2025-2026学年沪科版数学九年级上册期末章节分类强化训练

期末章节分类训强化练2025-2026年度 沪科版九年级上册 板块一：二次函数 1.二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（       ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 2．已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）图象经过点A(﹣1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，则有（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（     ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 6.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 7．如图抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，则的面积为______． 8.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 板块二：反比例函数 1.若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 2.已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ） A． B． C． D． 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B．C．D． 4.正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 5.如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（      ） A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 6．已知函数 是反比例函数，则k=　 　 7.已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ． 8.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 9.为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，求气体压强的值； (3)若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 10.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 板块三：相似形 1.如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4.如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为(　　) A．21 B．28 C．34 D．42 5．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 7．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 8．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 9．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 10.如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 板块四：解直角三角形 1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 2.已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ） A.30° B．45° C．60° D．75° 3．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体AB的高度为(　A　) A．10米 B．10米 C．20米 D.米 5.如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若则cos∠ADC＝______． 6.在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是____cm2. 7.计算：． 8.如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】 期末章节分类训强化练2025-2026年度 沪科版九年级上册 板块一：二次函数 1.二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（       ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 2．已知函数y＝3x2﹣6x+k（k为常数）图象经过点A(﹣1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，则有（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（     ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【答案】A 4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 5.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 6.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 7．如图抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，则的面积为______． 【答案】3 8.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3. 把A(0 , 2.25)代入解得a=−0.75； 所以y=−0.75 (x−1) 2+3 当y=0时，−0.75 (x−1) 2+3=0 解得x1=−1（舍），x2=3 所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m. 9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3得：kx＝x2﹣2x﹣3， 整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0， ∴xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， ∵原点O为线段AB的中点， ∴xA+xB＝2+k＝0， 解得k＝﹣2， 将k＝﹣2代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0， 解得：xA＝﹣，xB＝， ∴yA＝﹣2xA＝2，yB＝﹣2xB＝﹣2， 故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A、B坐标分别为（﹣，2），（，﹣2）； （3）假设存在， 由（2）可知xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， 根据题意S△ABC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×， 解得（k+2）2＝16， ∴k+2＝±4， ∴k＝2或k＝﹣6， 故存在k＝2或k＝﹣6，使得△ABC的面积为． 板块二：反比例函数 1.若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 2.已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4.正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 5.如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（      ） A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 【答案】B 6．已知函数 是反比例函数，则k=　 　 【答案】2 7.已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ． 【答案】 8.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 9.为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，求气体压强的值； (3)若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 【答案】（1） 解：设， 由图可得，反比例函数图象过， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2） 当时， ， ∴气体压强为； （3） 当时， ， 解得， ∴体积V应不少于． 10.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：把代入，得：， 反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ， 把、代入，得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由可知C的坐标为， 点D与点C关于x轴对称， ， ， ； （3）解：根据图象得： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为：或． 板块三：相似形 1.如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 4.如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为(　　) A．21 B．28 C．34 D．42 【答案】C 5．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 6.如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 【答案】 7．如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 8．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 【答案】 9．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ， ， 即 ， 又， ． （2）解：由(1)可知，， ， 又∵的角平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． 10.如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 板块四：解直角三角形 1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ） A.30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 3．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体AB的高度为(　A　) A．10米 B．10米 C．20米 D.米 【答案】A 5.如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若则cos∠ADC＝______． 【答案】 6.在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6 cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是____cm2. 【答案】60 7.计算：． 【答案】 【详解】原式 ． 8.如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】国旗匀速上升的速度约为米/秒． 【详解】解：由题意得：米， 是等腰直角三角形， 米， 在中，（米）， 米， 国旗匀速上升的速度约为（米/秒）， 答：国旗匀速上升的速度约为米/秒． 学科网（北京）股份有限公司 $