04 容积（导学案）五年级数学寒假自学课（北京版）

04 容积 知识点精讲 知识点一 容积 内容 容积 1、容器所能容纳物体的体积叫作它们的容积。 2、容积的单位有升和毫升；计量容器装固体时可以用体积单位。3、1升＝1立方分米 1毫升＝1立方厘米 1升=1000毫升 4、已知长方体体积计算公式中的任意三个量，都可以求出第四个量，即a=V÷b÷h；b=V÷a÷h；h=V÷a÷b。 5、已知长方体和正方体体积统一公式V=Sh中的任意两个量，都可以求出第三个量，即S=V÷h；h=V÷S。 【典型例题1】在（    ）里填上合适的单位名称。 （1）一瓶止咳糖浆约200（ ）。 （2）一部手机的体积大约为0.2（ ）。 （3）一台冰箱的容积约是480（ ）。 （4）皮皮卧室的空间约是36（ ）。 【典型例题2】在括号里填上合适的数。 3升＝（ ）毫升        7000毫升＝（ ）升        3升120毫升＝（ ）毫升 【典型例题3】2600立方分米＝（ ）立方米       0.18升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米 【典型例题4】王叔叔用一张长20分米、宽18分米的长方形铁皮制作一个长方体收纳盒，他先在铁皮的四周各剪去一个边长为4分米的正方形，然后把四周折起，焊接成一个无盖的长方体，这个收纳盒的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【典型例题5】杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 【变式训练1】在括号填上适当的单位名称。 一台冰箱的容积为140（ ）。        微波炉的体积为40（ ）。 一瓶农夫山泉矿泉水是500（ ）。     一个脸盆大约能装水5（ ）。 【变式训练2】4000毫升＝（ ）升            5400毫升＝（ ）升（ ）毫升 18升＝（ ）毫升              4升60毫升＝（ ）毫升 【变式训练3】（ ）     （ ）（ ） 【变式训练4】学校运动会上，体育李老师准备了一个装满橙汁的长方体容器。从里面量，长50厘米、宽28厘米、高40厘米。现在要用一个容积为0.3升的纸杯分装橙汁，若每个纸杯都装满，这个水箱里的橙汁最多可以装满多少杯？ 【变式训练5】芳芳家有一个无盖的长方体玻璃水箱。（单位：厘米） （1）制作一个这样的水箱需要多少平方厘米玻璃？ （2）水箱里原来水深14厘米，放入一个体积为900立方厘米的假山后，现在水深多少厘米？ 1．小东做测量“石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了1厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．96 C．150 D．216 2．一个长方体水箱，长5分米，宽4分米，高3分米，装满水后倒入一个棱长是5分米的正方体水箱中，水深是（    ）分米。 A．2.4 B．24 C．60 D．12 3．一个长方体的油箱，从里面量得长70厘米、宽30厘米、高20厘米，这个油箱可以装（    ）升油。 A．42 B．420 C．42000 D．4.2 4．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 5．下图为不同包装形式的同种纯牛奶的售卖方式，买哪种包装的最划算？（    ）。 第一种 牛奶 规格：12瓶 价格：35.8元 每瓶：200毫升 第二种 牛奶 规格：10盒 价格：105.6元 每盒：1000毫升 第三种 牛奶 规格：12盒 价格：72.6元 每盒：500毫升 A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．一样划算 6．2300立方厘米＝（ ）立方分米      40.2升＝（ ）毫升＝（ ）立方米 7．在括号里填上合适的容积或体积单位。 一个保温杯的容积约为500（ ）。一块橡皮的体积约为8（ ）。 一台冰箱的体积约是0.3（ ）。一桶花生油大约5（ ）。 8．下图中每个小球的体积都相等，根据图中的信息可得出大球的体积是（ ）cm3，每个小球的体积是（ ）cm3。 9．如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是（ ）。 10．将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 （1）如果A面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装（ ）毫升牛奶。 11．一个长方体的无盖玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高6分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？这个鱼缸最多能装多少升水？ 12．海海、乐乐和园园尝试测量一个不规则形状的红薯的体积，进行了如下试验。 ①海海准备了一个从里面量长12厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃缸并装满水。 ②乐乐把红薯用细线系好后，完全浸没水中，有部分水溢出。 ③园园把红薯取出，这时水面高是13厘米。 根据以上信息，计算这个红薯的体积。 13．如下图，若将土豆放入甲容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位上升2.5cm；若将土豆放入乙容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位会上升多少厘米？ 14．古代“度量衡”中的“量”用来测定容积的大小。下图中的战国文物“商鞅方升”就是用于“量”。它的容积就是古代规定的“一升”。 （1）古代规定的“一升”大约相当于现在的多少升？ （2）如图，为了便于参观，给“商鞅方升”设计展柜上的玻璃罩（无底）。根据下图不同型号的玻璃选择合适的数量，并计算这个玻璃罩至少需要多少平方厘米的玻璃？（玻璃罩厚度忽略不计）             列式解答： 画出玻璃罩的示意图，并标出数据。 知识点一： 【典型例题1】（1）毫升/mL （2）立方分米/dm3 （3）升/L （4）立方米/m3 【分析】（1）20滴水大约是1毫升，所以计量一瓶止咳糖浆的量用“毫升”作单位比较合适； （2）一个粉笔盒的体积约为1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一部手机的体积用“立方分米”作单位比较合适； （3）两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量一台冰箱的容积用“升”作单位比较合适； （4）教室讲台的体积大约是1立方米，所以计量卧室的空间用“立方米”作单位比较合适。 【详解】（1）一瓶止咳糖浆约200毫升。 （2）一部手机的体积大约为0.2立方分米。 （3）一台冰箱的容积约是480升。 （4）皮皮卧室的空间约是36立方米。 【典型例题2】3000 7 3120 【分析】根据1升＝1000毫升进行单位换算。把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率。据此作答。 【详解】3升＝3000毫升； 7000毫升＝7升； 3升＝3000毫升，3000＋120＝3120（毫升），所以3升120毫升＝3120毫升。 【典型例题3】2.6 180 180 【分析】1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米，高级单位换算低级单位用乘法，低级单位换算高级单位用除法，用题目中的数据乘或除以进率即可。 【详解】（1）2600÷1000＝2.6（立方米） （2）0.18×1000＝180（毫升） 180毫升＝180立方厘米 所以，2600立方分米＝2.6立方米，0.18升＝180毫升＝180立方厘米。 【典型例题4】480升 【分析】已知长方形铁皮长20分米、宽18分米，在四周各剪去一个边长为4分米的正方形，折成无盖长方体后，长方体收纳盒的高＝剪去的正方形的边长； 长方体收纳盒的长＝长方形铁皮的长－两个正方形的边长； 长方体收纳盒的宽＝长方形铁皮的宽－两个正方形的边长； 再根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据计算出这个收纳盒的容积，注意结果根据1升＝1立方分米进行换算。 【详解】收纳盒的长为：20－4×2＝20－8＝12（分米） 收纳盒的宽为：18－4×2＝18－8＝10（分米） 收纳盒的高为4分米。 收纳盒的容积为：12×10×4＝120×4＝480（立方分米） 480立方分米＝480升 答：这个收纳盒的容积是480升。 【典型例题5】6.45分钟 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高15厘米时水的体积，再减去假山石的体积就是应注入水的体积； 应注入水的体积除以每分钟水的流量即可确定将假山石完全淹没所用的时间。 【详解】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 【变式训练1】升/L 立方分米/dm3 毫升/mL 升/L 【分析】容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，1升是1立方分米，两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量冰箱的容积、一个脸盆能装水的量用“升”作单位比较合适； 一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量微波炉的体积用“立方分米”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶农夫山泉矿泉水的体积用“毫升”作单位比较合适。 【详解】一台冰箱的容积为140升。 微波炉的体积为40立方分米。 一瓶农夫山泉矿泉水是500毫升。 一个脸盆大约能装水5升。 【变式训练2】4 5 400 18000 4060 【分析】根据题意，明确单位间的进率，1升＝1000毫升，高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。据此答题即可。 【详解】因为4000毫升里面含有4个1000毫升，所以4000毫升＝4升； 因为5400毫升可以看作是5000毫升与400毫升的和，5000毫升＝5升，所以5400毫升＝5升400毫升； 因为1升＝1000毫升，18个1000毫升是18000毫升，所以18升＝18000毫升； 因为4升＝4×1000＝4000毫升，4000毫升＋60毫升＝4060毫升，所以4升60毫升＝4060毫升。 【变式训练3】4.05 2500 2.5 【分析】根据1m3＝1000dm3，1cm3＝1mL，1L＝1000mL，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】4050÷1000＝4.05（m3），4.05 ＝2500mL，2500÷1000＝2.5（L），＝2500mL＝2.5 【变式训练4】186杯 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出长方体容器的容积是多少立方厘米，再化成升，再除以0.3，结果用去尾法保留整数。 【详解】50×28×40 ＝1400×40 ＝56000（立方厘米） 56000立方厘米＝56升 56÷0.3≈186（杯） 答：这个容器里的橙汁最多可以装满186杯。 【变式训练5】（1）1560平方厘米 （2）17厘米 【分析】（1）长方体水箱的长为20厘米，宽为15厘米，高为18厘米； 根据题意及看图可知水箱由1个长×宽、2个长×高和2个宽×高的面组成； 因此，水箱需要的玻璃面积，代入数据即可求出需要的水箱玻璃面积； （2）当假山完全浸没在水中且水没有溢出时，上升部分水的体积等于假山的体积，上升部分水的体积为长方体，其底面积等于水箱的底面积； 水箱的底面积＝长×宽，且水面上升的高度等于假山的体积900立方厘米除以水箱的底面积，现在的水深等于原来水深14厘米加上水面上升的高度。 【详解】（1） ＝300＋630×2 ＝300＋1260 ＝1560（平方厘米） 答：制作一个这样的水箱需要1560平方厘米玻璃。 （2）20×15＝300（平方厘米） 900÷300＝3（厘米） 3＋14＝17（厘米） 答：现在水深17厘米。 1．B 【分析】先利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，铁块的体积等于取出正方体铁块后下降部分水的体积，长方体水槽的底面积＝取出正方体铁块后下降部分水的体积÷下降部分水的高度，这个石块的体积等于放入石块后上升部分水的体积，石块的体积＝长方体水槽的底面积×放入石块后上升部分水的高度，据此解答。 【详解】长方体水槽的底面积：4×4×4÷1 ＝16×4÷1 ＝64÷1 ＝64（平方厘米） 石块的体积：64×1.5＝96（立方厘米） 所以，这个石块的体积是96立方厘米。 故答案为：B 2．A 【分析】一个长方体水箱装满水，再把水倒入正方体水箱，两个水箱水的体积是一样的，所以先求出长方体水箱的水的体积，再用水的体积除以正方体的底面积，即可算出在正方体水箱中水的深度。 【详解】5×4×3＝60（立方分米） 5×5＝25（平方分米） 60÷25＝2.4（分米） 即在正方体水箱中，水深2.4分米， 故答案为：A 3．A 【分析】根据长方体容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算，然后再根据1升＝1000立方厘米转化单位即可。 【详解】70×30×20 ＝2100×20 ＝42000（立方厘米） ＝42（升） 则这个油箱可以装42升油。 故答案为：A 4．A 【分析】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【详解】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 【点睛】本题考查长方体容积公式的应用，熟练掌握长方形的容积公式以及容积单位、体积单位之间的换算是解题的关键。 5．B 【分析】从表中可知三种不同包装形式的同种纯牛奶的规格、价格以及每瓶或每盒牛奶的毫升数，先根据“1升＝1000毫升”把各种规格纯牛奶每瓶或每盒的容量换算成以升为单位的数；然后根据“单价＝总价÷数量”，分别计算出三种包装每升牛奶的价格，再比较，每升牛奶的价格越低越划算。 【详解】200毫升＝0.2升 1000毫升＝1升 500毫升＝0.5升 第一种： 35.8÷（0.2×12） ＝35.8÷2.4 ≈14.92（元） 第二种： 105.6÷（1×10） ＝105.6÷10 ＝10.56（元） 第三种： 72.6÷（0.5×12） ＝72.6÷6 ＝12.1（元） 10.56＜12.1＜14.92 买第二种包装的最划算。 故答案为：B 6．2.3 40200 0.0402 【分析】（1）在体积单位中，1立方分米＝1000立方厘米，小单位换算成大单位要除以进率，即可求解； （2）在容积单位中，1升＝1000毫升，大单位换算成小单位要乘进率；同时1立方米＝1000升，小单位换算成大单位要除以进率，据此求解。 【详解】（1）（立方分米） （2）（毫升） （立方米） 因此2300立方厘米＝2.3立方分米，40.2升＝40200毫升＝0.0402立方米。 7．毫升/mL 立方厘米/cm3 立方米/m3 升/L 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；常见的容积单位有升、毫升，1升＝1立方分米，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。 【详解】一个保温杯的容积约为500毫升。 一块橡皮的体积约为8立方厘米。 一台冰箱的体积约是0.3立方米。 一桶花生油大约5升。 8．6 2 【分析】根据1mL＝1cm3，由图可知1个大球和2个小球的体积为10cm3，1个大球和5个小球的体积为16cm3，用二者作差即可求出3个小球的体积，进而可以求出大球的体积。 【详解】10mL＝10cm3；16mL＝16cm3； （cm3） （cm3） 即大球的体积是6cm3，每个小球的体积是2cm3。 9．30 【分析】根据1＝1L，1＝1000把30L换算成用作单位；水在长方体容器中也是呈长方体的形状，用42减去1×2（因为左、右都要减去玻璃的厚度）算出容器内部的长，用27减去1×2（因为前、后都要减去玻璃的厚度）算出容器内部的宽。求水的深度就是求这个长方体的高，长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），代入数据计算即可。 【详解】30L＝30＝30000 42－1×2 ＝42－2 ＝40（cm） 27－1×2 ＝27－2 ＝25（cm） 30000÷（40×25） ＝30000÷1000 ＝30（cm） 如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是30。 10．（1）E （2）240 【分析】（1）在长方体的展开图中，相对的面不相邻，A面与E面相对，所以当A面在下面时，E面在上面。 （2）根据图中的数据可知长方体长为10厘米、宽为6厘米、高为4厘米、利用长方体体积公式＝长×宽×高，计算体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将体积换算成毫升为单位即可。 【详解】（1）如果A面在下面，那么E面在上面。 （2）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装240毫升牛奶。 11．196平方分米；升 【分析】制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃是在求长方体中不含上面后剩下五个面的面积和，求这个鱼缸最多能装多少升水是在求这个长方体的体积。所需玻璃的面积＝长宽＋（长高＋宽高）2，长方体的体积＝长宽高。 【详解】 ＝40＋（48＋30）2 ＝40＋782 ＝40＋156 ＝196（平方分米） ＝406 ＝240（立方分米） 升 答：制作这个鱼缸至少需要196平方分米的玻璃，这个鱼缸最多能装240升水。 12．240立方厘米 【分析】已知长方体玻璃缸长12厘米、宽10厘米、高15厘米，装满水放入红薯，完全浸没后再将红薯取出，此时玻璃缸内空余部分的体积等于红薯的体积；空余部分的长12厘米、宽10厘米，此时水面高13厘米，故空余部分的高为厘米，根据长方体的体积公式，可求出空余部分的体积，即红薯的体积，据此解答。 【详解】12×10×（15－13） ＝12×10×2 ＝240（立方厘米） 答：这个红薯的体积是240立方厘米。 13． 7.5cm 【分析】由图可知，甲容器底面积为72cm2，若将土豆放入甲容器中，水位上升2.5cm，用容器底面积×水上升高度，可求出水上升的体积，即土豆的体积；由图可知，乙容器长6cm、宽4cm，若将土豆放入乙容器中，水上升的体积＝土豆的体积，用水上升的体积÷容器的底面积，即可求出水上升的高度，据此解答。 【详解】土豆的体积＝水上升的体积：（cm3） 乙容器底面积：（cm2） 水上升的高度：（cm） 答：水位会上升7.5cm。 14．（1）0.2升； （2）5；0；图见解析； 12500平方厘米 【分析】（1）根据长方体容积＝长×宽×高，求出“商鞅方升”的容积，再根据1升＝1000毫升＝1000立方厘米将单位进行换算； （2）由题可知，“商鞅方升”的展柜只需要5个面，因为要求至少需要多少平方厘米的玻璃，所以尽可能选用较小面积的玻璃，比较可知，5块50厘米×50厘米的玻璃正好可以拼成一个无底的正方体，据此计算出需要使用玻璃的面积。 【详解】（1）12.4×7×2.3 ＝86.8×2.3 ＝199.64（立方厘米） ≈200（立方厘米） 200立方厘米＝200毫升＝0.2升 答：古代规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 （2）50×50＜50×60 玻璃罩的示意图： 列式解答： 50×50×5 ＝2500×5 ＝12500（立方厘米） 答：这个玻璃罩至少需要12500平方厘米的玻璃。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $