(4)平面的基本事实、空间中的平行关系、空间中的垂直关系-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修3+4同步周测卷（人教B版）

高一同步周测卷/数学必修第四册 (四)平面的基本事实、空间中的平行关系、空间中的垂直关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知空间中两个角a,3的两边对应平行，且α=30°，则3= A.30° B.60° C.1209 D.30°或1509 2.已知空间中A,B,C,D,E五点不共面，且A,B,C,D在同一平面内，B,C,D,E在同 一平面内，那么B,C,D三点 A.一定构成三角形 B.一定共线 C.不一定共线 D.与A,E共面 3.已知点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点，若AC BD,且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是 A.梯形 B.空间四边形 C.正方形 D.有一内角为60°的菱形 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC,且α交线段PA,PB,PC于点 A',B',C,若PA':AA'=2:3,则S△A'B'C:S△ABC= A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 5.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,则棱BB1到平面AA1C1C的距离为 3 a B.a D.√2a 数学（人教B版）必修第四册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.已知正方体ABCD一A1B,C1D1的体积为1，点M在线段BC上且异于点B,C,点N 在线段CC,上，且CN=了，若平面AMN截正方体ABCD-ABCD所得的截面 为四边形，则线段BM长的取值范围为 A[) B [哈引 D co,】 n.o号1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.设α，3是两个平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A.若a∥B,m⊥3，则m∥a B.若m⊥a,n⊥a,则m∥n C.若m∥a,n∥a,则m∥n D.若n⊥a,nLB,则a∥B 8.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，底面为 矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称 为“鳖臑”.如图在堑堵ABC一A1B1C1中，ACBC,且AA1=AB=2,则 A.四棱锥B一A1ACC为“阳马” AY B.四面体A1CCB为“鳖臑” C C.若M为线段AC上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为60° D.过A点分别作AE⊥A,B于点E,AF⊥AC于点F,则EF ⊥A1B 班级 姓名」 分数 题号 2 3 4 5 6 7 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知a,b是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①b∥a;②a⊥a;③a⊥b. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命 题： 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第四册第2页（共4页） 10.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体 的面角，角度用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为于，所 以正四面体在各顶点的曲率为2π一 X3=元.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AD=2PA,PC与底面ABCD所成的角为，则在四棱锥 P一ABCD中，点B的曲率为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在正四棱台ABCD一A,BC1D1中，E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC 的中点 (1)证明：E,F,G,H四点共面 D (2)证明：GE,HF,BB1相交于一点 E B D Q B 数学（人教B版）必修第四册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC1一ABC中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC 的中点 (1)求证：BA1∥平面C1AD: (2)求二面角A,一BC-A的正切值. B 13.(本小题满分20分) 如图，在四棱锥E一ABCD中，侧面ABE⊥底面ABCD,△ABE为等边三角形，四 边形ABCD为正方形，且AB=2,F为CD的中点. (1)证明：AB⊥EF; (2)求点B到平面CDE的距离. 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第四册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 高一同步周测卷/数学必修第四册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) [ ⅢW ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 等角定理 / 易 0.80 选择题 判定三点共线 易 0.75 3 选择题 平行传递性的应用 易 0.72 4 选择题 面面平行的性质 中 0.65 5 选择题 5 求线面距 中 0.55 6 选择题 几何体的截面问题 难 0.28 选择题 6 空间位置关系的 易 0.72 判定 几何体中的位置关 8 选择题 6 中 0.45 系（数学文化） 与平行、垂直有关的 9 填空题 5 易 0.75 开放题 与线面角有关的数 10 填空题 5 中 0.35 学文化题 点共面、线共点的 11 解答题 13 易 0.72 证明 线面平行的证明，求 12 解答题 15 中 0.55 二面角 线线垂直的判定，等 13 解答题 20 体积法求点到面的 / / / / L 中 0.40 距离 ·35· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 接AC,正方形中AC1⊥B:D,,又AA:⊥平面 1.D【解析】由等角定理得，α，β相等或互补，所以β= ABCD,BD1C平面ABCD1,所以AA1⊥ 30°或150°.故选D. B1D,AA1∩AC=AL,AA1,A1CC平面AACC, 2.B【解析】设平面ABCD为a,平面BCDE为B,且 所以B1D⊥平面AA1CC,所以BO的长即为棱 A,B,C,D,E不共面，则BCCa,CDCa,BCCB,CDC 之a,所以所 B,则a,B必相交于直线I,且B∈l,C∈l,D∈l,故B, BB到平面AACC的距离，而B,O=a, C,D三点一定共线且位于平面ABCD与平面BCDE 求距离为2 a.故选C 的交线上，故选B. D 3.C【解析】 D D B F 6.D【解析】要想平面AMN截正方体ABCD-AB,CD 因为点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB, 所得的截面为四边形，则要平面AMN与正方形 BC,CD,AD的中点，所以FG∥BD,EH∥BD,HG∥ BCC1B,,ADD1A分别交于MV,AR,显然与正方形 AC,EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形 ABBA,无交线，只需保证与正方形ABCD1无交 EFGH是平行四边形，又AC与BD所成角的大小为 线即可， 90°，所以HG与FG所成角的大小为90°，即FG⊥ DI C HG,所以四边形EFGH是矩形，又AC=BD,FG= 号BD,HG=号AC,所以FG=HG,所以四边形EF R GH是正方形.故选C. 4.D【解析】由已知可得，平面a∥平面ABC,平面 PAB∩a=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,根据面 D 面平行的性质定理可得，AB/Ag,且铝-头 忌，同理可得，BC/BC,AC/AC,根据等角定理 因为平面BCCB∥平面ADD1A,平面AMNR与 两个平面分别交于MN,AR,由面面平行的性质可得 可得，∠BA'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC, ∠A'C'B′=∠ACB,所以△ABC△A'B'C',所以 MN∥AR,因为点N在线段CC上，且CN=号，由 S△BC:S△Bc=(A'B′)2：(AB)2=4:25.故选D. 几何关系知，随着BM的增大，DR增大，故当R与D 5.C【解析】如图，连接A1C1,BD1,它们交于点O,连 重合时，BM最大，因为正方体ABCD一ABCD的 ·36· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 体积为1，所以正方体棱长为1，如图所示，由于MN AM与BC所成角的大小恒为90°，故C错误；对于D, ∥AD,放△ADD,∽△MCN,放CM=CN=号，故 由A的解析可知，BC⊥平面AACC,又AFC平面 AACC,所以BC⊥AF,因为AC∩BC=C,AC,BC BM最长为号，故BM∈(O,号]，故选D C平面ABC,所以AF⊥平面ABC,又A1BC平面 D ABC,所以AF⊥AB,因为AE∩AF=A,AE,AFC 平面AEF,所以AB⊥平面AEF,因为EFC平面 B AEF,所以EF⊥A1B,故D正确.故选ABD, 三、填空题 9.①②→③（或②③→①）【解析】已知a,b是平面a 外的两条不同直线，将所给论断选出两个作为条件， 余下的一个论断作为结论，得到如下三个命题：①② →③，即如果b∥a,a⊥a,则a⊥b.此命题正确，证明 二、选择题 如下：过b作一个平面B,使得B∩a=c,如图， 7.BD【解析】对于A,因为a∥B,m⊥B,则m⊥a,所以 A错误；对于B,因为m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质 知，m∥n,所以B正确；对于C,因为n∥a,n∥a,则m 与n可能是异面直线，也可能是相交直线，所以C错 误；对于D,因为n⊥a,n⊥B,垂直于同一直线的两个 平面互相平行，所以D正确.故选BD. :b∥a,bCB,β∩a=c,∴.b∥c,又a⊥a,cCa,可得a⊥ 8.ABD【解析】对于A,因为CC1⊥平面ABC,AC,BC c,则a⊥b. C平面ABC,所以CC⊥BC,CC⊥AC,所以四边形 ②③→①，即如果a⊥a,a⊥b,则b∥a.此命题正确. A1ACC为矩形，又因为AC⊥BC,CC∩AC=C, 证明如下：过b作一个平面y,使得y∩a=m,如图， CC,ACC平面A1ACC,所以BC⊥平面AACC,所 以四棱锥B-AACC为“阳马”，故A正确；对于B, 连接BC,由选项A的解析可知，BC⊥平面 AACC,又A1CC平面AACC,所以BC⊥AC,即 △ABC是直角三角形，由选项A的解析可知，AC⊥ BC,CC⊥AC,又CC∩BC=C,CC,BCC平面 a⊥a,mCa,a⊥m,又a⊥b,b,mCy,∴.b∥m,b BBCC,所以AC⊥平面BBCC,因为AC∥AC, 中a,mCa,∴.b∥a. 所以A1C1⊥平面B1BCC1,又BCC平面B1BCC, ①③→②，即如果b∥a,a⊥b,则a⊥a.此命题不正 所以AC⊥BC,即△ABC是直角三角形，又 确，a与a相交、平行、垂直均有可能。 △ACC、△BCC都是直角三角形，所以四面体 10.8 【解析】设PA=1,则AD=√2PA=√2，：PA ACCB为“鳖臑”，故B正确；对于C,由选项A的解 ⊥平面ABCD,∴.∠PCA即为PC与底面ABCD所 析可知，BC⊥平面AACC,因为M为线段A1C上 的动点，所以AMC平面AACC,所以BC⊥AM,即 成角，即∠PCA=否， ·37· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 因为GEC平面AA1B:B, 所以P∈平面AA1BB, (9分) 因为HFC平面BBCC, 所以P∈平面BB,CC, 、55 D 又平面AABB∩平面BBCC=BB, C 所以P∈BB, PC=PA=2,AC=- PA n =√5，.AB tan n 则GE,HF,BB交于一点. (13分) 6 12.解：(1)设AC∩AC1=O, √JAC-BC=√AC-AD=1,.tan∠PBA= 则O是AC的中点， =1,∠PBA=于.：PA⊥平面ABCD,BCC 连接OD, 平面ABCD,.PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB= 又D是BC的中点， A,PA,ABC平面PAB,BC⊥平面PAB,PBC ∴.OD∥BA1, (3分) 又，BA1寸平面C1AD,ODC平面CAD, 平面PAB,PB⊥BC,即∠PBC=,又∠ABC= .BA∥平面C1AD. (6分) 受点B的曲率为2x一牙一受一受-买 C 四、解答题 11.解：(1)连接AC,AC,如图所示， 0 D C A B D (2)连接AD, AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, A G .'AA⊥平面ABC,BC,ADC平面ABC, 因为ABCD-A1BCD1为正四棱台， 所以AC∥AC, .AA⊥BC,AA⊥AD, (8分) 又E,F,G,H分别为棱A1B,BC,AB,BC的 AA∩AD=A,AA1,ADC平面AAD, .BC⊥平面AAD, 中点， 所以EF∥AC,GH∥AC, (3分) 而ADC平面AAD, 则EF∥GH, (5分) 故BC⊥AD, 所以E,F,G,H四点共面 (6分) ∴.∠ADA是二面角A1一BC-A的平面角， (2)因为AC1≠AC, (11分) 所以EF≠GH, 在R△AA,D中，AA=4,AD=号BC 所以EFHG为梯形，则GE与HF必相交.(7分) 设GE∩HF=P, V2+2-E, ·38· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· tan∠ADA=AA=A=22, .EM⊥平面ABCD, (11分) AD√2 :四边形ABCD为正方形， ∴二面角A-BC-A的正切值为2√2. (15分) .BC⊥CD,且BC=CD=2, 13.解：(1)取AB的中点M,连接EM,MF, 在R△EMB中，EB=AB=2,BM=号AB=1, △ABE为等边三角形， .EM⊥AB, (2分) ∴.EM=√EB-MB=√3， 四边形ABCD为正方形， 故VE-eD= 号Sam·EM=×合X2X2X= AD⊥AB, 25 :AD∥MF, 3· (14分) ∴AB⊥MF, (5分) .AB⊥EF,AB∥CD, 又ME∩MF=M,ME,MFC平面MEF, .CD⊥EF, .AB⊥平面MEF, (7分) 由勾股定理得EF=√EMP十MF产=√3+4=√T, :EFC平面MEF, ∴.SACDE= (16分) .AB⊥EF. (8分) 2CD·EF=7, E 设B到平面CDE的距离为h, 则VB-DE=VE-cD 2w3 3 D 即号SaE·h=2 3, 解得h=2②红 7 (2)连接BD, 即点B到平面CDE的距离为2四 (20分) 7 :平面ABE⊥底面ABCD,平面ABE∩底面ABCD =AB,EM⊥AB, ·39·