甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷

临潭县第一中学2025-2026学年上学期期末模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.在等差数列{a}中，Sn为其前n项和.若a2=3,a。=38,则S。=() A.205 B.410 C.230 D.460 【答案】A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出a+4。=凸2+a=41,再利用等差数列的前n项和 公式求出 【详解】因为a42=3,4,=38,所以42+4，=41， 由等差数列的性质得4+4，=4+a=41,所以3。=10(8+4-5g+4)=205.故选：A. 2 2.己知{a}是公差不为零的等差数列，4=1，若4,4，a成等比数列，则4=() A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可 【详解】设等差数列{a}的公差为dd≠0)，由凸，a,a成等比数列，得a=a,ag, 则(1+3d)2=(1+d)1+7d),整理得2d=2d,而d≠0，解得d=1, 所以41=4+(11-1)d=11.故选：A 3.直线V3x+y+2=0的倾斜角为() A.150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B 【分析】将直线方程化成斜截式，求得直线斜率，再由直线斜率与倾斜角的关系即可求得。 【详解】由√5x+y+2=0可得y=-√3x-2,则直线的斜率为-√5， 设该直线的倾斜角为a,则tana=-√3，因0≤a<180“,则a=120°.故选：B 4.已知圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0,当圆心到原点的距离最小时，圆C的面积为() A.4π B.3元 C.2π D.元 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出OC,利用二次函数求出最小值 时的值，代入半径，求出半径，利用圆的面积公式求解. 【详解】由C:x+y-21x+(2k-4)y-1=0可知圆心为C(0,-m+2),半径为r=V2t-4+5, 设原点为0，则oC=Vm2+(-+2)2=V2m2-4m+4, 设t=2m2-4m+4,对称轴为=1，开口向上， 则t=2m2-4m+4在m=1处取得最小值，即在m=1处OC的最小值， 此时圆C的半径为r=√2m2-4m+5=√5，圆C的面积为S=m2=3π.故选：B. 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且MF=10,若A(a,0)满足AM⊥M, 则a=() A.16 B. 31 27 D.9 2 2 【答案】C 【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点F的坐标，再根据抛物线的定义，求出点M的坐 标，进而利用向量垂直的坐标性质即可得解。 【详解】在抛物线C:)户=4x中，2p=4,则号=1，所以焦点FL0),准线方程为x=-1 设点M的坐标为（化，y),则 x。+1=10 巧=45，故x。=9, M(9,%),且=36，又A7=(9-a%),MF=(-8-), 则i.m=-8(9-a）-y=-89-a36=0,解得a=27 ,故选：C 6.如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但B处正在维修不通，则不 同的路线有()种 B A.66 B.86 C.106 D.126 【答案】B 【分析】求出从A到C不同的路线总数，减去从A到C的过程中途经B处的路线数，即可 得出答案 【详解】要使A到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一 个网格点，且选择向右的次数为5，选择向上的次数为4，总共9次选择，所以从A到C总 共有C。=126种不同的路线， 同样，从A到B相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以A到B总共有C:=4种不 同的路线，从B到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以B到C总共有C=10 种不同的路线， 故从A到C的过程中途经B处的路线数为4×10=40种， 但B处正在维修不通，则不同的路线有126一40=86种.故选：B. 7.已知双曲线C:-二=1的两个焦点为R,马，双曲线C上有一点P,若P=6,则PR|= 421 () A.10 B.2 C.2或10 D.14 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可 【详解】因为双曲线C:亡=1，所以a=4公=21，故c=4+6=25,即c=5, 421 由双曲线的定义知，‖P-PE=6-PE=2=4,所以P引=10或PE=2, 当PE=2时，P+P=6+2<FE引=10，不合题意，舍去.故P=10.故选：A 8.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个 端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为() A.192 B.420 C.210 D.72 【答案】D 【分析】分为B,D同色，且A,C同色：B,D同色，而A,C不同色：A,C同色，而B,D不同 色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案。 【详解】由题意知，S与A,B,C,D任意一点均不同色 只用3种颜色，即B,D同色，且A,C同色，此时不同染色方法的种数为A=24: 用4种颜色，此时可能B,D同色，而A,C不同色或A,C同色，而B,D不同色 若B,D同色，而A,C不同色，此时不同染色方法的种数为A:=24: 若A,C同色，而B,D不同色，此时不同染色方法的种数为A=24 根据分类加法计数原理原理可得，不同染色方法的种数为24+24+24=72.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知S是等差数列{a}的前n项和，且a4<0,a+a。>0,则下列选项正确的是() A.数列{a}为递减数列 B.a<0 C.Sn的最大值为S, D.