5.3 复数的三角表示 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§3 复数的三角表示

一、单选题

1．下列复数与复数相等的是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ）

A．3             B．12                C． D．

二、多选题

3．已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为3

C．若，则

D．若，则

三、填空题

4．已知复数，则复数的辐角               .

5．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为      ．

四、解答题

6．已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数.

(1)求；

(2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点）

7．欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．

(1)根据欧拉公式计算；

(2)设函数，求函数在上的值域．

8．（探究题）被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．

(1)已知，求；

(2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；

(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：

，所以．

类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3 复数的三角表示（答案版）

一、单选题

1．【答案】B

【解析】由题设，

，

故A，C，D错误，B正确．

故选：B

2．【答案】C

【解析】由题意，得，

由复数相等的定义，得

解得，．

故选：C

 

二、多选题

3．【答案】AB

【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，

根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；

对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，

设，

则，

因为，可得，故B正确；

对于C，

，取，显然，但，故C错误；

对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小，故D错误.

故选：AB.