2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过类比初中一次函数与方程、不等式的联系导入，结合矩形面积等实际问题，搭建从一次到二次的知识迁移支架，系统讲解定义、解法及应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，如刹车距离问题抽象为不等式模型，通过含参讨论、分式不等式转化体现数学思维，用“大于取两边，小于取中间”口诀和流程图帮助数学语言表达。实例丰富，如恒成立问题的分离参数法，助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学流程和多样化题型示例。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题. 一次函数： 一元一次方程： 一元一次不等式：或. 内在联系：一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，也就是对应一元一次不等式的解集. LOGO 2 问题导入 那么对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题. 解：设这个矩形的一条边长为，则另一条边为 .由题意，得： 其中 整理得：① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？ LOGO 3 探究新知 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或 ，其中均为常数，. 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 一次函数与轴交点的横坐标 一元一次方程的解 一元一次不等式的解 一元二次函数与轴交点的横坐标 一元二次方程的解 一元二次不等式的解 能否推出？ LOGO 4 探究新知 下面，我们先来考察一元二次不等式与二次函数之间的关系. 一元二次函数与轴交点的横坐标 一元二次方程的解 一元二次不等式的解 如图，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，发现图象与 轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根因此二次函数与轴的两个交点是和. LOGO 5 探究新知 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 于是，二次函数的两个零点是. 注：零点是一个实数，不是一个点. LOGO 6 探究新知 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式和的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 的零点是. 的根是 的解集为， 的解集为. LOGO 7 探究新知 我们知道，对于一元二次方程()，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数()的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式()和()的解集. LOGO 8 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c=0(a>0)的实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 x1 x2 x y O x1=x2 x y O x y O 有两个不相等的实数 根 x1，x2 (x1<x2) 没有实根 { x | x<x1，或 x>x2 } R ∅ ∅ { x | x1<x<x2 } 口诀：大于取两边，小于取中间 LOGO 9 三个“二次”关系实质 三个“二次”关系的实质 (1)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 口诀：大于取两边，小于取中间 LOGO 10 例题讲解 例1.求不等式的解集. 解：对于方程，∵， ∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 或. 求出一元二次方程的根 根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 LOGO 11 例题讲解 例2.求不等式的解集. 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 . 求出一元二次方程的根 根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 LOGO 12 例题讲解 例3.求不等式的解集. 解：不等式可化为 ∵，∴方程无实数根. 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 因此，原不等式的解集为. 当一元二次不等式的二次项系数是负数()时，通常先把二次项系数化成正数，再求解. LOGO 13 探究新知 现在，我们就能解决第2.1节的“问题2”了. 解：∵， ∴ 即，即 对于方程，∵， ∴它有两个实数根.解得 结合图象得不等式的解集为. LOGO 14 方法总结 1.查系数 解一元二次不等式的步骤： a<0 化为正数 2.解方程 先考虑分解因式 求根 计算Δ 求根公式 Δ>0 3.画图象 4.写解集 图像 不等号方向 写解集 不行 行 大于号两边 小于号取中间 有根 LOGO 15 题型一：不含参一元二次不等式的解法 例1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1)∵ ∴方程有两个不等实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为：∵ ∴方程无实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为 求出一元二次方程的根 根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 LOGO 16 方法总结 【方法技巧】解不含参一元二次不等式的步骤： LOGO 17 题型一：不含参一元二次不等式的解法 变式1.设集合，，则 ( ) C A. B. C.，， D.，1， 【解析】 ， ，，，， ，则，， ． A. B. C.，， D.，1， 变式2.已知集合 ， ，则 ( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】，则或 ， 或 ，则或 ． LOGO 18 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 例1（1）解关于的不等式： . 【解析】将不等式变形为 . 当，（【会分类】根据与 的大小关系分类讨论） 即或时，不等式的解集为或 ； 当，即或时,不等式的解集为 当，即时，不等式的解集为或 . . . LOGO 19 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 （2）解关于的不等式: . 【解析】若 ，（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）则原不等式为 ，故解集为 . 若， . ①若 ， 当,即时，方程的两根为, , 原不等式的解集为 ｝； 当，即时，原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . . . LOGO 20 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 （2）解关于的不等式: . ②若 ，当,即时，原不等式的解集为或 ｝； 当,即时，原不等式可化为, 原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 综上所述，当 时（【会总结】在总结时，解集相同的情况要注意合并），原不 等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为或 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . . . LOGO 21 方法总结 名师点评 若与不等式对应的方程的根确定，但其大小不确定时，则通过讨论根的大 小去求不等式的解集；若一元二次方程的根不确定，则往往通过讨论根的判别式符 号（分,, 进行讨论）去求不等式的解集. LOGO 22 方法总结 【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤： [注意]　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． LOGO 23 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 变式1：已知关于的不等式 恰有三个整数解，则实数 的取值范围是( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】，由题意得 ， 当时，解得 , 若不等式恰有三个整数解，即为2，3，4（因为 ,若恰有三个整数解，则为2，3，4），则 ; 当时，解得 ， 若不等式恰有三个整数解，即为，，0，则 . 综上，的取值范围是或 . . . LOGO 24 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 变式2.［多选题］关于的不等式 的解集可能是( ) ACD A.或 B.或 C. D. 【解析】当时，（先讨论二次项系数是否为0）原不等式的解集为 ； 当时（的正负会影响不等式的解集），原不等式等价于 ， 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式化为，其解集为 . 当时，原不等式等价于，解得或 . 综上，当时，不等式的解集为 ；当或时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或．故选 ． . . . . . . LOGO 25 题型三：利用换元法转化为一元二次不等式求解 例1 解下列不等式： （1） ； 【解析】（1）：原不等式可化为，令 ，（【警示】注意换元后新元的范围） 则不等式可化为,解得 ， 又,,即, ． 故原不等式的解集为 }． . . （2） ； （3） ． LOGO 26 题型三：利用换元法转化为一元二次不等式求解 例1 解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ． 【解析】（2）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为,解得 ,又，,即, ． 故原不等式的解集为 ． 【解析】（3）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得或 （舍去）, ,或 ．故原不等式的解集为或 . 名师点评 本题通过换元，令分别等于,,，将所求解的不等式转化为关于 的一元二次不等式进行求解.要注意这里，，均为非负数，故均有，求出 的取值范围，进而可确定原不等式的解集． LOGO 27 题型四：三个“二次”之间的关系 例1若不等式 的解集是，则不等式 的解集是( ) C A. B. C.} D. 【解析】因为不等式的解集为 ， 所以方程的两实数根分别为和3，且 ，（由解集的形式得出 的正负） 所以解得 代入不等式，得 ， 即，解得 ， 所以不等式的解集为 }． LOGO 28 题型四：三个“二次”之间的关系 例2.若不等式 的解集为，则不等式 的解集为( ) A A. B.或 C. D.或 【解析】因为不等式的解集为 ，所以且和2是方程 的解，（三个“二次”之间的关系） 由根与系数的关系知，解得 所以不等式可化为 ，即，（之所以变号是因为 ，此处易错）即，解得，所以不等式 的解集为 ． LOGO 29 方法总结 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次不等式的解集可逆向推知它的系数所 满足的条件（即相应的一元二次方程的根、根的判别式的情况及二次项系数的正负 等），再利用根与系数的关系即可解决问题. LOGO 30 方法总结 高考拓展：三个“二次”之间的关系 LOGO 31 变1.(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是(　). 且 不等式的解集是 答案： 解：由题意，不等式的解集是， 可得－1，2是方程的两个根，且＜0，正确. ∴有，.解得，∴正确. 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把代入，可得， 因为，所以，即， 此不等式的解集为，不正确. 题型四：三个“二次”之间的关系 LOGO 32 题型四：三个“二次”之间的关系 变式2.［多选题］已知关于的不等式 的解集为或 ，则下列说法正确的是( ) AC A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 } D. 【解析】 关于的不等式的解集为或 ， 二次函数的图象开口向上，即 ，选项A正确； 由题可知方程的两个实数根为 ，4， 解得 则等价于 ， 又，， 不等式的解集为 , 选项B错误； LOGO 33 题型四：三个“二次”之间的关系 变式2.［多选题］已知关于的不等式 的解集为或 ，则下列说法正确的是( ) AC A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 } D. 不等式等价于，即 ，解得 或 ， 不等式的解集为或 ， 选项C正确； ， 选项D错误．故选 ． LOGO 34 课堂小结 二次函数与一元二次方程不等式(第1课时） 课堂小结 解一元二次不等式的流程图           （如果能因式分解，可以省略这一步） 方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 x1，x2（x1<x2） 方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 布置作业 （1）教材：P53页练习1,2题 P55页习题2.3：1,2,3,4,5题 （2）同步作业：优化方案 LOGO 37 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时） 38 复习巩固 解一元二次不等式的流程图           （如果能因式分解，可以省略这一步） 方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 x1，x2（x1<x2） 方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 口诀：大于取两边， 小于取中间 例1： 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的 的摩托车数量(单位:辆)与创造的价值(单位:元)之间有如下的关系： ，若这家工厂希望在一个星期 内利用这条流水线创收60000元以上，则应该生产 摩托车多少辆？ 【解】设一星期内生产摩托车辆，由题意有： ，整理得， 方程有两个实数根. 结合图像可知的解集为 {|} 题型一:一元二次不等式的实际应用 LOGO 40 例2：某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:米)和汽车刹车前的速度(单位: km/h)之间有如下关系:.再一次交通 事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么 这辆车刹车前的速度至少为多少？ 【解】根据题意得： ，整理得： ，方程有两个实数根， ， 结合图像可知的解集为 {|}，即车速至少为80 km/h. 题型一:一元二次不等式的实际应用 LOGO 41 方法总结 应用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，搞清量与量之间的关系，即找准 不等关系； （2）引进数学符号，建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题， 即构造一元二次不等式模型； （3）解这个不等式，得到实际问题的解. 变式1．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽应为多少米？ (第2题) 题型一:一元二次不等式的实际应用 LOGO 43 变式2．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 所以售价应大于或等于15元，且小于20元． 题型一:一元二次不等式的实际应用 LOGO 44 题型二:解分式不等式 LOGO 45 方法总结 解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解. 化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为 的形式. 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下. . . 特别地，形如的分式不等式，可同解变形为 ，故可转化为解 . 题型二:解分式不等式 变式1. 不等式 的解集为________________． 【解析】原不等式可化为 ，即 ． 即故 . 故原不等式的解集为 ． 原不等式等价于（【明易错】此处不要忽略分母不为0的限制） 变式2.解下列不等式： (1)(2) LOGO 47 题型三:解高次分式不等式 例1. 不等式 的解集为________________________． 或 【解析】 （不等式组法） 原不等式可化为 或 即或 解得或 . 故原不等式的解集为或 . LOGO 48 题型三:解高次分式不等式 例1. 不等式 的解集为________________________． 或 （穿根引线法） 方程 的根为，， ． 将， ，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数 轴右端的上方起，依次穿过这些点，则不等式的解集即 为曲线在数轴上方的部分对应的 的取值范围（如图 2.3- 2所示）． 故原不等式的解集为或 . LOGO 49 方法总结 利用穿根引线法解不等式的步骤如下： 分解 因式 将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因式） 的乘积的形式，并将各因式中最高次数的项的系数化为“ ”. 求根 求出相应方程的根，并在数轴上表示出来. 穿线 由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇过偶不过” 的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某 个因式是偶数次时，则不穿过数轴）. 得解 若不等式最高次数的项的系数符号化为“”后“ ”，则找“线”在数轴上 方对应的的取值范围；若不等式“”，则找“线”在数轴下方对应的 的取 值范围. . . 题型三:解高次分式不等式 变1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1)∵，∴，即 < ∴原不等式的解集为或 (2)原不等式可化为即 即由“穿针引线”法可得：原不等式的解集为或 LOGO 51 题型四:一元二次恒（能）成立问题 1 在 上恒成立问题 例1.若关于的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是___________. } 【解析】因为关于的不等式的解集是 ，则不等式 的解集为 ，（【巧转化】转化为不等式恒成立问题） 则，解得，所以实数的取值范围为 }. LOGO 52 题型四:一元二次恒（能）成立问题 例2. ［教材改编P58 T6］若对任意实数,关于 的不等式恒成立，则实数 的取值范围为_ _______________. LOGO 53 题型四:一元二次恒（能）成立问题 例2. ［教材改编P58 T6］若对任意实数,关于 的不等式恒成立，则实数 的取值范围为_ _______________. 【解析】（1）若（【明易错】此处易被忽略，当 时，所给不 等式对应的方程并不是一元二次方程） ，则.当时，原不等式为，解集为,满足题意；当 时，原 不等式为，解集为 },与题意不符. （2）若，即 ， 则当时，不等式的解集为，解得 . 综上，实数的取值范围是 . . . LOGO 54 方法总结 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间 上全部在轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 轴下 方.因此对于在 上的恒成立问题，主要有以下几种： （1）一元二次不等式对任意实数恒成立 （2）一元二次不等式对任意实数恒成立 （3）一元二次不等式对任意实数恒成立 （4）一元二次不等式对任意实数恒成立 注意:当不等式未说明为一元二次不等式时，对任意实数 恒成立应 满足的条件为或 LOGO 55 题型四:一元二次恒（能）成立问题 变式1.“”是“ ， 是假命题”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由“，是假命题”可得“ ， 是真命题”.（巧妙转化） 当，即时，不等式 恒成立； 当，即 时，则满足解得 . 综上可得， . 又“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“ ， 是假命题”的必要不充分条件. LOGO 56 题型四:一元二次恒（能）成立问题 2 在给定范围内恒成立问题 例1 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. 思路一 思路二 LOGO 57 题型四:一元二次恒（能）成立问题 例1 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. 【解析】 当时,不等式 恒成立， 只需求出函数 的最小值，令最小值大于0即可.（转化为熟 悉的二次函数求最值问题，这也是非常常见的求解方法，后续会逐步学习） 二次函数的图象的对称轴方程为 . 当，即时，函数在处取得最小值,则, , .当，即时，函数在处取得最小值 , ，解得, . 综上，实数的取值范围为 . LOGO 58 题型四:一元二次恒（能）成立问题 例1 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. （分离参数法）（利用分离参数法可避免分类讨论） , 由恒成立得 恒成立. ,当且仅当 ， 即 时等号成立， 的最大值为, . 故的取值范围为 . . . LOGO 59 题型四:一元二次恒（能）成立问题 3 在给定范围内能成立（有解）问题 例1 若关于的不等式在时有解，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】不等式在时有解，等价于当 时， . 由二次函数 的图象（如图2.3-3所示）知，当 时，，所以 . LOGO 60 方法总结 一元二次不等式在给定范围内的恒成立（有解）问题的处理策略 1.转化为相应二次函数在该范围内的最值问题<m></m>令<m></m>； （1）对任意<m></m>，<m></m>恒成立<m></m>； 对任意<m></m>，<m></m>有解<m></m>； （2）对任意<m></m>，<m></m>恒成立<m></m>； 对任意<m></m>，<m></m>有解<m></m>； 2.当不等式中的参数容易分离时，也可采用分离参数法求参数的取值范围. LOGO 61 题型四:一元二次恒（能）成立问题 变式1.若对于任意的，恒成立，则实数 的取值范围为( ) D A. B. } C.或} D. } 【解析】令, , 若, 恒成立； 当时，函数图象的对称轴方程为 , 若,当时最大，且 ,解得， ； 若,当时最大，且 , 解得， .综上所述，实数的取值范围为 . LOGO 62 题型四:一元二次恒（能）成立问题 变式2.设，若关于的不等式 在上有解，则 的取值范围为( ) B A. B. C.} D. } 【解析】 在上有解，即当 时,函 的最小值小于或等于0.二次函数图象的对称轴方程为 , 当，即时，，则 ，无解； 当，即时,,则，所以 ； 当，即时，，解得或 ， 所以 .综上所述，的取值范围为 ，故选B. LOGO 63 题型四:一元二次恒（能）成立问题 变式2.设，若关于的不等式 在上有解，则 的取值范围为( ) B A. B. C.} D. } （分离参数法） 转化可得在 上有解，只需， 又，当且仅当时等号成立，所以 的取值范围为 ， 故选B. LOGO 64 题型四:一元二次恒（能）成立问题 4 给定参数范围的恒成立问题 例1.若不等式对任意的恒成立，则 的取值范围为( ) A A.或 B.或 C. D. 【解析】由题得不等式对任意成立，将 视 为主元，构造关于的一次函数（此时将 看为参数，该 函数是单调的，一定在端点处取得最值）， 当时， ；当时， . 因为对任意 成立， 所以解得或 .所以的取值范围为或 . . . LOGO 65 方法总结 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选 谁当主元,求谁的范围,谁就是参数，即把变量与参数交换位置,构造以参数为变量的 函数,根据原变量的取值范围列式求解.若构造的函数为一次函数，则可以直接把所给 范围的两个端点值代入，化简求解即可. LOGO 66 课堂小结 二次函数与 一元二次方程 不等式(第2课时) LOGO 67 布置作业 （1）教材：P54页练习1题 P55页习题2.3：5,6题 （2）同步作业：优化方案 LOGO 68 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数合称为“三个‘二次’”，它们之间有着某种特定的联系，这种联系使得我们可以对它们进行相互联想，从多个角度来分析和思考有关的问题．具体关系如图所示． 例1.解下列不等式： (1) eq \f(x＋1,x－3)≥0； (2) eq \f(5x＋1,x＋1)<3. 【解析】(1)不等式 eq \f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3.即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式eq \f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq \f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq \f(2x－1,x＋1)<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． $