使得S.>0时n的最大值是13 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质得到a,>0,从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项 和公式，判断各选项. 【详解】对于B,a+a。=a+a>0,,a<0,∴.a>0,B选项错误： 对于A,因为数列{a}的公差d=a-a,<0,所以数列{a}为递减数列，A选项正确： 对于C,设Sn最大，则Sn≥Sn+1,Sn≥Sn-1,所以an≥0，an1≤0，故n=7, 所以S,的最大值为S,,C选项正确： 对于D.:3.-14a,+=7a+a)>0,.-15a+a-15a<0. 2 2 .使得Sn>0时n的最大值是14，D选项错误. 故选：AC 10.以下四个命题表述正确的是() π2π A.若直线倾斜角&∈ 则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 43 -0,-V3U,+m) B.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R恒过定点(-3，-3) C.若直线l:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a=-3 D.若直线：X-2y+3=0与，：2x+④-2=0平行，则1与1，的距离为45 【答案】AD 【分析】根据直线倾斜角范围求出正切值的范围，判断选项A的正误；根据直线过定点的 判断方法，求出直线所过定点，判断B的正误；根据两直线垂直，一般式方程中参数的关 系，求出参数值，判断C的正误：根据两直线平行时，一般式方程中参数的关系，求出参 数值，再根据平行线距离公式，求出结果，判断D的正误： 【详解】对于选项A:直线倾斜角a云3 π2π 当a-时，斜率不存在：当a[引时，斜率=mu儿-o 当au∈ π2π 23 时，斜率k=tande（o,-5]: 所以直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是(-o,-3U儿，+∞)，故A正确： 对于选项B:直线(3+mx+4y-3+3m=0(∈R),化简为m(x+3)+(3x+4y-3)=0, 当x+3=0时，即x=-3时，-9+4y-3=0,解得y=3, 所以直线恒过定点(-3,3)，故B错误： 对于选项C:直线ax+(1-a)y=3与(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直时，可得 a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=-3或a=1,所以C错误： 对于选项D:直线x-2y+3=0与2x+y-2=0平行，则1×a=2×(-2),解得a=-4, 岁，所以D正 此时为2x-4v-2=0,化简得x-2y-1=0,则3与人的距离为上1-_4W5 确；故选：AD 1.已虚线C的方程为会二”活1keR,则下列结论不确的是() A.当k=4时，曲线C为椭圆，其焦距为8 B.当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为2 3 C.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线 D.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】当k取不同值时，得到曲线C的方程，明确曲线类型及a2,b2,c2的值，求出对应曲 线的焦距，即可判断A: 求出对应曲线的离心率，即可判断B:根据题目条件，列出不等式组，根据不等式组解的情 况，即可判断C,D 【详解】对于A,当k=4时，曲线C的方程为 +y2=1,是椭圆 15 其中a2=15,b2=1,则c2=a2-b2=14,所以焦距2c=214,故A错误： 对于B,当k=2时，曲线C的方程为-y2=1,是双曲线 3 其中a=3,6=1,则c2=d2+=4,c=2,所以离心率为e=9-2=2 a33 3,故B正确： -(3-k)>0 k>3 对于C,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，需满足 k2-1<0，即 -1<k<1' 不等式组无解，所以不存在这样的实数k,故C错误； -(3-k)>0 对于D,若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，需满足{k2-1>0 -(3-k)>k2-1 其中-(3-k)>k2-1可化为k2-k+2<0,此不等式无解， 所以不等式组无解，所以不存在这样的实数k,故D错误： 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设直线y=x-√2与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点，且AB到=2W3,则M= 【答案】±2 【分析】求圆心到直线的距离，根据弦长结合垂径定理列式求解即可 【详解】圆O:x2+y2=d的圆心为O(0,0),半径r=d, 则圆心0(0.0)到直线x-y-V5=0的距离d= =1, √2 由题意可得AB=2Wr2-d,即2√5=2√2-1，解得a=±2.故答案为：±2. 13.已知P是椭圆二+上-1上的点，R、乃分别是椭圆的左、右焦点，若 PE.PF,1 259 网P网2' 则△耳PF内切圆的半径为 【答案】因 3 PF·PE 【分析】首先由 PRPR TF2可得∠RP吗，设P=mP=n,再由椭圆的定义及余弦 定理求得的值，最后结合三角形的面积与内切圆半径之间的关系列方程求解即可. PE PE,1 PF·PE cos∠FPE, 1 【详解】因为 2即 PR.PR F=cos∠RPB=2,所以∠RPR=60° 由椭圆方程+父-1可知a=5,b=3所以c=a-6=4,所以R2c=8, 25 9 如图，不妨取点P在第一象限内，设P=m,PF=n, 0 E 则+n=2a=10,由余弦定理知FF,°=m2+n2-2ncos∠EP耳， 1 即8=心产+r-2m×2m+-mm=(0m+刀°-3m=10-3,解得m=12 所以S= mm∠RP明-分12x9=35 2 设aRPR内切圆的半径为，则由等面积法可知8标=35-加+n)r分0+8r, 解得r=】 3 J3 故答案为： 14.