天津市南开日新学校2025-2026学年高二上学期学习质量检测（三）数学学科试卷

2025-2026学年南开日新学校高二上学期学习质量检测（三）

数学学科

一、单选题：本大题共10小题，共30分.

1. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

2. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）．

A. 55 B. 70 C. 85 D. 100

4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为

A.  B.  C.  D.

5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，

则=（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 设为数列的前项积，已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ）

A. 2 B.  C. 4 D.

9. 设,是双曲线（)的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共6小题，共24分.

11. 若双曲线的离心率为3，则___________

12. 已知等差数列､的前项和分别为､，若，则__________.

13. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________.

14. 已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为________.

15. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则__________.

16. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是______.

三、解答题：本大题共4小题，共46分.

17. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程；

（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求．

18. 记为数列的前项和.

（1）已知为等差数列，证明：数列是等差数列；

（2）已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值.

19. 已知椭圆的短轴长为，是上一点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若