湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（五）数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（五） 数学参考答案 题号 2 3 6 8 9 10 11 答案 B C A D D ACD AB ACD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.B 2.C【解析】由题可知A,B∈(0，)，所以2A,2B∈(0，)，又y=cosx在区间(0，)上单调递减，A>B台2A>2B9 cos2A<cos2B,故“A>B”是“cos2A<cos2B”的充要条件. 3.A【解析】设数列{an}的公比为q,显然q≠1， 由已如智9g2-号解得92. “教列{}是以1为首项，号为公比的等比数列，前5项和为一 -- 1- 4.C【解析】如图所示，由题意可得A心-A+D心-A+合A店=b+7a, 0 6E成-i+A-ci+号A=-号(b+2a)+号a=是a-号b g折因为中a吾】以a+吾）_os(a+看 ,所以 3-sin(a+吾）cos(a+晋)3-sin(a+晋) 整理为3sin(e十若）=sim(a+晋)十cos(a+吾）=1，则sim(e+吾）=3， 所以sim(2a晋)=sim[2(a+晋）-]=-cos2(a+晋)=2sir(a+晋）-1=一子 6.D【解析】由题意可得：f(2十x)=f(一x)=一f(x), f(4十x)=-f(2+x)=f(x),故4是f(x)的周期， f(22)=f(1012+号)=f(4×253+号）=f(分)=-f(-2)=- 元C【解折]法1：因为P(B)-了，所以PB=号，P(AB)=P(B)·PAB)=3, PAB)=PA-PAB)=是-号-日，PAB)=PB)-PAB)=号-合-日， 所以PB-8票-喜-子 =3 2 法2：因为P(B)=3,所以P(B)=号，P(AB)=P(B)·P(AB)=3, PAB)=PW-PB)=号号-日，所以PAB)=PAPB, 所以事件A与事件B相互独立，所以事件A与事件B独立，所以P(BA)=P(B)=了： &D解折1为角年分线交点，且-2心.故品-器=品-2 IPE|+IPE=PEI|PE=2,所以PRl+IPp,=4c,又PF-PF,=2a, 所以E,D+FD 2c 故|PF|=2c+a,PF2=2c-Q,因为直线PF2的斜率为22，所以cos∠PF,F=-3, 在△FPE.中，由余弦定理得(2c+a=(2c-a)+(2e2-2×(2c-a)X2cX(-}）,整理得e==哥 数学参考答案（长郡版）-1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.ACD【解析】对于A:f(x)=3x2-6x=3x(x一2)，f(0)=0,f(0)=0, 故函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0,故A项正确； /3 对于B:函数f(x)=x3-3x的定义域为R,又f(x)=3x2-6x=3x(x一2)， 所以当x>2或x<0时f(x)>0,当0<x<2时f(x)<0, y=a 所以f(x)在(2，十∞)，（一∞，0）上单调递增，在(0,2)上单调递减， (x) 所以f(x)的极小值，点为x=2,极大值点为x=0,故B错误； 对于C:由AB可知f(x)的图象如右所示： 由图可知当一4<a<0时，y=f(x)与y=a有三个交点， 即方程f(x)=a有三个实根，故C正确； 对于D:f(x)=x3-3.x2,因为f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+(1-x)3-3(1-x)2 =1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+1-3x十3x2-x3-3(1-2x+x2)=-4, 所以f(x)的图象关于点(1，一2)对称，故D正确. 10.AB【解析】选项A:当r=1,0=马时， 由球笑弗定理得，=60s营+n骨-名+，所以=日-i所以选项A正确； 选项B:之=1显然有之3=1，由棣莫弗定理得， (-号+g)'=(cos2F+isin）°=cos2x+isin2x=1, (-名-)°=(s经+im经) =cos4π十isin4π=1所以选项B正确； 选项C(日-)”-(e+m）-ms+10”os等m告含+9， 3 故选项C错误； 选项D:当r-1,g=至时，由檬英弗定理得，2-(cos至+isin至）”=cosT+isin要， 当n=4时，之=cosπ十isinπ=一1，此时不为纯虚数， 所以当n为偶数时，复数之”不一定为纯虚数，所以选项D错误. 11.ACD【解析】对于A项：如图所示，作出各边中，点，在正方体中， 根据三角形中位线的关系，可知QT∥MN,SQ∥NR,SM∥TR, 且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确； 对于B项：当点P在AB中，点T处，由选项A可知， 此时PM与直线QN为相交直线，故共面，所以B错误； 对于C项：正方体边长为2，则线段MN=√2，则正六边形边长均为√2， 易知内置球半径最大时，球心O在体对角线DB上，不妨设球位于截面MNQ下方，且与面D, AD、面AC、面CD、面MNQ相切，将问题平面化（如图）得KH⊥DB, 又DB1=23,DD1=2,DO=√3(O为正方体的中心)， 0. 设所求球半径为，则3r十，=3，故=35，所以C正确； 2 D H B 对于D项：如图所示，过P作PE⊥AD于E,作EF⊥A1D1于F,连接PF,以D为坐标原，点，以DC,AD为x,y轴， 建立平面直角坐标系， 由于PE⊥AD,AD∥AD,PE⊥AD,又EF⊥AD,PE∩EF=E,PE,PFC平面PEF, 故AD⊥平面PEF,PFC平面PEF,故AD⊥PF, D 设P(x,y)(0≤x≤2，-2≤y≤0)，则PF=√PE+EF=√+4，PC=√(x-2)+y,A 若点P到，点C的距离等于到棱AD的距离，即PC=PF,√(x一2)十y=√x十4，化简得 y2=4x, E 故，点P的轨迹是抛物线的一部分，所以D正确. 数学参考答案（长郡版）一2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.45【解折】因为晨开式的通项为T1=(-1DCx,x00=(一1)rCx+,令-10+号=2，得=8，所以 展开式中x2的系数为(-1)8×C。=45. 13.5√2【解析】设P(x,y),因为，点P在圆C:(x一6)2十y=16上运动，所以设点 A(-2,0), 淵客 =2,即2|PB|=|PA, 则2|PB+|PQ=|PA|+|PQl,如图所示， 所以当P,Q,A三点共线且点P在A,Q两点之间时，2|PB|+PQ取最小值， 此时(2|PB|+|PQ|)m=|AQ=5√2. 14.(1)(2)W3+1[第(1)空2分，第(2)空3分] 【解析】(1)由acos(B-C)=cosA(2√3 bsin C-a)得 a[cos(B-C)+cos A]=2/3bsin Ccos A, 即a[cos(B-C)-cos(B+C]=2√3 bsin Ccos A, 2 asin Bsin C=2√3 bsin Ccos A,又sinC>0, 所以asin B=√3 bcos A,由正弦定理得sin Asin B=√3 sin Bcos A, 所以amA=3,A∈(0，)，A= (2)令∠ACD=0,∠ADC=a,AB=AC=BC=a, 则由玉孩定理可得品。一品即如&-as血0， 又由余弦定理得a2=5-4cos,a2cos20=a2-a2sin0=5-4cosa-sin2a=cos2a-4cosa十4， 所以acos0=2-cosa, 5am-号x2asin(停+）-gcms9叶号asn6-吉sin ao+g =sin(。-晋)+V5<3+1(∠ADC=a要时取等号). 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解析】(1)在数列{a,}中，a=2a+1=3a.十1 an 可得。止日十3，即数列公)是清项为2，公送为3的幸鉴数列， …3分 即有2=2+3(n-1D=3m-1,即a.3n 1 6分 (2a=a1-8n-jn+-日(3+z 1 …9分 s.=6+6+6++6.-3[(合-吉)+（号-8）+(g)++(3m3十2)】 =号(23n十2)F6m14 …13分 16.【解析】(1)由题意可知，=1+2+3+4十5-3， …1分 5 所以26-=1-3+2-3y+8-3+4-3+6-3》=10. …3分 因为经验回归方程为y=一65.2x十1210.4， 所以5-空红动刃_200- =-65.2,所以∑(x-x)(y-y=-652,…5分 2(x- 10 数学参考答案（长郡版）一3 所以r= ≈3.16X237.5≈0.87， -652 7分 因为r≈0.87>0.75，所以该经验回归方程有价值. 8分 (2)由题意可知，X的取值依次为0,1,2，… 。。。。。。。。。 。。。。。。4。。。。。。。。。 9分 剥PX=0)得-品PX=D-g-,PX=-2-e-高 Cg C109 12分 所以X的分布列为： 0 1 2 P 1 …13分 所以X0=0x0+1×号+2X品=号 15分 17.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC, 又因为BC∥AD,AD⊥AB,所以BC⊥AB, 又AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又因为BCC平面PBC,所以平面PBCL平面PAB. …………4分 (2)(ⅰ)由(1)可得PA,AB,AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示. 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 若P,B,C,D在同一个球面上，则|OP|=|OB=|OC=|OD,设球心O的坐标为(x0%,),有 /x6+3听+（一2）2=(-1)2+6+话， (-1)2+6十场=(-1)2+(%-1)2+， (-1)2+(为-1)2+号=6十(%-2)2+号， 解得6=一%==， 7分 所以半径R=1OP=√-2)+（合）+（合-2=T 2 …8分 即球的表面积S=4元R2=11π. 9分 (注：如用几何法，得到底面三角形BCD的外接圆半径给到6分，确定球心的位置给到7分，后续给分一致) (i)由P元-1,1，-2)，Pi-(02,-2),P0-(-2克，-号)， 设平面POD的一个法向量为n=(x,y,%), 则n·Pi-0, 可得 合十-=0， …11分 In.PD=0, 2y-2%=0, 取名=1，则y=1,x1=-2,所以n=(一2,1,1)，… 12分 设直线PC与平面POD所成角为0， 则sin-cos(PC,m1=Pc·nL-3 lPCl·nl√6·√62' ..…14分 所以直线PC与平面POD所成角的大小为晋， …15分 18.解折]1)设P云)，则6≠士a,且3+差-1，所以=8(1-)， (1-) x6-a2 又2b=23,解得a=4,6=3,故椭圆F的方程为十3.… 数学参考答案（长郡版）一4 (2)设K(p,0),则依题意，可设直线AB的方程为x=y十p. (x=y十p, ,消去x,得7y+6py十3-12=0， 所以%十如=一2，%·期=3沙，12， 7 …7分 又SAKC=yi,SAKD=y呢，… 8分 所以5c十5w=发+-(0十%)P-2a·%=g-2.3沙，12-36殄=42g+12X14-二6p起2X14 49 49 <1器14-9 7, …… .…10分 当且仅当p=0时取“=”. …11分 所以，SAe十SAm的最大值为4 (3)设抛物线的准线是1，其与x轴的交点为L点，则L(2p一1,0). 设M),且%>0，则呼+普-1，所以=31-)， 从而1M,=Va-+-√-2x+1+3(1-)-√-2+4=2-7…13分 另一方面，根据抛物线的定义，易知MF2=x一(2p-1)=x十1一2， 3 1 所以p=4西一2· …14分 由KMKN知，w=1=-之.尽 西-力石力15分 即3-子=a-p-(-是+号）=（4+号）》，脚13+4-44=0,… 16分 解得器我山=一2（合）， 所以山的横全标一器 …17分 19.【解析】(1)函数f(x)=xlnx,x=e2时，f(e2)=-2e, f(x)=lnx+1,f(e2)=-1, 曲线f(x)在x=e2处的切线斜率为一1，切，点坐标为(e2,一2e2), 所以切线方程为y一（一2e2)=一（x一e2),即x十y十e2=0.… …4分 (2)方法1：参变量分离 依题意，zln≥ax一e2恒成立，则a≤血十e恒成立. 5分 令p)=血+e,则po (x.I+I)z-(xlnxte) -e2 6分 x 所以，当x∈(0，e)时，p(x)<0,p(x)单调递减； 当x∈(e2,十o∞)时，0(x)>0,gp(x)单调递增. 8分 所以，p(x)m=p(e2)=-1. 所以，a≤一1为所求。… 9分 方法2：构造差值函数求最值 依题意，xlnx≥ax-e恒成立，则xlnx一a.x十e2≥0，… 5分 令p(x)=xlnx-a.x十e2,则o'(x)=lnx+1-a, 6分 令p(x)=0,则x=e1. 当x∈(0，e-1)时，9(x)<0,p(x)单调递减， 当x∈(e-1,十o∞)时，0(x)>0,p(x)单调递增.… …8分 数学参考答案（长郡版）一5 所以，p(x)m=p(e-1)=e-1(a-1)-ae-1+e2≥0，即e-1≤e2. 所以，a≤-1为所求.…9分 (3)证明：先证右半部分不等式：西一4<e+2十3驰 2 因为f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1, 所以f(1)=0,f(e3)=-3e3,f(1)=1,f(e3)=-2, 可求曲线y=f(x)在x=e3和x=1处的切线分别为l:y=一2x一e3和l2:y=x一1， …11分 y=xlnx 设直线y=b与直线L1、函数f(x)的图象以及直线L2交，点的横坐标分别为x',x1, x2,x2', 则'=eb,x2=b十1，…7 12分 y=b 则<-=叶1)-(-2)-+2+0， 2 因此4-4<e+2+36 …13分 2 再证左半部分不等式：x2一>be十1. 设取南线上两点A(日，-日)，B1,0, 月制线0A:=一，AB:=(红一1)来限制无一五，…15分 y=xlnx 设直线)一b与直线y=一工，y厂。马(x一1)的交点的横坐标分别为以， 则x<x<x4<x2,且x=-b,x4=(e-1)b+1, x X3 XA X 所以x2-x1>x4-x3=(e-1)b+1-(-b)=be+1. 综上可得6e十1<2-<e3十2十3b成立.…17分 2 数学参考答案（长郡版）一6长郡中学2026届高三月考试卷（五） 数学 得分 本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。 n 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 刘 目要求的.) 圜 1.已知全集M={xlw元≤2}，N={xx2-x-2>0},则MUN= 如 A.(2,4] B.(-∞，-1)U[0,+∞) C.(-∞，-2)U[0,+∞) D.（-1,4] 啟 吧 2.在锐角△ABC中，“A>B”是“cos2A<cos2B”的 製 A必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数 3.(★)已知{a)是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S=S,则数列 的前5项和等于 an 闻 A别 B胃 c或5 茶 D器成 常 阳 4.(★)已知在梯形ABCD中，AB∥CD且满足AB=2DC,E为AC的中点，F为线段AB上靠近点 B的三等分点，设AB=a,AD=b,则EF A号a-b 3 B.a D.ga-gb 5.若an(e+看) cosa+看】 ,则sin(2a-） 3-sin(a A B. c- 6.设fx)是定义域为R的奇函数，且f2+x)=f(-x).若f(-)=,则f(2025)= A.0 D.-2 数学试题（长郡版）第1页（共6页） 7.已知A,B为样本空间中的两个随机事件，其中P(A)=2,P(B)=号，P(AB)=),则P(B1= C.3 8已知双曲线C若-芳=1(Q>6>0)的左右焦点分别为，F,点P为双曲线C上位于第一象 限内的一点，I为△FPF2的内心，PI交x轴于点D,且Pi=2ID,直线PF2的斜率为2√2，则双 曲线C的离心率为 A是 B贤 C.2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.三次函数f(x)=x2(x一3)的性质，下列说法正确的是 A.函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0 B.f(x)的极小值点为x=0 C.当-4<a<0时，方程f(x)=a有三个实根 D.f(x)的图象关于点(1，一2)对称 10.任何一个复数z=a十bi(其中a,b∈R)都可以表示成：之=r(cos0十isin0)的形式.法国数学家棣 莫弗发现：z”=[r(cos0+isin0)]"=r"(cos no-+isin no)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定 理.根据以上信息，下列说法正确的是 A当=1,0-时=号- B若1或2=±，则2=1 c(哈)=合停 D.当r=1,0=不，且n为偶数时，复数父为纯虚数 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为正方形ABCD内一动点（含边界），点M,N,Q 分别是棱C1D1,CC,AA1的中点，下列说法正确的是 A.平面MNQ与正方体各面的交线是正六边形 B.对任意的点P,直线PM与直线QN是异面直线 C.平面MNQ将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为3,3 2 D.若点P到点C的距离等于到棱A,D1的距离，则点P的轨迹是抛物线的一部分 数学试题（长郡版）第2页（共6页） 选择题答题卡 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.(★)(-”的展开式中x的系数等于 13.(★)已知圆C:(x一6)2+y=16,B(4,0),Q(5,一1)，若点P是圆C上的动点，则2PB十|PQ的 最小值为 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos(B一C)=cosA· (2√3 bsin C-a),则 (1)A= (2)若B=否，在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC- 2,DA=1,则△BCD面积的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)已知数列a,的首项a=号且满是a1一3an∈N~) (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=anam+1,求{bn}的前n项和Sn. 数学试题（长郡版）第3页（共6页） 16.(15分)记2020~2024年的年份代码依次为1,2,3,4,5，下表为2020~2024年中国出生人数y (单位：万人)与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 (1)根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为y=一65.2x十1210.4，求x与y的相关系数 r(保留两位小数)，并判断该经验回归方程是否有价值；（若引x≥0.75，则认为经验回归方程 有价值) (2)从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X,求X的分布 列与期望。 参考数据与公式：回归方程y=a十x中，B= ,√/10≈3.16， (-2) √公0-5)≈237.5，相关系数， 2x-0-) 空x-02- 数学试题（长郡版）第4页（共6页） 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角 梯形，其中BC/∥AD,AB⊥AD,PA=AD=2,AB=BC=1. (1)证明：平面PBCL平面PAB. (2)若点P,B,C,D在同一球面上，设该球面的球心为O. (1)求球O的表面积； (ⅱ)求直线PC与平面POD所成角的大小. 数学试题（长郡版）第5页（共6页） 18.(17分)已知椭圆F若+芳=1（®>>0）的左，右焦点分别为，5，左，右顶点分别为M,M, 短轴长为25，椭圆F上的点P满足直线PM,PM的斜率之积为。 (1)求椭圆F的方程. (2)若E是以F2为焦点，K为顶点的抛物线(K在椭圆内部的x轴上，且在F2左边).E交椭圆 F于M,N两点， (1)过点K作斜率为1的直线，交椭圆F于A,B两点，再作斜率为一1的直线，交椭圆F于 C,D两点.其中，A,D在x轴的同一侧.求S△Akc十S△xD的最大值； (i)若KM⊥KN,求M的横坐标xM. 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx. (1)求函数f(x)在x=e处的切线方程； (2)若f(x)≥ax一e2在(0，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围； (3)若方程f)=b有两个实数根1，，且a<2,求证：be+1<,一<e3+2+36 2 数学试题（长郡版）第6页（共6页）