02 等式的性质与解方程（导学案）五年级数学寒假自学课（苏教版）

02 等式的性质与解方程 知识点精讲 知识点一 等式的性质与解方程 内容 等式的性质与解方程 1、等式的性质1。等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 2、解方程。 求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。解方程的过程中，每一步写出的都应是含有未知数的等式。 3、形如x+a=b的方程的解法。 x+a=b 解：x+a-a=b-a x=b-a 4、等式的性质2。 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 5、解方程。 （1）形如ax=b的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时除以a。书写格式如下: ax=b 解:ax÷a=b÷a x=b÷a （2）形如x÷a=b(a不等于0)的方程的解法。 根据等式的性质，在方程的两边同时乘a。书写格式如下: x÷a=b 解:x÷a×a=b×a x=b×a 【典型例题1】观察下图，下列等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】解方程。 x＋4.13＝7.3        x－25＝15.6                  x÷6.8＝15 【典型例题3】解方程          【变式训练1】小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于（    ）支铅笔的价格。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】解方程。 x＋22＝28      x－3.7＝4.9      5x＝150      x÷2.1＝4 【变式训练3】解方程。                            1．李磊和王明共有邮票66枚，王明有邮票枚。如果李磊给王明9枚，两人的邮票枚数就同样多。下面的等式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下列各方程中，（    ）的解与2.5x－1＝6的解不同。 A．2.5x＝7 B．2.5x－2＝5 C．2.5x＋2＝9 D．5x－1＝12 3．如果x＋2＝6，那么6x＋10的结果是（    ）。 A．58 B．34 C．84 D．108 4．下列算式中，没有利用等式的性质给方程4－8＝12变形的是（    ）。 A．4－8＋8＝12＋8 B．（4－8）÷4＝12÷4 C．（4－8）×4＝12×4 D．4－8＋8＝12÷4 5．数学老师用天平演示解方程的过程，（    ）运用了“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式”这一性质。 A．3 B．2 C．1 D．2 6．1个苹果和( )个草莓一样重。 7．已知4x＝19，那么3x＋2＝( )，如果x＝2是5x＋3b＝20.8的解，那么b＝( )。 8．鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系用来表示（表示尺码数，表示厘米数）。王老师穿42码的鞋，他穿的鞋实际长度为( )厘米；朱老师穿的鞋长23.5厘米，则朱老师穿( )码的鞋。 9．如果方程3x＝7.2，那么2x＋1.5＝( )。 10．如果m－7＝4，n－m＝5，那么m＝( )，n＝( )。 11．解方程。 1.6×3＋3x＝6        0.2x－1.2×3＝6.6       x＋0.8x＝5.4 4x÷0.1＝10          0.8x－1.2＝0.4          18×（x＋2.9）＝108 12．一个鸵鸟蛋的长度可达17.8厘米，比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。蜂鸟的体长是多少厘米？（列方程解答问题） 13．已知x＋y－z＝42，x＋y＝70，z的值是多少？ 14．五（1）班图书角原有一些书，借出40本后，还剩26本。图书角原有多少本书？（用方程解决） 15．仔细观察如图：           x＝20                    2x（    ）20×（    ） 3x（    ）60                   3x÷3（    ）60÷（    ） （1）填一填。 （2）说一说，你发现什么？ 知识点一： 【典型例题1】A 【分析】天平平衡，说明天平两边相等，得到两个等式①2a＝3b，②2b＝3c，根据等式的性质判断各选项是否成立。 【详解】A．②两边交换得到3c＝2b，①加②得到2a＋3c＝5b，即5b＝2a＋3c，该选项成立； B．①两边同时除以2得a＝b，②两边同时除以2得b＝c，把b代入①得到a＝c，即a＝c，该选项不成立； C．②两边同时乘2得4b＝6c，①两边同时除以3得a＝b，把b代入①得到6c＝a，即6c＝a，该选项不成立； D．①两边同时除以2再乘3得2a÷2×3＝3b÷2×3，即3a＝b，该选项不成立。 故答案为：A 【典型例题2】x＝3.17；x＝40.6；x＝102 【分析】x＋4.13＝7.3，根据等式的性质1，两边同时减4.13解答即可。 x－25＝15.6，根据等式的性质1，两边同时加25解答即可。 x÷6.8＝15，根据等式的性质2，两边同时乘6.8解答即可。 【详解】x＋4.13＝7.3 解：x＝7.3－4.13 x＝3.17 x－25＝15.6 解：x＝15.6＋25 x＝40.6 x÷6.8＝15 解：x＝15×6.8 x＝102 【典型例题3】x＝5；x＝14.4；x＝2 【分析】1.2x＋2.7＝8.7，根据等式的性质1和2，两边先同时减2.7，计算后两边同时除以1.2解答即可。 x＋2.5×4＝24.4，计算方程左边后得x＋10＝24.4，然后根据等式的性质1，两边同时减10解答即可。 4.5x－0.7x＝7.6，计算方程左边后得3.8x＝7.6，然后根据等式的性质2，两边同时除以3.8解答即可。 【详解】1.2x＋2.7＝8.7 解：1.2x＝8.7－2.7 1.2x＝6 x＝6÷1.2 x＝5 x＋2.5×4＝24.4 解：x＋10＝24.4 x＝24.4－10 x＝14.4 4.5x－0.7x＝7.6 解：3.8x＝7.6 x＝7.6÷3.8 x＝2 【变式训练1】B 【分析】根据题意，2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格，根据等式的性质1，等式两边同时减去3支铅笔的价格，再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，即可解答。 【详解】2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格 2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格－3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格－3支铅笔的价格 2支钢笔的价格＝6支铅笔的价格 2支钢笔的价格÷2＝6支铅笔的价格÷2 1支钢笔的价格＝3支铅笔的价格 小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于3支铅笔的价格。 故答案为：B 【变式训练2】x＝6；x＝8.6；x＝30；x＝8.4 【分析】x＋22＝28，根据等式的性质1，方程两边同时减去22即可。 x－3.7＝4.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上3.7即可。 5x＝150，根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 x÷2.1＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘2.1即可。 【详解】x＋22＝28 解：x＋22＝28－22 x＝6 x－3.7＝4.9 解：x－3.7＋3.7＝4.9＋3.7 x＝8.6 5x＝150 解：5x÷5＝150÷5 x＝30 x÷2.1＝4 解：x÷2.1×2.1＝4×2.1 x＝8.4 【变式训练3】；； 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）根据等式的性质，等式两边先同时减去180，再同时除以3即可； （2）等式左边先计算得出，再根据等式的性质，等式两边同时除以1.2即可； （3）等式左边先计算出0.6×2得1.2，再根据等式的性质，等式两边先同时加1.2，再同时除以2.2即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 1．C 【分析】根据题意得出：李磊原有邮票数－9＝王明原有邮票数＋9，即李磊比王明多（9×2）枚邮票，设王明有x枚邮票，用2倍的王明票数＋李磊比王明多的邮票数＝两人总数66枚邮票，根据关系式据此列式解答即可。 【详解】解：设王明有邮票x枚，则 2x＋18＝66 2x＋18－18＝66－18 2x＝66－18 2x＝48 2x÷2＝48÷2 x＝48÷2 x＝24 66－24＝42（枚） 王明有24枚，李磊有42枚。等式正确的是：2x＋18＝66 故答案为：C 【点睛】解决本题的关键是根据题意找出正确的等量关系式。 2．D 【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 据此把原方程和选项中的方程进行比较即可解答。 【详解】A．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时加上1可得：2.5x＝7，则2.5x＝7的解与2.5x－1＝6的解相同； B．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时减去1可得：2.5x－2＝5，则2.5x－2＝5的解与2.5x－1＝6的解相同； C．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时加上3可得：2.5x＋2＝9，则2.5x＋2＝9的解与2.5x－1＝6的解相同； D．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时乘2可得：5x－2＝12，则5x－2＝12的解与2.5x－1＝6的解相同，而5x－1＝12的解与2.5x－1＝6的解不同。 故答案为：D 3．B 【分析】先解方程x＋2＝6，求出x的值，再把x的值代入6x＋10的式子里，即可解答。 【详解】x＋2＝6 解：x＝6－2 x＝4 6×4＋10 ＝24＋10 ＝34 故答案为：B 【点睛】利用等式的性质1，求出方程的解，进而求出6x＋10的结果。 4．D 【分析】根据等式的性质1：等式两边同时加或减相同的数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以相同的数（不为0），等式仍然成立，据此选择即可。 【详解】A．等式两边同时加8，是利用等式的性质1得到的。 B．等式两边同时除以4，是利用等式的性质2得到的。 C．等式两边同时乘4，是利用等式的性质2得到的。 D．等式左边加8，右边除以4，不是利用等式的性质得到的。 故答案为：D 5．A 【分析】等式性质：在等式两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式仍然成立。1→2，2→3，2→1都是运用等式性质1，等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍然成立。3→4，运用等式性质2，等式两边同时乘一个数，等式仍然成立。 【详解】A.3→4物品数量从2个减少为1个，砝码数量从4个减少为2个，运用等式性质2，等式两边同时除以2，得到的结果仍然等式，符合题意； B．2→3天平两边同时减少一个物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时减少一个数结果仍然是等式，不符合题意； C．1→2天平两边同时减去相同数量的物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时减去一个数结果仍然是等式，不符合题意； D．2→1天平两边同时加上相同数量的物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时加上一个数结果仍然是等式，不符合题意。 故答案为：A 6．8 【分析】由左图可知，1个苹果和1个芒果的重量与3个芒果的重量相等，利用等式的性质1，天平两边同时去掉1个芒果，此时，1个苹果与2个芒果的重量相等，由右图可知，2个芒果与8个草莓的重量相等，由此得出1个苹果与8个草莓的重量相等，据此解答。 【详解】1个苹果的重量＋1个芒果的重量＝3个芒果的重量 1个苹果的重量＋1个芒果的重量－1个芒果的重量＝3个芒果的重量－1个芒果的重量 1个苹果的重量＝2个芒果的重量 2个芒果的重量＝8个草莓的重量 所以，1个苹果和8个草莓一样重。 7．16.25 3.6 【分析】已知4x＝19，根据等式的性质，方程两边同时除以4求解出x，把x的值代入3x＋2计算出结果； 如果x＝2是5x＋3b＝20.8的解，把x的值代入算式中，即5×2＋3b＝20.8，计算出5×2，然后根据等式的性质，方程两边同时减去10，再同时除以3求解出b。 【详解】4x＝19 解：4x÷4＝19÷4 x＝4.75 3x＋2 ＝3×4.75＋2 ＝14.25＋2 ＝16.25 因此，3x＋2的值是16.25。 5×2＋3b＝20.8 解：10＋3b＝20.8 10＋3b－10＝20.8－10 3b＝10.8 3b÷3＝10.8÷3 b＝3.6 因此，如果x＝2是5x＋3b＝20.8的解，那么b＝3.6。 8．26 37 【分析】根据换算公式，已知码数42码，代入求鞋长，和已知鞋长求码数时，都直接代入关系式，解方程计算即可。 【详解】当时，代入公式为： 当时，代入公式为： 所以王老师穿42码的鞋，他穿的鞋实际长度为26厘米；朱老师穿的鞋长23.5厘米，则朱老师穿37码的鞋。 9．6.3 【分析】先根据等式的性质求出方程3x＝7.2的解，方程两边同时除以3即可；再把x的值代入2x＋1.5中，计算出得数即可。 【详解】3x＝7.2 解：3x÷3＝7.2÷3 x＝2.4 当x＝2.4时 2x＋1.5 ＝2×2.4＋1.5 ＝4.8＋1.5 ＝6.3 如果方程3x＝7.2，那么2x＋1.5＝6.3。 10．11 16 【分析】根据差＋减数＝被减数，计算出m的值，将m的值代入方程n－m＝5，根据等式的性质1，两边同时＋m的值，即可求出n的值。 【详解】m＝4＋7＝11 n－11＝5 解：n－11＋11＝5＋11 n＝16 如果m－7＝4，n－m＝5，那么m＝11，n＝16。 11．x＝0.4；x＝51；x＝3 x＝0.25；x＝2；x＝3.1 【分析】（1）将原式化简为4.8＋3x＝6，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.8，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3，即可求解。 （2）将原式化简为0.2x－3.6＝6.6，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2，即可求解。 （3）将原式化简为1.8x＝5.4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.8，即可求解。 （4）根据等式的性质2，方程两边先同时乘0.1，再同时除以4，即可求解。 （5）根据等式的性质1，方程两边同时加上1.2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8，即可求解。 （6）根据等式的性质2，方程两边同时除以18，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.9，即可求解。 【详解】1.6×3＋3x＝6   解：4.8＋3x＝6   4.8＋3x－4.8＝6－4.8 3x＝1.2 3x÷3＝1.2÷3 x＝0.4 0.2x－1.2×3＝6.6 解：0.2x－3.6＝6.6 0.2x－3.6＋3.6＝6.6＋3.6 0.2x＝10.2 0.2x÷0.2＝10.2÷0.2 x＝51 x＋0.8x＝5.4 解 ：1.8x＝5.4 1.8x÷1.8＝5.4÷1.8 x＝3 4x÷0.1＝10 解：4x÷0.1×0.1＝10×0.1 4x＝1 4x÷4＝1÷4 x＝0.25 0.8x－1.2＝0.4 解：0.8x－1.2＋1.2＝0.4＋1.2 0.8x＝1.6 0.8x÷0.8＝1.6÷0.8 x＝2 18×（x＋2.9）＝108 解：18×（x＋2.9）÷18＝108÷18 x＋2.9＝6 x＋2.9－2.9＝6－2.9 x＝3.1 12．5.6厘米 【分析】把蜂鸟的体长设为未知数，等量关系式：蜂鸟的体长×3＋1厘米＝一个鸵鸟蛋的长度，据此列方程解答。 【详解】解：设蜂鸟的体长是x厘米。 3x＋1＝17.8 3x＋1－1＝17.8－1 3x＝16.8 3x÷3＝16.8÷3 x＝5.6 答：蜂鸟的体长是5.6厘米。 13．28 【分析】 将x＋y＝70代入x＋y－z＝42中，可得70－z＝42，再利用等式的性质1，进行解方程即可。 【详解】 由分析可得： 将x＋y＝70代入x＋y－z＝42中，得： 70－z＝42 解：70－z＋z＝42＋z 42＋z＝70 42＋z－42＝70－42 z＝28 答：z的值是28。 14．66本 【分析】根据数量关系式：原有书的本数－借出的本数＝还剩的本数列方程。假设图书角原有x本书，列式为x－40＝26，根据等式的性质1，方程左右两边同时加40解方程。 【详解】解：设图书角原有x本书。 x－40＝26 x－40＋40＝26＋40 x＝66 答：图书角原有66本书。 15．（1）＝；2； ＝；＝；3； （2）我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。 【分析】（1）根据天平左右两边相等，可知第二个天平为2x＝20×2，第三个天平为3x＝60，因为3x÷3＝x，60÷3＝20，所以第四个天平为3x÷3＝60÷3。 （2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。 【详解】（1） （2）我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $