2.2.1 课时2 直线的方向向量与法向量 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的方向向量与法向量”，系统呈现方向向量（两点坐标、倾斜角表示）、法向量的定义及两者垂直关系，通过“思考”“追问”等问题链，从向量平行、两点坐标等旧知自然过渡，搭建前后知识支架。 其亮点在于以问题驱动引导学生用数学眼光抽象概念（如由倾斜角得方向向量(cosθ,sinθ)），通过例2用方向向量判断三点共线培养数学思维的逻辑推理，知识梳理与归纳总结用数学语言规范表达。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助结构化内容高效教学。

2.2.1 课时2 直线的方向向量与法向量 第二章 平面内两个非零向量平行，则这两个向量所在的直线一定平行吗？ 不一定.可以平行，也可以重合. 思考：在直线l上任意取A，B两个不同的点，和直线l有何关系？ 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点， 则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量. ＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，)＝(x2－x1)(1，k)， 则(1，k)是直线l的一个方向向量. 追问：如果直线l的倾斜角为θ，那么直线l的一个方向向量该如何表示？ 则根据三角函数的定义可知点P的坐标为(cos θ，sin θ). =(cos θ，sin θ)一定是直线l的一个方向向量. 设为直线l的一个方向向量，||=1，如图所示 提醒 问题：平面内过一定点与已知直线垂直的非零向量有多少个？单位向量有多少个？ 无数多个，两个(方向不同). 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. (1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直. (2)当x0，y0不全为0时， 若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝ 为直线l的一个法向量； 若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝ 为直线l的一个方向向量. (y0，－x0) (y0，－x0) 知识梳理 例1 (1)已知直线l通过点A(2，3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角； (2)已知v＝(sin α，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． 解：(1)由已知得是直线l的一个方向向量， 因此直线l的斜率k==1，直线l的倾斜角θ满足tan θ=1， 从而可知θ=45°. (2)已知v＝(sin α，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． (2)∵v＝(sin α，1)是直线l的一个法向量， ∴u＝(1，－sin α)是直线l的一个方向向量， ∴k＝－sin α， 又－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，∴－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π， 即斜率k的取值范围为[－1，1]，倾斜角θ的取值范围为[0，]∪[，π). 归纳总结 倾斜角与斜率之间的变化规律: ①当0°≤α<90°时，随α的增大，斜率k在[0，+∞)范围内增大； ②当α=90°时，斜率不存在; ③当90°<α<180°时，随α的增大，斜率k在(-∞，0)范围内增大. 例2 已知A(-3，-1)，B(1，3)，C(5，8)，判断A，B，C是否共线. (方法二)因为=(1-(-3)，3-(-1)=(4，4)，=(5-(-3)，8-(-1)=(8，9)， 又因为4×9≠4×8，所以AB与AC不共线，从而A，B，C不共线. 解：(方法一)因为 又因为kAB ≠ kAC，所以AB与AC不共线，从而A，B，C不共线. 归纳总结 如果A，B，C是平面直角坐标系中的三个不同的点， 则这三点共线的充要条件是 与 共线. 三点共线的充要条件： A B C y x O 根据本节课所学回答下列问题： 1.如何利用直线的方向向量判断三点是否共线？ 2.一条直线的方向向量和法向量有什么关系？ 1.直线l过点(－1，－2)，(－1，2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝________. 2.直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的一个法向量为(　　) A.(－1，4) B.(2，5) C.(5，－2) D.(－1，－4) 0 D 3.若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则直线l的斜率k＝________. 4.直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为___________. -2 - （1，-) (1)任意直线的方向向量不唯一，有无数多个，这些方向向量共线； (2)若直线l斜率为k，则(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量. 由共线知1×v＝k×u，则k＝eq \f(v,u). $