精品解析：河南省驻马店市正阳县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

集团订制学业水平阶段性巩固与提高（3/4）（GX） 八年级数学（RJ） 测试范围：13.1-17.2 注意事项： 1.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解：A、B、C选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； D选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形． 故选：D 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，三角形的三边关系是：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．在判断时，只要两条较短的边之和大于最长的边即可组成三角形， 【详解】解：A选项：，不能组成三角形； B选项：，不能组成三角形； C选项：，能组成三角形； D选项：，不能组成三角形； 故选：C． 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，完全平方公式，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则，解题的关键是熟知只有同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项才能进行合并，并且熟记完全平方公式以及同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则．根据合并同类项，单项式的除法，积的乘方和幂的乘方运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断． 【详解】解：A.．与不是同类项，不能相加（合并），选项错误； B．是完全平方公式的应用，结果应含有三项，应为，选项错误； C．两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同底数幂相除，底数不变，指数相减），应为，选项错误； D．由幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘）得，正确． 故选：D． 4. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，证明，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 5. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为， 正确的计算结果是， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 6. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（　　） A. 18或21 B. 18 C. 21 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5时，②当腰长为8时，分别计算即可. 【详解】解：根据题意， ①当腰长为5时，三边为5，5，8，符合三角形三边关系，周长＝5+5+8＝18； ②当腰长为8时，三边为8，8，5，符合三角形三边关系，周长＝8+8+5＝21； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答． 7. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 8. 如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作于，先利用角平分线的性质得到，由三角形中线可知，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， 是线段的中点， ∴ ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：C． 9. 如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 因此有， 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 10. 如图，在中，平分，交于点D，M，N分别是和上的动点，，，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称－最短路径，直角三角形的特征，垂线段最短；作关于的对称点，过点作交于，连接，，此时的值最小，由直角三角形的特征即可求解；能找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点，过点作交于，连接， ， 平分， 在上， 、关于对称， ，且平分， ， 是等边三角形 ， 此时的值最小， 在中， ， ； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的底数不等于零，即可求解． 【详解】∵有意义， ∴3m-2≠0， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零，是解题的关键． 12. 跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 13. 的积中不含x的二次项，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式运算法则，将括号展开，并合并同类项，再根据积中不含x的二次项，得出二次项系数为0，即可解答． 【详解】解： ， ∵积中不含x的二次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则的度数为_________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．点关于轴的对称点为，求出，，从而求得，，即可由求解． 【详解】解：如图，设交轴于． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． ∵点关于轴的对称点为． ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：． 15. 直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为________． 【答案】3或13##13或3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先根据题意画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】是经过等腰直角三角形直角顶点的直线，所在存在如图所示的四种情况： ，， 只有图（1）和图（2）符合题意． 如图（1），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ， ，， ． 如图（2），点是直角三角形的顶点， ， ． 于点，于点， ， ， ． 在和中， ，， ． 综上，的长为13或3． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）因式分解： （4）因式分解：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式运算、多项式乘以单项式运算，以及单项式与单项式的乘除法运算等知识点． （1）先计算幂的乘方、积的乘方，然后进行单项式与单项式的乘除法运算，再合并同类项； （2）先计算多项式乘以多项式、多项式乘以单项式，再进行合并同类项即可； （3）先提取常数4，再由平方差公式进行因式分解； （4）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 17. （1）先分解因式，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），25；（2），14 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法，以及整式的混合运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再代入求值即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，然后代入求值即可． 【详解】解：（1） 当，时，原式； （2） ， 当，时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 【答案】（1） 解：所作如图所示： 由坐标系可知：； （2） （3）解：所作点P如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据割补法可进行求解； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可知：； 故答案为5.5； 【小问3详解】 略 19. 如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E． （1）若，则的周长是多少？为什么？ （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：的周长为10． ∵直线l与m分别是边和的垂直平分线， ∴， ∴的周长； （2） 【解析】 【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长公式求解即可； （2）依据，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得到，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线l与m分别是边和的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20. 如图，有一块长和宽分别为10和6的长方形纸片，将它的四角截去四个边长为的小正方形，然后将它折成一个无盖的长方体纸盒，解答下列问题： （1）求这个无盖长方体纸盒的表面积（用含的代数式表示）． （2）求这个无盖长方体纸盒的容积（用含的代数式表示并化简）．并求出当时，此时纸盒的容积． 【答案】（1） （2），31.5 【解析】 【分析】（1）根据题意易知，无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积； （2）长方形纸盒的长为，宽为，高为，容积长宽高，再将代入即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，无盖长方体纸盒的表面积即长方形纸片的面积减去四个小正方形的面积， ， ∴这个无盖长方体纸盒的表面积为． 【小问2详解】 长方形纸盒的长为，宽为，高为， 容积长宽高， 将代入，得： 答：容积为31.5． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确表示纸盒的长，宽，高． 21. 如图．在中．． （1）用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的长度． （3）连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） （3） 解：为等边三角形，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （）连接，由线段垂直平分线的性质可得，即得，进而可得，再根据直角三角形的性质解答即可求解； （）由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[教材原题] ；[类比探究] ； [应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【解析】 【分析】[教材原题]由题意知，； [类比探究]由题意知，； [应用]解：（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； [拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】[教材原题]解：由题意知，， 故答案为：； [类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； （1）求证：； （2）点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时是直角三角形？ 【答案】（1） 解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）不变， （3）当第秒或第秒时，为直角三角形 【解析】 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． 【小问3详解】 由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集团订制学业水平阶段性巩固与提高（3/4）（GX） 八年级数学（RJ） 测试范围：13.1-17.2 注意事项： 1.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 4. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（　　） A. 18或21 B. 18 C. 21 D. 13 7. 如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 9. 如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，交于点D，M，N分别是和上的动点，，，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则取值范围是____． 12. 跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 13. 的积中不含x的二次项，则m的值是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则的度数为_________． 15. 直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：． （2）计算：． （3）因式分解： （4）因式分解：． 17. （1）先分解因式，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 19. 如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E． （1）若，则的周长是多少？为什么？ （2）若，求的度数． 20. 如图，有一块长和宽分别为10和6的长方形纸片，将它的四角截去四个边长为的小正方形，然后将它折成一个无盖的长方体纸盒，解答下列问题： （1）求这个无盖长方体纸盒的表面积（用含的代数式表示）． （2）求这个无盖长方体纸盒的容积（用含的代数式表示并化简）．并求出当时，此时纸盒的容积． 21. 如图．在中．． （1）用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，分别交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的长度． （3）连接，请判断的形状，并说明理由． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 23. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； （1）求证：； （2）点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时是直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $