湖北省孝感高级中学2025-2026学年高三上学期12月测试数学试卷（12.24）

孝感高中2023级高三年级 数学试题 本卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 3.设是公比不为的等比数列，其前项和为，设甲：，，成等差数列；乙：，，成等差数列，则甲是乙的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知函数，若且，则的最小值为(     ) A. B. C. D. ５.已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为　(    ) A. B. C. D. 6.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则(     ) A. B. C. D. 7.已知函数，在时满足恒成立，且在区间内， 仅存在三个数，，，使得，则(     ) A. B. C. D. 8.已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为 (     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若单位向量与垂直，且与共线，则(    ) A. 与平行 B. 与垂直 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则(    ) A. 存在直线，使为线段的中点 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 11.设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”下列结论正确的是(    ) A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为          ． 13.已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数      ． 14.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“距零点函数”若与为自然对数的底数互为“距零点函数”，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等差数列的公差，且成等比数列． 求数列的通项公式； 设求数列前项和为； 16.本小题分 在中，内角、、的对边分别为、、，且，． 求的值； 若的面积为，求边上的高． 17.本小题分 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，，点在底面的射影点在线段上 过作，为垂足，证明：面； 若，证明：，并求平面与平面的夹角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点当为的上顶点时，． 求的方程； 过点作：的垂线，垂足为． 证明：直线过定点； 若的斜率不为，记的中点为，中的定点为，的斜率为，的斜率为， 证明：是定值． 19.本小题分 已知，函数，其中是自然对数的底数． Ⅰ证明：函数在上有唯一零点； Ⅱ记为函数在上的零点，证明： ； ．   学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高三年级 数学试题 本卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】因为，所以，所以， 即．故选： 2.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】易知 ，所以在上的投影向量为．故选： 3.设是公比不为的等比数列，其前项和为，设甲：，，成等差数列；乙：，，成等差数列，则甲是乙的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】设等比数列的公比为． ，，成等差数列，，故，解得， ，，，，，成等差数列，必要性成立． ，，成等差数列，，即，，即，，故，，成等差数列，充分性成立．综上得，甲是乙的充要条件．故选：． 4.已知函数，若且，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】  作出函数的图象，如图所示，因为， 即，因为，由图可知，， 即，所以有．则，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为，故选：． ５.已知抛物线的焦点为，为上一点，为的中点，则的最大值为　(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据对称性，不妨假设在第一象限，设，由于， 则，即，则，由基本不等式可得： ，当且仅当时取等号；所以， 所以则的最大值为，故选： 6.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为定义在上的偶函数和奇函数，所以，，又，所以，又，两式相加可得：，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以的周期为，所以的周期为，又，所以．故选：． 7.已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】时，，令，则当时， ，故要想在时满足恒成立，需满足， 则，当，，画出在上的图象，如下： 由图象可知，则， 故，两式相加得， 所以．故选：． 8.已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为 (     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，，所以，则，因为，取的中点，所以， ，设正三棱锥外接球的半径为， 则，得，所以， 故，设过点的球的截面圆的半径为， 圆心为，为截面圆上一点，，则，所以，则，所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为．故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若单位向量与垂直，且与共线，则(    ) A. 与平行 B. 与垂直 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD  【解析】对于,由于单位向量与垂直，故且，， 又与共线，设，即， 故，，解得，存在使得，故A选项正确； 对于，， 又，，，故上式等价于，， 故显然不成立，故B选项错误； 对于，同理，，若，，则为负数，无最小值，故C选项错误； 对于，， 又，，，代入等于，由于且，故由不等式，当且仅当或时取等，即的最小值为，故的最小值为，故D选项正确．故选：． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则(    ) A. 存在直线，使为线段的中点 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 【答案】BD  【解析】对于A，由点差法得以C为中点的直线的斜率应为时，此时直线的方程为，联立双曲线，可得，，即直线与双曲线不相交，故A错误； 对于B，设，，，， ，又，，故B正确； 对于C，设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，直线的斜率为即， 且过点，直线的方程为，又，， ，，即，又点到直线的距离，点到直线的距离，即，点与点关于直线对称， ，，故D正确，故选：． 11.设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”下列结论正确的是(    ) A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC  【解析】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则，前项和，时等号成立，故正确； 对于B，若是“数列”，则，且，所以， 故，对，，结合，得，因此不存在使，故正确； 对于C，若，前项和，要使， 即，因为，且当时 ，，所以时趋近于，且所有项均小于，故最小值为，正确； 对于D，取，，满足，则，， 而，所以不成立，因此“”不足以保证是“数列”，错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数项为          ． 【答案】  【解析】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为， 令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得． 展开式的通项为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 故答案为：． 13.已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数      ． 【答案】  【解析】由曲线和存在一条过坐标原点的公切线， 设直线：与曲线相切于点，由的导数为， 得，因为与曲线相切，则，解得， 所以，设与曲线相切于点，由，得， 解得，因为是与曲线的公共点，所以， 消去，得，即，解得．故答案为：． 14.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“距零点函数”若与为自然对数的底数互为“距零点函数”，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】由，解得，所以的零点为，要满足与为自然对数的底数互为“距零点函数”，则函数的零点满足：，即，由，构造函数， 则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 因为且， 所以当时，方程的解落在区间上，满足题意，故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等差数列的公差，且成等比数列． 求数列的通项公式； 设求数列前项和为； 【答案】（1）；． 【解析】由条件可知，且，解得 所以； （2）， 所以． 16.本小题分 在中，内角、、的对边分别为、、，且，． 求的值； 若的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【解析】：，，由正余弦边角关系得，， 又， 由得，，， 由得，，或由余弦定理得,为锐角，，的面积，，设边上的高为，则的面积，，即边上的高为． 17.本小题分 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，，点在底面的射影点在线段上 过作，为垂足，证明：面； 若，证明：，并求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)略；（2）． 【解析】连接，平面，所以．在中，．同理，在中，有． 又因为，所以，所以，， 故，即．又因为，，平面， 所以平面．因为平面，所以平面平面．因为， 平面，则平面，又因为平面，所以平面， 又因为平面平面，，平面平面，所以平面． 连接，因为平面，面，所以，由勾股定理得，同理可得，即，因为，所以，故为的交点， 且由平行线性质得，得到，故，过作直线的平行线，则两两垂直，如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，得到， ，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 设平面的法向量为，则，令，解得，，故，设平面与平面所成角为， 则，故平面与平面所成角的余弦值为． 18.本小题分 已知椭圆：的右焦点为，过的直线与交于，两点当为的上顶点时，． 求的方程； 过点作：的垂线，垂足为． 证明：直线过定点； 若的斜率不为，记的中点为，中的定点为，的斜率为，的斜率为， 证明：是定值． 【答案】（1）；（2） 直线过定点； ，为定值． 【解析】记的半焦距为，显然，而，故， 于是的方程为； 证明：设，，当直线的斜率不为时，设：，如图，联立，化简得， 所以，，易知，故直线可表示为，显然，故当时，，故直线过定点； 当直线的斜率　为时，易知过点，综上所述，直线过定点； 证明：由题意，而，则，又，故为定值 19.本小题分 已知，函数，其中是自然对数的底数． Ⅰ证明：函数在上有唯一零点； Ⅱ记为函数在上的零点，证明： ； ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】证明：Ⅰ因为，， 所以在上存在零点，因为，所以当时，， 故函数在上单调递增，所以函数以在上有唯一零点 Ⅱ令，， 由Ⅰ知函数在上单调递增，故当时，， 所以函数在单调递增，故． 由得， 因为在单调递增，故． 令，， 令，，所以， 故当时，，即，所以在单调递减，因此当时，．由得，因为在单调递增，故．综上，． (ⅱ)令，，所以当时，， 故函数在区间上单调递增，因此．由可得，由得．  学科网（北京）股份有限公司 $