03 列方程解决问题（导学案）五年级数学寒假自学课（苏教版）

03 列方程解决问题 知识点精讲 知识点一 列方程解决问题 内容 列方程解决问题 1、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列方程； （3）解方程并检验； （4）作答。 2、用方程解决问题。 （1）用形如x±a=b的方程解决问题：先把未知量与已知量结合起来思考，再根据题中的等量关系列方程解答。 （2）已知数量甲比数量乙的几倍多（或少）几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几=数量甲，列出形如ax±b=c的方程进行解答。 （3）解决涉及两个未知量的问题：一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，然后根据等量关系列方程求解。 3、解决“已知两个量的和（或差）及两个量的倍数关系，求这两个量”的问题，一般设其中一个未知量为x（通常设标准量为x），另一个未知量用含有x的式子表示，根据等量关系，用形如a±bx=c的方程解答。 4、列方程解决实际问题的关键是找出题中的等量关系，可以用学过的公式，数量关系式或者画图来寻找等量关系。 【典型例题1】在测量人体体温时，我国常用摄氏温度，一些国家用华氏温度。华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32。小明的体温用华氏温度表示为97.7华氏度，相当于( )摄氏度。 【典型例题2】甲、乙两车同时分别从A、B两地相对开出，1.5小时后两车在距离中点36千米处相遇。已知甲车每小时行的路程比乙车的2倍少4千米，甲车每小时行( )千米。 【典型例题3】将一些钢笔作为奖品分到优秀同学，如果个同学分得8支钢笔就会多6支钢笔；如果每个同学分得9支钢笔就会缺2支钢笔。这些钢笔至少有( )支。 【变式训练1】BMI（身体质量指数）是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。BMI＝体重÷身高2（体重单位：千克，身高单位：米）。明明身高为1.5米，他的BMI恰好为20，他现在的体重是( )千克。 【变式训练2】妈妈买了1个花瓶和6支鲜花，每支鲜花的价钱一样，一共花费24元。其中花瓶的价钱是1支鲜花价钱的6倍，鲜花的单价是( )元/个，花瓶的单价是( )元。 【变式训练3】甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过( )分钟甲比乙多跑2圈。 1．甲、乙两个书架，甲书架有32本书，乙书架有本书。从甲书架拿4本放入乙书架，两个书架上的书就同样多。下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面有四件事，与15＋x＝60匹配的是（    ）。 A．亮亮有15盒书，每盒60本，共多少本？ B．亮亮有15本书，他再买几本就60本？ C．亮亮有15本书，又买了60本，共有多少本？ D．亮亮有15盒书，共有60本，每盒有多少本？ 3．下面问题中，不能用方程2x＋x＝42解决的是（    ）。 A．一个长方形的周长是42厘米，长是宽的2倍，宽是多少厘米？ B．水果店运来一批苹果和梨，一共重42千克，苹果的质量是梨的2倍，梨有多少千克？ C．五（1）班共有学生42人，其中男生人数是女生2倍，女生有多少人？ D．妙妙每分钟能折1个千纸鹤，笑笑每分钟能折2个千纸鹤，她们合作完成42个千纸鹤，至少需要几分钟？ 4．王阿姨家在三块菜地里种了1000棵番茄，第一块菜地里种的番茄比第二块少50棵，第三块菜地里种的番茄比第二块多150棵。第二块菜地里种番茄（    ）棵。 A．450 B．350 C．300 D．250 5．“跑一场马，识一座城”，南通有请，乐享通马。来自全世界31个国家和地区的运动健儿和跑友齐聚紫琅湖畔，在美景中快乐奔跑，享受运动魅力。本次赛事参加全程马拉松和欢乐跑的一共有20000人，欢乐跑的人数是全程马拉松的3倍。参加欢乐跑的有（    ）人。 A．5000 B．10000 C．15000 D．6667 6．世界上最长的跨海大桥－－港珠澳大桥，全长55千米，比深圳湾大桥的长5.095千米。设深圳湾大桥长x千米，则可列出方程( )。 7．小何买了1本练习本和3支铅笔，小梅买了8支同样的铅笔，小刚买了24张贴画，三人用去的钱同样多。1本练习本的价钱等于( )张贴画的价钱。 8．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑270米，乙每分钟跑230米，经过( )分甲第一次追上乙。 9．爸爸买了一个鱼缸和8条金鱼，每条金鱼价钱相同，一共用去30元。其中鱼缸的价钱是一条金鱼价钱的7倍，鱼缸和金鱼的单价分别是( )元和( )元。 10．要把1米长的铜管锯成54毫米和76毫米两种规格的铜管，每锯一次都要损耗1毫米的铜管。那么，只有当锯得的54毫米的铜管为( )段，76毫米的铜管为( )段时，才能使所损耗的铜管最少。 11．如图，一套茶具总价是270元。其中茶壶的价格是120元。每只茶杯多少元？（列方程解答） 12．学校买来3张办公桌和8把椅子一共用去2040元。已知办公桌的价格是360元/张，椅子的价格是多少元/把？（列方程解答） 13．2024年国庆假期，新沂市马陵山、窑湾古镇两大景区累计接待游客30万人次。马陵山景区接待游客人数是窑湾古镇的1.5倍。马陵山、窑湾古镇两个景区分别接待游客多少万人次？ 14．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 15．改革开放40多年来，人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。12月20日店里的付款信息如下： ①微信和支付宝共195单。 ②支付宝单数是现金的7.5倍。 ③支付宝单数比现金多65单。 ④微信单数是支付宝的1.6倍。 请你选择以上信息，提出一个数学问题，并用方程解答。 我选的信息是：________。提出的问题是：____________________。 解答： 知识点一： 【典型例题1】36.5 【分析】设相当于x摄氏度，根据华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设相当于x摄氏度。 1.8x＋32＝97.7 1.8x＋32－32＝97.7－32 1.8x＝65.7 1.8x÷1.8＝65.7÷1.8 x＝36.5 小明的体温用华氏温度表示为97.7华氏度，相当于36.5摄氏度。 【典型例题2】100 【分析】由题意可知，经过1.5个小时，甲车比乙车多行了2个36千米，如果设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（2x－4）千米/时。根据速度×时间＝路程，那么甲车行驶路程是（2x－4）×1.5，乙车行驶路程是1.5x，再根据“甲车行驶路程－乙车行驶路程＝甲车比乙车多行的路程”。列方程解答，最后把解出的数值代入（2x－4）中，据此解答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行（2x－4）千米。 （2x－4）×1.5－1.5x＝36×2 2x×1.5－4×1.5－1.5x＝72 3x－6－1.5x＝72 1.5x－6＝72 1.5x－6＋6＝72＋6 1.5x＝78 1.5x÷1.5＝78÷1.5 x＝52 2×52－4 ＝104－4 ＝100（千米） 甲车每小时行100千米。 【典型例题3】70 【分析】根据题意可知，钢笔的总支数不变；由此得出等量关系：分钢笔的同学数×8＋6＝分钢笔的同学数×9－2，据此列出方程，并求出分钢笔的同学数；再用“分钢笔的同学数×8＋6”或“分钢笔的同学数×9－2”，求出钢笔的总支数。 【详解】解：设分钢笔的同学有x个。 8x＋6＝9x－2 8x＋6－8x＝9x－2－8x 6＝x－2 x－2＝6 x－2＋2＝6＋2 x＝8 8x＋6 ＝8×8＋6 ＝64＋6 ＝70 所以这些钢笔至少有70支。 【变式训练1】45 【分析】根据题意，设明明现在的体重是千克，根据“BMI＝体重÷身高2”列出方程，并求解。 【详解】解：设明明现在的体重是千克。 ÷1.52＝20 ÷2.25＝20 ÷2.25×2.25＝20×2.25 ＝45 他现在的体重是45千克。 【变式训练2】100 【分析】由题意可知，经过1.5个小时，甲车比乙车多行了2个36千米，如果设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（2x－4）千米/时。根据速度×时间＝路程，那么甲车行驶路程是（2x－4）×1.5，乙车行驶路程是1.5x，再根据“甲车行驶路程－乙车行驶路程＝甲车比乙车多行的路程”。列方程解答，最后把解出的数值代入（2x－4）中，据此解答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行（2x－4）千米。 （2x－4）×1.5－1.5x＝36×2 2x×1.5－4×1.5－1.5x＝72 3x－6－1.5x＝72 1.5x－6＝72 1.5x－6＋6＝72＋6 1.5x＝78 1.5x÷1.5＝78÷1.5 x＝52 2×52－4 ＝104－4 ＝100（千米） 甲车每小时行100千米。 【变式训练3】20 【分析】已知甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，设经过x分钟甲比乙多跑2圈，即2×400＝800米，则甲行驶了290x千米，乙行驶了250x千米，据此可列出方程290x－250x＝800，先计算出290x－250x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以40求解出x，即甲比乙多跑2圈所需要的时间。 【详解】解：设经过x分钟甲比乙多跑2圈。 290x－250x＝400×2 290x－250x＝800 40x＝800 40x÷40＝800÷40 x＝20 所以经过20分钟甲比乙多跑2圈。 1．D 【分析】首先分析题中给出的数量关系，找到题目中相等的量，即变化后的甲书架的图书数量＝变化后的乙书架的图书数量，由此等量关系列出方程。 【详解】甲书架原来有32本书，从甲书架拿4本放入乙书架后，甲书架剩余的书的数量为本；乙书架原来有本书，放入4本书之后，乙书架剩余的书的数量为本。此时两个书架的图书数量相等，因此得到方程：。 故答案为：D 2．B 【分析】这是一道关于方程与实际问题匹配的题目，关键在于分析每个选项所对应的数量关系，看是否能列出15＋x＝60这个方程。 【详解】A．已知亮亮有15盒书，每盒60本，求总本数，根据“总本数＝盒数×每盒本数”，用15×60表示，和15＋x＝60不匹配。 B．亮 亮有15本书，设再买x本就达到60本，那么原有的本数加上再买的本数等于60本，用15＋x＝60表示，与所给方程匹配。 C．亮亮有15本书，又买了60本，求共有的本数，用15＋60表示，和15＋x＝60不匹配。 D．亮亮有15盒书，共60本，设每盒有x本，根据“总本数＝盒数×每盒本数”，用15x＝60表示，和15＋x＝60不匹配。 故答案为：B 3．A 【分析】方程2x＋x＝42表示两个量中一个量是另一个量的2倍，且它们的和为42。需逐一分析各选项的等量关系是否与该方程一致。 【详解】A．设宽为x厘米，则长为2x厘米。周长公式为：2×（长＋宽）＝周长，即2×（2x＋x）＝42，化简为4x＋2x＝42，本题问题不能用2x＋x＝42解决。 B．设梨为x千克，苹果为2x千克，等量关系式为：苹果的重量＋梨的重量＝总重量，列式为：2x＋x＝42，本题问题能用2x＋x＝42解决。 C．设女生为x人，男生为2x人，等量关系式为：男生人数＋女生人数＝总人数，列式为：2x＋x＝42，本题问题能用2x＋x＝42解决。 D．设至少需要x分钟，等量关系式为：笑笑每分钟折的个数×时间＋妙妙每分钟折的个数×时间＝两人完成的总个数，列式为：2x＋x＝42，本题问题能用2x＋x＝42解决。 所以不能用2x＋x＝42解决问题的是A选项。 故答案为：A 4．C 【分析】设第二块菜地种的番茄是x棵，则第一块种了（x－50）棵，第三块种了（x＋150）棵，根据题意可得方程：x＋（x－50）＋（x＋150）＝1000，解答求出第二块种的棵数。 【详解】解：设第二块菜地种的番茄是x棵，则第一块种了（x－50）棵，第三块种了（x＋150）棵，则： x＋（x－50）＋（x＋150）＝1000 x＋x－50＋x＋150＝1000 3x＋100＝1000 3x＋100－100＝1000－100 3x＝900 3x÷3＝900÷3 x＝300 第二块种了300棵。 故答案为：C 5．C 【分析】把参加全程马拉松的人数设为未知数，参加欢乐跑的人数＝参加全程马拉松的人数×3，等量关系式：参加全程马拉松的人数＋参加欢乐跑的人数＝20000人，据此列方程解答。 【详解】解：设参加全程马拉松的有x人，则参加欢乐跑的有3x人。 x＋3x＝20000 4x＝20000 4x÷4＝20000÷4 x＝5000 3×5000＝15000（人） 所以，参加欢乐跑的有15000人。 故答案为：C 6．x＋5.095＝55 【分析】用方程解决问题的关键是找到等量关系，根据深圳湾大桥的长度＋港珠澳大桥与深圳湾大桥的长度差＝港珠澳大桥的长度，即可列出方程。 【详解】设深圳湾大桥长x千米，则可列出方程x＋5.095＝55或55－x＝5.095或5.095＋x＝55。 7．15 【分析】由题意可得，先列出等量关系式：1本练习册的价钱＋3支铅笔的价钱＝8支铅笔的价格＝24张贴画的价钱，再根据等量关系式可得：1支铅笔的价钱＝3张贴画的价钱，并列出方程；最后根据等式的性质2解方程填空即可。 【详解】解：设1本练习本的价钱等于x张贴画的价钱。 24÷8＝3（张） x＋3×3＝24 x＋9＝24 x＋9－9＝24－9 x＝15 则一本练习册的价钱等于15本贴画的价钱。 8．10 【分析】根据题意可知，甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，相当于两人在直线上相距400米，从同一地点出发，同向而行，根据速度差×追及时间＝路程差，设经过x分甲第一次追上乙，列方程为（270－230）x＝400，然后解出方程即可。 【详解】解：设经过x分甲第一次追上乙。 （270－230）x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 经过10分甲第一次追上乙。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 9．14 2 【分析】由题可得等量关系式：一个鱼缸的价钱＋8条金鱼的价钱＝30元。设一条金鱼的价钱为元，鱼缸的价钱是一条金鱼价钱的7倍，则一个鱼缸为元，根据等量关系式列出方程：，解出方程，从而求出鱼缸和金鱼的单价，据此解答。 【详解】解：设一条金鱼的价钱为元，则一个鱼缸为元。 2×7＝14（元） 即鱼缸和金鱼的单价分别是14元和2元。 10．7 8 【分析】根据题意可知，锯铜管的总次数越少则损耗的就越少，要想分割的次数越少就要使每一段的长度最大，本题中就是要让76毫米的铜管达到最多，而让54毫米的铜管最少；因为锯一次要损耗1毫米铜管，设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，那么，根据题意就有：54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000；同时需要根据实际讨论损耗最少的情况。 【详解】解：设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，可得： 54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000 54x＋76y＋x＋y－1＝1000 55x＋77y －1＋1＝1000＋1 55x＋77y＝1001 11×（5x＋7y）＝1001 11×（5x＋7y）÷11＝1001÷11 5x＋7y＝91 因为： 5×0＋7×13 ＝0＋91 ＝91 所以，当x＝0，y＝13时，5x＋7y＝91成立。 但是题干中要求据成两种规格，所以此方案不合适。 因为： 5×7＋7×8 ＝35＋56 ＝91 所以，当x＝7，y＝8时， 5x＋7y＝91成立。 此时的损耗为7＋8－1＝14（毫米） 5×14＋7×3 ＝70＋21 ＝91 所以，当x＝14，y＝3时， 5x＋7y＝91成立。 此时的损耗为14＋3－1＝16（毫米） 14＜16 所以当x＝7，y＝8时，即，只有当锯得的54毫米的铜管为7段，76毫米的铜管为8段时，才能使所损耗的铜管最少。 【点睛】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余。 11．50元 【分析】从图中可知有1个茶壶，3只茶杯，设每只茶杯x元。茶壶价格是120元，一套茶具总价是270元。根据“3只茶杯的价格＋茶壶的价格＝一套茶具的总价”，可列出方程：3x＋120＝270，然后解方程即可。 【详解】解：设每只茶杯x元。 3x＋120＝270 3x－120＝270－120 3x＝150 3x÷3＝150÷3 x＝50 答：每只茶杯50元。 12．120元/把 【分析】本题可先设椅子的价格为元/把，则8把椅子的价格为元，再利用等量关系：办公桌的总价格＋椅子的总价格＝用去的价格，来列方程解答，从而求出椅子的单价。 【详解】解：设椅子的价格是元/把。 答：椅子的价格是120元/把。 13． 马陵山景区18万人次；窑湾古镇景区12万人次 【分析】两大景区累计接待游客30万人次，且马陵山景区接待游客人数是窑湾古镇的1.5倍，也就是窑湾古镇景区接待游客人数＋窑湾古镇景区接待游客人数的1.5倍，即窑湾古镇景区接待游客人数的2.5倍是30万人次，由此求出设窑湾古镇景区接待游客人数，列方程求解。 【详解】解：设窑湾镇景区接待游客x万人次，则马陵山景区接游客1.5x万人次。 x＋1.5x＝30 2.5x＝30 2.5x÷2.5＝30÷2.5 x＝12 1.5x＝12×1.5＝18（万人次） 答：马陵山景区接待游客18万人次，窑湾古镇景区接待游客12万人次。 14．10分钟 【分析】甲第一次追上乙属于追及问题，甲需比乙多跑一圈（400米）；已知甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，设经过x分钟甲第一次追上乙，则甲行驶了290x千米，乙行驶了250x千米，据此可列出方程290x－250x＝400，先计算出290x－250x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以40求解出x，即甲第一次追上乙所需要的时间。 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙。 290x－250x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 15．②③ 支付宝和现金分别有多少单？ 支付宝75单，现金10单 【分析】方法一：选择信息②和③，设现金的单数为未知数，利用支付宝单数是现金的7.5倍以及支付宝比现金多65单的关系建立方程，求解现金和支付宝的单数。 方法二：选择信息①和④，设支付宝的单数为未知数，利用微信单数是支付宝的1.6倍以及微信和支付宝共195单的关系建立方程，求解微信和支付宝的单数。 【详解】方法一：选择的信息：②③ 提出的问题：支付宝和现金分别有多少单？ 解：设现金有单，则支付宝有单。 根据支付宝单数比现金多65单，列方程： 支付宝单数为： （单） 答：支付宝有75单，现金有10单。 方法二：选择的信息：①④ 提出的问题：支付宝和微信分别有多少单？ 解：设支付宝有单，则微信有单。 根据微信和支付宝共195单，列方程： 微信单数为： （单） 答：支付宝有75单，微信有120单。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $