＝4，若sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，则三角形AOB与△ABC的面积之比为(　　) A． B． C． D． 解析　由正弦定理＝＝＝K，又a＝3，b＝2，c＝4，所以得(3·＋2·＋4·)＝0，因为≠0，所以3·＋2·＋4·＝0.设OA1＝3，OB1＝2，OC1＝4，可得OA1＋OB1＋OC1＝0，则O是△A1B1C1的重心，S△OA1B1＝S△OB1C1＝S△OA1C1＝S，利用S＝OA1·OB1·sin ∠A1OB1，sin ∠AOB＝sin ∠A1OB1，所以＝＝＝，所以S△OAB＝S，同理可得S△OBC＝S，S△AOC＝S.所以三角形AOB与△ABC的面积之比为S：(S＋S＋S)＝4∶9即为.故选A. 答案　A (2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 解析　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋， 故λ＝，μ＝.故选A. 答案　A 已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|； (2)＝， ＝， ＝. 跟踪训练1　(2025·高三安徽安庆二模)设O点在△ABC内部，且有3＋2＋＝0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　) A．2 B． C． D．3 A　[不妨设OA1＝3，OB1＝2，OC1＝，如图所示，在此处键入公式。 根据题意则OA1＋OB1＋OC1＝0，即点O是△A1B1C1的重心，取B1C1的中点E，连接OE，则A1，O，E三点共线，且OE＝A1E，所以△A1B1C1边B1C1上的高是△OB1C1边B1C1上的高的3倍，∴S△A1B1C1＝3S△OB1C1，即S△OB1C1＝S△A1B1C1，同理可得：S△OA1B1＝S△A1B1C1，S△OA1C1＝S△A1B1C1，所以有S△OA1B1＝S△OA1C1＝S△OB1C1＝k，又因为＝＝，＝＝，那么S△AOB＝k，S△AOC＝k，故△AOC的面积与三角形AOB 的面积的比值为＝2.故选A.] 考点二　奔驰定理与三角形四心 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： ①若O为△ABC的重心，则＋＋＝0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝1∶1∶1； ②若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0，且||＝||＝||； ③若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0，或sin A·＋sin B·＋sin C·＝0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)； ④若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0，且·＝·＝·. 考向1　奔驰定理与重心 [例2]　已知O是△ABC的重心，·＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　∵O是△ABC的重心， ∴＋＋＝0， 由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC＝1∶1∶1， ∴S△OBC＝S△ABC. ∵·＝2，∴||||cos ∠BAC＝2， ∵∠BAC＝60°，∴||||＝4， 又S△ABC＝||||sin ∠BAC＝， ∴△OBC的面积为. 故选A. 答案　A 考向2　奔驰定理与外心 [例3]　已知点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝，则λ＝ ． 解析　依题意得， sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ， ∴sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)， ∴A＝B，又C＝，∴A＝B＝， 又＝， ∴λ＝＝＝＝.故答案为：. 答案　 考向3　奔驰定理与内心 [例4]　已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，则△ABC的外接圆面积为 ． 解析　∵2＋2＋3＝0，且O为内心， ∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c＝2∶2∶3， 令a＝2k，则b＝2k，c＝3k， 设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝(a＋b＋c)·r，即×7k×2＝14，得k＝2， ∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cos C＝－，sin C＝， 又2R＝＝，解得R＝＝，∴△ABC的外接圆面积S＝πR2＝.故答案为：. 答案　 考向4　奔驰定理与垂心 [例5]　已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若＋2＋3＝0，则A＝ ． 解析　依题意，可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3， 因为tan A＝－tan (B＋C)＝－， 整理得tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，可得6tan A＝6tan3A，因为tanA≠0，所以tan A＝±1. 又因为tan A<tan B<tan C， 所以tan A＝1，所以A＝.故答案为：. 答案　 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件． 跟踪训练2　 (多选)(2025·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联．具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题正确的有(　　) A．若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B．若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C．若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝2∶∶1 D．若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos ∠AMB＝ ABC　[ 对于A，如图， 取BC边的中点D，连接MD， 由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1， 得＋＋＝0， 所以2＋＝0，所以A，M，D三点共线，且MA＝2MD，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，如图， 因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则有SA＝BC·r，SB＝AC·r， Sc＝AB·r， 所以BC·r·＋AC·r·＋AB·r·＝0， 所以BC·＋AC·＋AB·＝0， 故B正确； 对于C，如图， 因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R， 因为∠BAC＝45°，∠ABC＝60°， 所以∠BMC＝90°， ∠AMC＝120°， 故∠AMB＝360°－120°－90°＝150°， 所以SA∶SB∶SC＝R2sin 90°∶R2sin 120°∶ R2sin 150°＝sin 90°∶sin 120°∶sin 150° ＝1∶∶＝2∶∶1，故C正确； 对于D，由M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，所以SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，如图， 则＝4，＝3. 延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E， 设MD＝x，MF＝y， 则AM＝3x，BM＝2y， 所以cos ∠BMD＝＝cos ∠AMF＝， 得3x2＝2y2， 所以cos ∠BMD＝， 则cos ∠AMB＝－，故D错误．故选ABC.] 提升思维　拓展训练 1．设I为△ABC的内心，且2＋3＋＝0，则角C为(　　) A． B． C． D． B　[由2＋3＋ ＝0， 可得a∶b∶c＝2∶3∶， 令a＝2k，则b＝3k，c＝k， 则cos C＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝.故选B.] 2．已知△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2，则△BGC的面积为(　　) A．12 B．8 C．4 D．4 C　[cos A＝＝＝， 又A∈(0，π)，∴A＝， ∴S△ABC＝×6×8×sin ＝12， 又G为△ABC的重心，∴＋＋＝0， 即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1， ∴S△BGC＝S△ABC＝4.故选C.] 3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．7 C　[＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0， 整理得(1－λ)＋(λ－μ)＋μ＝0， 所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2， 解得λ＝，μ＝， 所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.故选C.] 4.已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A． B． C． D． D　[由＝， 得－＝(－)， 整理得＝＋＝＋， 由＝，得＝(－)， 整理得＝－， ∴－＝＋， 整理得4＋6＋9＝0， ∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.故选D.] 5.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·＋S2·＋S3·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则cos C等于(　　) A． B． C． D． B　[延长CO交AB于点P， ∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB， ∴S1∶S2＝(·OC·BP)∶(·OC·AP) ＝BP∶AP＝(OP tan ∠POB)∶(OP tan ∠POA) ＝tan ∠COB∶tan ∠COA ＝tan (π－A)∶tan (π－B) ＝tan A∶tan B. 同理可得S1∶S3＝tan A∶tan C， ∴S1∶S2∶S3＝tan A∶tan B∶tan C. 又S1·＋S2·＋S3·＝0， ∴tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 又＋2＋3＝0， ∴tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3. 不妨设tan A＝k，tan B＝2k，tan C＝3k，其中k≠0. ∵tan A＝－tan (B＋C)＝－， ∴k＝－，解得k＝±1. 当k＝－1时，此时tan A<0，tan B<0，tan C<0， 则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去． 故k＝1，则tan C＝3>0，故C为锐角， ∴＝3， sin2C＋cos2C＝1，解得cos C＝.故选B.] 6．(多选)(2025·高三安徽淮南二模)数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB＝4，AC＝2，则下列各式正确的是(　　) A．2＋＝0 B．·＝4 C．·＝－6 D．＝＋＋ ACD　[对于A，由题意得＝－，即2＋＝0，故A正确；对于B，由G是△ABC的重心，设M为BC的中点，可得＝＝(＋)＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝－4，故B错误；对于C，过△ABC的外心O分别作AB，AC的垂线， 垂足为D，E，如图，连接OB，OC，因为OB＝OA，AB⊥OD，且在△OAB中，所以D是AB的中点，同理可得E是AC的中点，所以·＝·(－)＝·－·，＝||·||·cos ∠OAE－||·||·cos ∠OAD，＝||·||－||·||＝||2－||2＝－6，故C正确；对于D，因为G是△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝3＋＋＋＝3而由欧拉线定理可得＝3，所以＝＋＋，故D正确．故选ACD.] 7．(多选)(2025·重庆模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若||＋||＋||＝0，则点O是△ABC的重心 B．若·(－)＝·(－)＝0，则点O是△ABC的内心 C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O是△ABC的外心 D．若O为△ABC的外心，且2＝＋，则B为△ABC的垂心 BCD　[对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E， 使得＝，＝， 则||＝||＝1， 以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示， 则四边形ADFE是菱形，且＝＋＝＋，所以AF平分∠BAC， 因为||＋||＋||＝0， 即a＋b＋c＝0， 所以a·＋b·(＋)＋c·(＋)＝0， 即(a＋b＋c)＋b＋＝0， 所以＝＋ ＝(＋)＝， 所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上， 同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误； 对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得＝， ＝，如图， 则||＝||＝1，且－＝， 因为·(－)＝0， 即⊥，又||＝||＝1知，AO平分∠BAC， 同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确； 对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图， 因为(＋)· ＝(＋)·＝0， 所以2·＝2· ＝0， 即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确； 对于D，因为2＝＋， 所以＝－，即O为AC的中点， 又O为△ABC的外心，所以∠B＝90°，则B为△ABC的垂心，故D正确．故选BCD.] 8.(2025·高三山东日照三模)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝ ． 9　[如图，在△ABC中，D为BC的中点，下面证明结论：·＝||－||2.因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以||2＋||2＋2·＝4||2①，又－＝，所以||2＋||2－2·＝||2②，①－②得4·＝4||2－||2，所以·＝||－||2，因为在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.所以·＝OA2－＝－7，解得BD＝8，则·＝OC2－＝9.故答案为：9.] 9.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是 ． 　[方法一　据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，x>0，y>0， 平方得2＝4x22＋4y22＋8xy||·||·cos ∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，∠BAC＝， 所以||＝||＝||， 且∠BPC＝2∠BAC＝， 所以x2＋y2＋xy＝， (x＋y)2＝＋xy≤＋()2， 解得x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号， 所以(x＋y)max＝. 方法二　因为点P是△ABC的外心，所以 S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝∶x∶y，x>0，y>0， 又∠BAC＝，∴sin 2A＝， ∴x＝sin 2B，y＝sin 2C， ∴x＋y＝(sin 2B＋sin 2C) ＝[sin 2B＋sin (－2B)]＝sin (2B－)， 又∵B∈(0，)， ∴2B－∈(－，)， ∴sin (2B－)∈(－，1]， ∴x＋y∈(0，]，∴(x＋y)max＝.故答案为：.] 学科网（北京）股份有限公司 $