若3x+ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含x的项的系数为」 【答案】27 【分析】根据二项式定理求解即可。 【详解】令x=1,则展开式中各项系数之和为 1} =4”,由题意得4"=64，解得n=3 3x+》 的通项为T1=C(3x) C33+x2,令3-2r=1,解得r=1. 代入通项得该项系数为C33=27故答案为：27. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知{an}为公差不为零的等差数列，其中a1,4,4,成等比数列，a+a,=12. (1)求数列{a}通项公式： (2)记6= 之，设物}的前项和为8，求最小的正整数”，使得S站 aa 【答案】(1)4.=21-1 (2)1013 【分析】(1)根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求a和d,可得数列{a} 的通项公式 (2)利用裂项求和法求S,再解不等式可得的取值范围，可得n的最小值. 【详解】(1)设数列{a}首项为a,公差为d, 因为a,4,a成等比数列，所以=a·a→(a+d)2=a(a+4d)→d=2ad, 又d≠0，所以d=2a. 又43+a4=12→41+2d+a,+3d=12→4+4+4+6g=12→41=1，所以d=2. 所以an=1+(n-1)×2=2n-1 2 2 1 1 (2)因为b.= a.·a1(2n-1)(2n+1)2n-12n+1' 所以5，=1 1,11 11 2n、2024 3+35++2n-12n+1 →n>1012. 2n+12025 所以n的最小值为1013 16.(15分)已知1-°=a,+a,G+a,(G)++a.(GeN),且(1-E的展开 式中各项的二项式系数之和为64. (1)求n: (2)求1-V)”的展开式中√的系数： 味4+宁4+ 1 9%+.+ 1 2h」 【答案】(1)n=6 (2)20 品 【分析】(1)基于二项式展开的基本性质，即展开式中所有二项式系数之和为2的次幂， 通过建立指数方程求解未知指数 (2)运用二项展开式的通项公式，将目标项的次数与通项中的指数对应，确定特定项的位 置并计算其系数 (3)通过赋值法构造代数等式，先利用特殊值确定常数项，再选取合适的变量代入值将所 求表达式与原展开式联系起来，从而整体求出系数和的值 【详解】(1)因为(-√)展开式中各项的二项式系数之和为64， 所以2”=4，解得n=6 (2)(1-V)的展开式的通项T,1=Cg（G)=(1)'Cx, =令5相= 所以1-√)“展开式中x√的系数为(-1)C=-20. (3)令x=0,得a=1, aa+44 则4+a+2a+ 1 2a=24+2a,+24++ 4=1 64 17.(15分)已知圆C的半径为2，圆心C在直线x+y-4=0上，且圆C被x轴截得的弦长 为4，直线：x+y-3=0与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的标准方程. (2)弦长|AB是否有最大值？何时弦长AB|最小？当弦长|AB|最小时，求直线的方程及弦 长|AB|. (3)直线2过点D3,O),且1⊥1，，直线12与圆C交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最 大值. 【答案】(1)(x-4)2+y2=4 (2)弦长AB没有最大值；当垂直于x时轴，弦长最小，此时1，的方程为x=3,|AB=2√3 3)7 【分析】(1)由题意可得，圆心C在x轴上，再由当y=0时，x=4,可得圆心，即可求解 (2)设直线l的斜率为k,直线l恒过定点(3,0)，且在圆C内，由题意可得，斜率k存在， 再由弦AB为圆C的直径时，弦最长，直线I⊥x轴时，弦最短求解即可 (3)通过时论斜率是否存在，通过(1山，所以AB1N,所以S=号E,由点到 直线距离以及圆的性质求解即可 【详解】(1)因为圆C的半径r=2,且被x轴截得的弦长为4，所以圆心C在x轴上 又因为圆心C在直线x+y-4=0上，令y=0,解得x=4,所以圆心C(4,0) 所以圆C的标准方程为(x-42+y2=4. (2)由直线l的方程x+y-3=0知，若直线的斜率为k,则k≠0： 直线恒过定点(3,0)，且此定点在圆C内， 当弦AB为圆C的直径时，弦最长，即AB|的值最大，此时直线！为x轴，斜率k=0,又 因为k≠0，所以弦AB不存在最大值， 当直线！⊥x轴时，即α=0时，弦最短，此时直线的方程为x=3,因为圆心C到直线l的 距离为1，所以最短弦长|AB=2W22-12=2√5 (3)由(2)知，直线4恒过点D(3,0),当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=3, 则直线，的方程为y=0, 临潭县第一中学2025-2026学年上学期期末模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 2．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 6．如图，小明从街道的出发，选择一条最短路径到达处，但处正在维修不通，则不同的路线有（    ）种    A．66 B．86 C．106 D．126 7．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ） A．192 B．420 C．210 D．72 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线：与：互相垂直，则 D．若直线：与：平行，则与的距离为 11．已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，曲线为椭圆，其焦距为8 B．当时，曲线为双曲线，其离心率为 C．存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设直线与圆相交于两点，且，则 ． 13．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为 ． 14．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 16．（15分）已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 17．（15分）已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 18．（17分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 19．（17分）有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念. (1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法； (2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2025-2026学年上学期期末模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得，所以．故选：A． 2．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得， 则，整理得，而，解得， 所以.故选：A 3．直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】将直线方程化成斜截式，求得直线斜率，再由直线斜率与倾斜角的关系即可求得. 【详解】由可得，则直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，因，则.故选：B. 4．已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出，利用二次函数求出最小值时的值，代入半径，求出半径，利用圆的面积公式求解. 【详解】由可知圆心为，半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为，圆的面积为.故选：B. 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　） A．16 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的准线方程、焦点的坐标，再根据抛物线的定义，求出点的坐标，进而利用向量垂直的坐标性质即可得解. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为. 设点的坐标为，则，故， ，且,又， 则解得．故选：C. 6．如图，小明从街道的出发，选择一条最短路径到达处，但处正在维修不通，则不同的路线有（    ）种    A．66 B．86 C．106 D．126 【答案】B 【分析】求出从A到C不同的路线总数，减去从A到C的过程中途经B处的路线数，即可得出答案. 【详解】要使A到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一个网格点，且选择向右的次数为5，选择向上的次数为4，总共9次选择，所以从A到C总共有种不同的路线， 同样，从A到B相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以A到B总共有种不同的路线，从B到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以B到C总共有种不同的路线， 故从A到C的过程中途经B处的路线数为4×10＝40种， 但B处正在维修不通，则不同的路线有126－40＝86种．故选：B. 7．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线，所以，故，即， 由双曲线的定义知，，所以或， 当时，,不合题意，舍去.故.故选：A 8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ） A．192 B．420 C．210 D．72 【答案】D 【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案. 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理原理可得，不同染色方法的种数为.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 B．直线恒过定点 C．若直线：与：互相垂直，则 D．若直线：与：平行，则与的距离为 【答案】AD 【分析】根据直线倾斜角范围求出正切值的范围，判断选项A的正误；根据直线过定点的判断方法，求出直线所过定点，判断B的正误；根据两直线垂直，一般式方程中参数的关系，求出参数值，判断C的正误；根据两直线平行时，一般式方程中参数的关系，求出参数值，再根据平行线距离公式，求出结果，判断D的正误； 【详解】对于选项A：直线倾斜角， 当时，斜率不存在；当时，斜率； 当时，斜率； 所以直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是，故A正确； 对于选项B：直线，化简为， 当时，即时，，解得， 所以直线恒过定点，故B错误； 对于选项C：直线与互相垂直时，可得，解得或，所以C错误； 对于选项D：直线与平行，则，解得， 此时为，化简得，则与的距离为，所以D正确；故选：AD. 11．已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，曲线为椭圆，其焦距为8 B．当时，曲线为双曲线，其离心率为 C．存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】当取不同值时，得到曲线的方程，明确曲线类型及的值，求出对应曲线的焦距，即可判断A； 求出对应曲线的离心率，即可判断B；根据题目条件，列出不等式组，根据不等式组解的情况，即可判断C，D. 【详解】对于A，当时，曲线的方程为，是椭圆 . 其中，则，所以焦距，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为，是双曲线 . 其中，则，，所以离心率为，故B正确； 对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线，需满足，即， 不等式组无解，所以不存在这样的实数，故C错误； 对于D，若曲线为焦点在轴上的椭圆，需满足， 其中可化为，此不等式无解， 所以不等式组无解，所以不存在这样的实数，故D错误； 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设直线与圆相交于两点，且，则 ． 【答案】 【分析】求圆心到直线的距离，根据弦长结合垂径定理列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，即，解得.故答案为：. 13．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】首先由可得，设，再由椭圆的定义及余弦定理求得的值，最后结合三角形的面积与内切圆半径之间的关系列方程求解即可. 【详解】因为，即，所以. 由椭圆方程可知所以所以， 如图，不妨取点在第一象限内，设， 则，由余弦定理知， 即，解得. 所以. 设内切圆的半径为，则由等面积法可知， 解得.故答案为：. 14．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为 ． 【答案】27 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】令，则展开式中各项系数之和为，由题意得，解得. 的通项为，令，解得. 代入通项得该项系数为.故答案为：27. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求和，可得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，再解不等式可得的取值范围，可得的最小值. 【详解】（1）设数列首项为，公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以. 又，所以. 所以. （2）因为， 所以，由. 所以的最小值为1013. 16．（15分）已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 【答案】(1) (2)-20 (3) 【分析】（1）基于二项式展开的基本性质，即展开式中所有二项式系数之和为2的n次幂，通过建立指数方程求解未知指数n. （2）运用二项展开式的通项公式，将目标项的次数与通项中的指数对应，确定特定项的位置并计算其系数. （3）通过赋值法构造代数等式，先利用特殊值确定常数项，再选取合适的变量代入值将所求表达式与原展开式联系起来，从而整体求出系数和的值. 【详解】（1）因为展开式中各项的二项式系数之和为64， 所以，解得. （2）的展开式的通项， 令，得， 所以展开式中的系数为． （3）令，得， 令，得， 则 17．（15分）已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点． (1)求圆的标准方程． (2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长． (3)直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)弦长没有最大值；当垂直于时轴，弦长最小，此时的方程为， (3) 【分析】（1）由题意可得，圆心在x轴上，再由当时，，可得圆心，即可求解. （2）设直线的斜率为，直线恒过定点，且在圆内，由题意可得，斜率存在，再由弦为圆的直径时，弦最长，直线轴时，弦最短求解即可. （3）通过讨论斜率是否存在，通过，所以，所以，由点到直线距离以及圆的性质求解即可. 【详解】（1）因为圆的半径，且被x轴截得的弦长为4，所以圆心在x轴上 又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心 所以圆的标准方程为. （2）由直线的方程知，若直线的斜率为，则； 直线恒过定点，且此定点在圆内， 当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为x轴，斜率， 又因为，所以弦不存在最大值， 当直线轴时，即时，弦最短，此时直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以最短弦长. （3）由（2）知，直线恒过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为， 由（2）知，，弦是圆的直径，所以， 所以四边形的面积， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 则直线的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以，同理得， 所以四边形的面积为， 令，则，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由，解得，即，因为，所以四边形面积的最大值为. 18．（17分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）最小值为：3，直线，直线 【分析】（1）设双曲线的方程：，将点代入即可求解； （2）（i）设切线，由圆心到切线的距离得，再联立方程，由韦达定理得两根的关系，再由进行求证；（ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，设切线与圆的切点为，则，故，再由弦长公式求出进行求解． 【详解】（1）设双曲线的方程：， 将点代入可得，，解得， 故双曲线的方程为． （2）（i）由题意知，直线，为圆的两条切线， 显然圆的切线，即的斜率存在， 设切线，由于切线不平行于的渐近线，则， 又圆心到切线的距离：，则， 联立方程：，消去得， 由于，设，则， 而， 则， 即，故． （ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，则， 设切线与圆的切点为，则， 故， 而 ， 又，则，当时，，， 此时直线平行于轴，则的纵坐标的绝对值为圆的半径， 所以，故直线，直线． 19．（17分）有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念. (1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法； (2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率． 【答案】(1)1152种 (2) 【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得. （2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率. 【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法， 甲、乙二人的座位也随之确定； 第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法； 第三步，排，，二人的座位，有种坐法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. （2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种， 有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻， 分为：当都被选中，有种， 当只有一个被选中，有种， 当都没被选中，有种， 则概率为：． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年上学期期末模拟卷 高二 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.在等差数列{a}中，Sn为其前n项和.若a2=3,a,=38,则S。=() A.205 B.410 C.230 D.460 2.已知{a}是公差不为零的等差数列，4=1，若a4,4,a成等比数列，则4，=() A.11 B.12 C.13 D.14 3.直线V3x+y+2=0的倾斜角为() A.150° B.120° C.60° D.30° 4.已知圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0,当圆心到原点的距离最小时，圆C的面积为() A.4π B.3π C.2π D. 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且MF=10,若A(a,0)满足AM⊥MF, 则a=() A.16 B.31 2 D.9 6.如图，小明从街道的A出发，选择一条最短路径到达C处，但B处正在维修不通，则不 同的路线有()种 B A.66 B.86 C.106 D.126 7.已知双曲线C:xy =1的两个焦点为耳，F,双曲线C上有一点P,若P=6,则PF= 421 () S A.10 B.2 C.2或10 D.14 8.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个 D 端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为() A A.192 B.420 C.210 D.72 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知S,是等差数列{a}的前n项和，且a4<0,a+a。>0,则下列选项正确的是() A.数列{a}为递减数列 B.a<0 C.Sn的最大值为S, D.使得Sn>0时n的最大值是13 10.以下四个命题表述正确的是() A.若直线倾斜角a∈ π2π 4’3 则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 （-m,-V3U,+o) B.直线(3+m)x+4y-3+3=0(m∈恒过定点(-3，-3) C.若直线l:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a=-3 D.若直线4：x-2+3=0与，：2x+四-2=0平行，则1与人，的距离为4W5 1.已知曲线C的方程为，。y =1(k∈R),则下列结论不正确的是() k2-13-k A.当k=4时，曲线C为椭圆，其焦距为8 B.当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为3 3 C.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线 D.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设直线y=x-V2与圆0：x2+y2=a2相交于4B两点，且AB=25,则a=一· 13.已知P是稀园号。-1上的点，不具分别是椭圆的左、右焦点，若网丽2 PEPE 1 259 则△耳PF内切圆的半径为 14. 若3x+ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含x的项的系数为一， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知{a}为公差不为零的等差数列，其中a1,4,4成等比数列，a+a,=12 (1)求数列{a}通项公式： ②记6=，设的前m项和为8，求最小的正整数，使得3>201 aa 2025 16.(15分)已知1-V”=a+a+a,()++a.（)∈N),且1-E)的展开 式中各项的二项式系数之和为64. (1)求n: (2)求1-√”的展开式中x√的系数； 1 1 1 .1 3)求24+2+ 0+. 20. 17.(15分)已知圆C的半径为2，圆心C在直线x+y-4=0上，且圆C被x轴截得的弦长 为4，直线：x+y-3=0与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的标准方程. (2)弦长|AB|是否有最大值？何时弦长AB|最小？当弦长|AB|最小时，求直线l的方程及弦 长AB| (3)直线2过点D3,0),且1⊥12，直线2与圆C交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最 大值. 18.(17分)已知双曲线C与双曲线”-1有相同的浙近线，且双曲线C过点(2,3). 26 (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C右支上的一点P作直线l,1,其中1,1，均与曲线C:2x2+2y2-3=0有且只 有一个交点，且双曲线C的左支与直线交于点A,右支与直线交于点B. (i)求证：∠AOP=90°；(O为坐标原点) (ii)求S4的最小值，并求出此时PA,PB的方程 19.（17分)有5对夫妇和A,B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的 圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念 (1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A,B不相邻， 共有多少种坐法： (2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻 的概率。