精品解析：广东省深圳市宝安实验学校2025-2026学年上学期九年级上学期12月数学月考试卷

广东省深圳市宝安实验学校2025-2026学年上学期九年级上学期12月数学月考试卷 一、选择题 1. 已知h关于t的函数关系式为h=gt2（g为正常数，t为时间）， 则如图中函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为g为正常数，t为时间，也是正数，所以函数h的值也是正数，图象只能是抛物线在第一象限的部分． 【详解】函数关系式h=gt2，（g为正常数，t为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线； 又因为t的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A. 3 B. -1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 4. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4＜x＜2 C. x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜-4或x＞2时，y＜0． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 5. 如果二次函数（a>0）的顶点在x轴的上方，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析： ∴二次函数开口向上. 又二次函数的顶点在轴上方，所以此二次函数与轴没有交点， 故选B. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 7. 已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1>y2>y3 B. y1<y2<y3 C. y2>y3>y1 D. y2<y3<y1 【答案】A 【解析】 【分析】对于开口向下的二次函数，在对称轴的右侧为减函数. 【详解】解：∵二次函数y= ∴对称轴是x=−,函数开口向下， 而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵-3＜x1＜x2＜x3， ∴y1，y2，y3的大小关系是y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】考点：二次函数的性质 8. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据抛物线的对称性解答③；根据对称轴是求出，再代入判断④；根据时，，可知，即可判断②；根据抛物线的开口方向，与 y 轴的交点，及对称轴判断的大小，判断①，进而得出答案． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，③正确； ， ， ， ， ，④正确； 由题意可知时，， ， ，故②错误； ∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方， ， ， ， ，故①错误； 故选：C． 二、填空题 9. 已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点．将它向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后对应的二次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换．平移的规律：左加右减，上加下减． 首先利用待定系数法求得函数的解析式，然后根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以这个二次函数解析式为， 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线解析式为：． 故答案为： 10. 一条抛物线，顶点坐标为（4，-2），且形状与抛物线y=x2+2相同，则它的函数表达式是______． 【答案】y=±（x-4）2-2 【解析】 【分析】由抛物线的顶点坐标是（4，-2），可设抛物线的表达式是y=±a(x-4)2-2，由抛物线的形状与y=x2+2相同，可得a=±1，从而可求出函数表达式. 【详解】∵抛物线的顶点坐标是（4，-2）， ∴设抛物线的表达式是y=±a(x-4)2-2， ∵抛物线的形状与y=x2+2相同， ∴a=±1， ∴y=±(x-4)2-2 故答案为y=±(x-4)2-2. 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 11. 若为实数，且，则代数式的最大值是_____． 【答案】26． 【解析】 【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式，求出z的值，即可解答 【详解】， (1）﹣（2）得，， 把代入（1）得，， 则， 当时，的最大值是26， 故答案为26． 【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则 12. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴， 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 分别计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； （2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； （3）用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 【答案】（1）如图所示，即为所求，． （2） 如图所示，即为所求，． （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作图，进一步可得的坐标. （2）根据位似图形的性质即可作图，进一步可得的坐标. （3）根据矩形与等腰三角形的性质画图即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：理由：由矩形的性质可得：， ∵， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换、位似变换，勾股定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，根据位似图形的性质准确画出图形是解题的关键． 16. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度．（计算结果精确到米，参考数据：，，， ）． 【答案】塔帽与地面的距离的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，求出的长是解答本题的关键．连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：，，，米， ， 四边形是矩形， ，米， ， ， 在中，， ， 设米，则米，米， ， ， 解得：， （米）， 答：塔帽与地面的距离的高度约为米． 17. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）如果，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、全等三角形、相似三角形，熟练应用菱形的性质是解题的关键． （1）首先利用菱形的性质得到对应边、对应角相等和对应边平行，进而得到，再利用平行和角度转化，即可得到； （2）首先利用可以得到，再利用平行线成相似三角形得到，进而得到，再利用即可得到； （3）首先利用菱形的性质得到，进而将转化为即可求解的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，，，， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴的长为． 18. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，据市场调查发现每月的销售量与售价的关系如下表： 售价（元） … 50 60 70 80 … 销售量（条） … 250 200 150 100 … （1）设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条.直接写出与的函数关系式（不要求写的取值范围）； （2）若每月利润为4000元，且让消费者得到最大的实惠，则定价多少元？ （3）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价定价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）定价为60元.（3）当定价70元时，每月获得最大利润为4500元. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出与的函数关系式即可， （2）根据题意列出方程，并求解即可， （3）题干要求每月获得的利润最大，对利润列式，并配方求最值即可. 【详解】解：（1）设每条裤子的售价为元（为正整数），根据图表可知售价每增加10元则有销量减少50条则有； （2）， 解得：，， 而为了让顾客得到最大实惠，故. （3） ∵，∴有最大值， ∴时，. 答：当定价70元时，每月获得最大利润为4500元. 【点睛】本题考查一元二次方程实际应用中的经济利润问题，根据题意列出一元二次方程，并运用解二次方程的解法求解即可. 19. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 20. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=； 【方法应用】①证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【解析】 【分析】问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②作于点，在直角三角形中，求出，，设，利用勾股定理列方程，求出，，再分三种情况讨论：若，时，利用等腰三角形的定义直接求解；若，时，作于点，利用锐角三角函数求解；若，时，利用相似三角形求解． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①略 ②作于点， ，， ，， 设，则 ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时，， 作于点， ∴， ， ， ； 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市宝安实验学校2025-2026学年上学期九年级上学期12月数学月考试卷 一、选择题 1. 已知h关于t的函数关系式为h=gt2（g为正常数，t为时间）， 则如图中函数的图像为（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 3. 若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ） A. 3 B. -1 C. D. 4 4. 函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4＜x＜2 C. x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 5. 如果二次函数（a>0）的顶点在x轴的上方，那么（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1>y2>y3 B. y1<y2<y3 C. y2>y3>y1 D. y2<y3<y1 8. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 9. 已知二次函数图象的顶点在坐标原点，且图象经过点．将它向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后对应的二次函数的表达式为______． 10. 一条抛物线，顶点坐标为（4，-2），且形状与抛物线y=x2+2相同，则它的函数表达式是______． 11. 若为实数，且，则代数式的最大值是_____． 12. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 三、解答题 13. 解方程：． 14. 计算：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； （2）以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； （3）用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 16. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度．（计算结果精确到米，参考数据：，，， ）． 17. 如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）如果，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求． 18. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，据市场调查发现每月的销售量与售价的关系如下表： 售价（元） … 50 60 70 80 … 销售量（条） … 250 200 150 100 … （1）设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条.直接写出与的函数关系式（不要求写的取值范围）； （2）若每月利润为4000元，且让消费者得到最大的实惠，则定价多少元？ （3）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价定价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ 19. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 20. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $