精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年上学期漳州三中阶段性教学诊断（三） 九年级数学试题 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置填涂。 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某河堤迎水坡的坡度为，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（ ） A. 4 B. C. D. 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填入答题卡的相应位置。 11. 锐角A满足，则________． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 13. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为，则的周长为______． 14. 已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是______． 15. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有5个白球，其余是黄球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分揽匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋子通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则黄球的个数约是______． 16. 已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴右侧的抛物线上，则的取值范围是_____． 三.解答题（共9小题，共86分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡相应位置解答。 17. 计算： （1）解方程：； （2）． 18. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC，求证：四边形AEBO是菱形． 19. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）不用计算，请直接写出不等式的解集． 20. 现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点在直线上的概率． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． （1）求点A到墙面BC的距离． （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 22. 关于x的方程． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根均为负数，求k的取值范围． 23. 2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行，如图，某场比赛把足球看作点.足球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m，对手球门与甲球员的水平距离为18m，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m．假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门． （1）当时，足球是否能越过人墙？并说明理由； （2）若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h的取值范围． 24. 如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴交于点，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过点，． ①平移抛物线，使其始终与直线有且只有一个公共点，平移后的顶点为，求证：所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 25. 如图1，在矩形中，点是对角线上的动点，连接，过点作，分别交于点，交于点． （1）当时，求证：； （2）如图2，是的中点，连接交于点，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期漳州三中阶段性教学诊断（三） 九年级数学试题 一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置填涂。 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用设k法求解更简便． 根据已知条件得出，设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ； 故答案为：D． 2. 在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，根据余弦的定义求解即可，正确理解在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴， 故选：． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法，根据配方法进行计算即可得；掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式的性质，根据二次函数的顶点式写出顶点坐标是解题的关键． 首先明确抛物线已经是顶点式，再结合抛物线的顶点坐标为，直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：B． 6. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 7. 如图，某河堤迎水坡的坡度为，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，由河堤迎水坡的坡度为，可得到，所以求得，得出答案． 【详解】解：∵河堤迎水坡的坡度为， 即， ∴， ∴， ∴坡面的长是， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质和解直角三角形，如图，利用基本作图得到，，由于，则，所以，根据余弦的定义，在中求出，在中求出，然后计算即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为点，如图， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：B． 9. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）． A. 50 B. 25 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义于相似三角形的性质； 根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再根据相似三角形的性质得，进而可求出，由矩形的性质即可解答． 【详解】解：过点D作，垂直为E，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接，证明，得到，当共线时，有最大值，再连接与相交于点，求得的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴，当共线时，有最大值， 连接与相交于点，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填入答题卡的相应位置。 11. 锐角A满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦函数值是解题的关键． 首先根据正弦函数的定义和特殊角的三角函数值，明确，且A为锐角，即可得到对应角为． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦函数值， ∴， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 13. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比，是解答本题的关键． 根据题意，得到与的位似比为，确定与的周长比为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：与位似，其位似中心为点，且， 与的位似比为， 与的周长比为， 的周长为， 的周长为． 故答案为：． 14. 已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及字母的值求代数式的值，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出：，，进而可求出的值． 【详解】解：把点与点代入反比例函数 得：，， ∴， 故答案为：0． 15. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有5个白球，其余是黄球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分揽匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋子通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则黄球的个数约是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用频率估计概率；根据用频率估计概率可知：摸到白球的概率为，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出黄球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴小球的总数约为（个）， ∴黄球的个数约是（个）． 故答案为： 16. 已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴右侧的抛物线上，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先得出抛物线的对称轴为直线，进而根据题意得出，分析当时的两个点的横坐标，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵当时，自变量的取值范围是或， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即 ∴抛物线解析式为， 当时， 解得： ∵当时，自变量的取值范围是或， ∴当时， 解得： ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴点在对称轴左侧的抛物线上， ∵当时，或， ∴，即 即是方程的两个根， ∴， 即 ∴ ∴ 解得： 又∵ ∴， 故答案为：． 三.解答题（共9小题，共86分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡相应位置解答。 17. 计算： （1）解方程：； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的运算，掌握合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据十字相乘法进行求解一元二次方程即可； （2）首先根据三角函数、去绝对值、负数次幂、0次幂对各项进行计算，再根据顺序进行实数的加减运算得到最终结果即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC，求证：四边形AEBO是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形AEBO是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形、矩形和菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 19. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）不用计算，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出点坐标，然后用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）将沿分割，以为底，分别求与的面积即可； （3）找出直线在双曲线上方的部分即可． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， ∴双曲线解析式为， 把代入得， ∴， 将和分别代入中， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：将代入中，得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由图象可得： 当或时，直线在双曲线上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的结合，相关知识点有：求函数表达式、求三角形的面积、根据图象写出不等式的取值范围等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键． 20. 现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点在直线上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵数字，0，2， ∴非正数有，0， ∴随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率； 【小问2详解】 解：画树状图， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，点在直线上的结果数有，两种， ∴点在直线上的概率是． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． （1）求点A到墙面BC的距离． （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 【答案】（1）点到墙面的距离约为 （2）遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）过点作，垂足为，依次求出的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作，垂足为． 在中，． ， ∴点到墙面的距离约为． 【小问2详解】 解：如图②，过点作，垂足为， 由题意，得． ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 22. 关于x的方程． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根均为负数，求k的取值范围． 【答案】（1） 解法一： 证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 解法二： 证明：， ∴， ． ， 方程有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式组： （1）方法一：利用判别式法求解即可；方法二：利用因式分解法求出方程的两根为，由此即可证明结论； （2）根据（1）可得方程的两根为，再根据两根为负数得到，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得方程的两个根分别为 方程的两根均为负数， ， 解得． 23. 2022年世界杯足球赛于11月21日至12月18在卡塔尔举行，如图，某场比赛把足球看作点.足球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方8m处组成人墙，人墙可达的高度为2.2m，对手球门与甲球员的水平距离为18m，球门从横梁的下沿至地面距离为2.44m．假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门． （1）当时，足球是否能越过人墙？并说明理由； （2）若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求h的取值范围． 【答案】（1） 当时，足球能越过人墙，理由如下： ∵当时，函数的抛物线经过点， ∴，解得： ∴y与x的关系式 当时，， ∴足球能过人墙， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，的函数图像过原点，可求出a的值，即可；当时，由（1）中解析式，分别把和代入函数解析式求出y的值，再与2.2和2.44比较即可； （2）由抛物线过原点可①，由足球能越过人墙可得②，由足球能直接射进球门可得③，然后解①②③不等式组即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由题设知函数图像过点可得，即①， 由足球能越过人墙，得②， 由足球能直接射进球门，得③， 由①得④ 把④代入②得，解得， 把④代入③得，解得， ∴h的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握待定系数法确定函数解析式是解答本题的关键． 24. 如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴交于点，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线经过点，． ①平移抛物线，使其始终与直线有且只有一个公共点，平移后的顶点为，求证：所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）①证明：，且抛物线的对称轴为直线， ． 设直线的解析式为． 直线经过，． 解得 直线的解析式为． 平移后的顶点为， 平移后的抛物线的解析式为． 由题意，得． 整理，得． 平移后的抛物线始终与直线有且只有一个公共点， ． ． 直线的解析式为， 所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②当时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①联立得，利用根的判别式得到，自变量的系数与直线：的系数相同，据此即可得解； ②证明，推出，设，则，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，，点在轴的负半轴，直线是抛物线的对称轴， ，点的横坐标为1． ， ． ，， 由题意，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①略 ②直线：过点， ． ． ：． ，即． ． ， 设，则． ． ． ， 当时，的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线与直线的平移规律，相似三角形的性质和判定等知识，综合性较强．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 25. 如图1，在矩形中，点是对角线上的动点，连接，过点作，分别交于点，交于点． （1）当时，求证：； （2）如图2，是的中点，连接交于点，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】（1） 证明：， ． 　 四边形是矩形， ． ． ， ． ． ， ； （2）①，理由如下： 过点作，交于，如图． ∴， ∴， 是的中点， 是的中点． ， ． ， ． ； ② 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可证明； （2）①过点作，交于，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②延长交于点，，得到，再证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②延长交于点，如图． 四边形是矩形， ． ． ， ． ． ． ． ， ， ． ， ， ． ， 是的中点， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $