2.2.1 课时1 直线的倾斜角与斜率 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角与斜率”，通过“确定直线需要什么”的问题链导入，从“两点确定直线”过渡到“一点和方向”，聚焦方向即倾斜程度引出倾斜角，再结合坐标关系问题导出斜率，搭建从几何直观到代数表示的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析培养核心素养，用数学眼光观察直线方向（如倾斜角定义与范围），用数学思维推理斜率公式（例2求三点斜率与倾斜角），用数学语言表格化倾斜角与斜率对应关系。通过例3三点共线问题巩固知识，归纳结构化小结。学生能深化数形结合理解，教师可借助清晰环节提升教学效果。

2.2.1 课时1 直线的倾斜角与斜率 第二章 问题：在直角坐标系下，确定一条直线需要什么？ 1.过一点能不能确定一条直线? 2.方向相同能不能确定一条直线? y x o y x o l x y O A B l1 x y O α1 α2 α3 两点确定一条直线 一个点和一个方向 在直角坐标系下，设，为直线上两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向向量确定一条直线. x y O l 确定直线位置的要素除了点之外， 还有直线的方向, 也就是直线的倾斜程度. 知识梳理 l x y O 直线与轴相交时，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，叫做直线的倾斜角. 规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 直线倾斜角的范围为： 提醒 (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角α，但倾斜角为α的直线有无数多条. (2)一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ， 当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°； 当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°. 例1 (多选)下列命题中，正确的是( ) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) √ √ 倾斜角不可能为负 有无数条，且都垂直于y轴 当α＝0°时，sin α＝0 当α＝90°时，sin α＝1 AC 问题1：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为. (1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： .① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示，即.② 知识梳理 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率与倾斜角对应关系 例2 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. 解：(1)由斜率公式得kAB =，kBC =，kAC =， 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°， 又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°； tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°； tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°. 例2 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点， 即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB， ∴k的取值范围是[，]. 归纳总结 讨论：如图所示，若A，B，C三点共线，则直线AB，AC，BC的倾斜角有什么关系？斜率呢？ 倾斜角相等；斜率也相等. 上述结论和条件互 换，是否仍成立？ 注：当AB，AC，BC所成直线与x轴平行时，A，B，C三点也共线，但此时斜率不存在. A B C O x y 三点共线的充要条件： ①任意两点确定的直线的倾斜角都相等； ②任意两点确定的直线的斜率都不存在或都相等. O x y 归纳总结 例3 已知三点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一直线上，求a的值． 解：∵5≠-4，∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB =，kBC =， ∵点A、B、C在同一直线上，∴kAB =kBC， ∴ 解得a=2或a=. 归纳总结 根据本节课所学回答下列问题: 1.直线的倾斜角和斜率之间有什么关系？ 2.直角坐标系中，三点共线的条件是什么？ C 2.设a为实数，已知过两点A(a，3)，B(5，a)的直线的斜率为1，则a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 1.如图，直线l的倾斜角为(　　) 3.(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　) A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) B．(3，0)，(6，4)，(－3，－8) C．(4，5)，(3，4)，(－2，－1) D．(1，3)，(2，5)，(－2，3) BC 直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在. (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)进行计算. (3)若已知倾斜角，则k＝tan θ. 斜率公式解决三点共线问题 利用斜率证明三点A，B，C共线时， ①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线； ②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． A. B. C. D. $