(5)复数-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)复数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知之= 则 2+i A多+ B 2.2023一2024= A.1+√2i B.1-√J2i C.-1-i D.1-i 3.欧拉公式e=cos0+isin0由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚数单 位i与三角函数cos0,sin0联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数=√，则： 的虚部为 A.i B.1 c √2 0.2 4.若a,b∈R,i是虚数单位，a+2024i=2一bi,则a2十bi= A.2024+2i B.2024+4i C.2+2024i D.4-2024i 5.在复平面内，复数之和(2一)i表示的点关于虚轴对称，则复数之= A.1+2i B.-1+2i C.-1-2i D.1-2i 6.已知复数1=2一i,2=1+2i,3在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边形 OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为 A.10 B.√5 C.5 D.10 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知复数之1，x2,则下列命题正确的是 A.若|x1=2,则1=士2 B.若之1=2，则之12|=|之| C.若1是非零复数，且=1之2，则之1=2 D.若是非零复数，则十1≠0 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 8.已知x=a十bi(a,b∈R,i是虚数单位)，1，x2∈C,定义：D(x)=|a|十b,D(1,x2) =1一2，则下列命题正确的是 A.对任意之∈C,都有D()>0 B.若之是复数之的共轭复数，则D(x)=D(之)恒成立 C.若D(1)=D(2),则之1=2 D.对任意1,2,3∈C,结论D(1,3)≤D(1,2)十D(2,3)恒成立 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.设之是复数且|之-1十2i=1,则z的最小值为 10.著名数学家棣莫佛(Demoivre,1667~1754)出生于法国香槟，他在概率论和三角学方 面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：[r(cos0+isin0)]"="(cos0十 isinn),其中r>0,n∈N.根据这个公式，则(cos是十isin)= ;若 [r(cos至+isin)]=-16,则r= .(本题第一空2分，第二空3分)》 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知复数之=m2十m一6十(m2十5m十6)i(i为虚数单位)，求适合下列条件的实数m 的值. (1)x为实数； (2)x为虚数； (3)x为纯虚数； (4)若之在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围 高一同步周测卷五 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知复数1,2在复平面内所对应的点分别为Z,Z2,O为坐标原点，i是虚数单位. 已知关于x的二次方程x2-(tan0+i)x-(i+2)=0. (1)若1=1+2i,2=3-4i,求x12与OZ,·OZ2的值； (1)当0为何值时，这个方程有一个实根？ (2)设=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R),求证：OZ·OZ2|≤|12，并指出向量 (2)是否存在0，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出0的值；若不存在，试说明 OZ,OZ满足什么条件时该不等式取等号. 理由. 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷五 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 复数的除法运算，共 1 选择题 易 0.80 轭复数 2 选择题 5 i的周期性 易 0.75 求复数的虚部（数学 3 选择题 易 0.72 文化) 4 选择题 5 由复数相等求参 中 0.60 由复数对应点的对 5 选择题 5 中 0.55 称性求复数 6 选择题 复数与向量的综合 中 0.40 7 选择题 6 复数的性质 易 0.80 8 选择题 6 复数的新定义问题 中 0.65 9 填空题 5 求复数模的最值 易 0.72 10 填空题 5 复数的三角形式 中 0.35 11 解答题 13 由复数的分类求参 易 0.75 12 解答题 复数与向量的综合 15 中 0.50 应用 复数方程的综合 13 解答题 20 中 0.40 应用 春考答案及解析 一、选择题 1.D【解折】为=告-得带= 2+i_(2+i)(1+i) -ms子+m于-号+号.所以：的虚部为号故 42 选D. 多i,所以=子一子故选D. 4.D【解析】因为a十2024i=2-bi(a,b∈R),所以 a=2 2.C【解析】023-i2024=2022·i-2024=(平)1011·i 6=-2024,所以口+i=4 /a=2 即 -b=2024 -(i)012=(-1)101·i-(-1)1o12=-i-1.故 2024i.故选D. 选C 5.B【解析】由题意可得(2-i)i=2i一i=2i十1对应 3.D【解析】因为z==(e)号=e平=e,又e ·19· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 的点为(1,2)，该点关于虚轴对称的点为（一1,2）， 所以复数x对应的点为（一1,2），所以x=一1十2i. 故选B. 6.A【解析】因为复数=2-i,2=1十2i,在复平 面上对应的点分别为A,B,C,所以A(2,1),B(1, 2),设C(x,y),因为四边形OABC为平行四边形(O 为复平面的坐标原点)，所以AB=OC,所以（一1,3） x=-1 =(x,y),所以{ y=3 ,所以之=-1十3i,所以 10.i2 【解析】(cos是+isin恶)”=cos(6×是)十 |x|=√(-1)+3=√10.故选A. 二、选择题 isn(6x登)=cos受+isin受=i[r(cos于十 7.BC【解析】对于A,若=1十i,2=√2i,显然满足 isin(1-16. |≈|=|2|，但≠士2，故A错误；对于B,设 r=2. =a十bi(a,b∈R),则x2=a-bi,x1=（a+bi)(a 四、解答题 bi)=a2十b,故x12=a2十b2,而x2=a2十b2,故 11.解：(1)当之为实数时，m2十5n十6=0， B正确；对于C,由号=12，可得号一12=( 解得m=-3或m=一2. (3分) g)=0,因为是非零复数，故一x2=0,即x (2)当：为虚数时，2十5m十6≠0， 2,故C正确；对于D,当1=i时，1是非零复数，但 解得m≠-3且m≠一2. (6分) m2+m-6=0 1十=i计=一i=0,故D错误，故选BC (3)当为纯虚数时，{ m2+5m+6≠0 8.BD【解析】对于A,当x=0∈C时，D(x)=0+0= 解得m=2. (9分) 0,所以A为假命题；对于B,易知乏=a-bi,则D() m2十m-6<0 (4)由题意得{ =D()=|a+1b,所以B为真命题；对于C,由于 m2+5m+6>0 D()=D(②)成立，且x和不一定相等，所以C为假 解得-2<m<2, 命题；对于D,依题意D(1之)=一，D() 即m的取值范围为(-2,2). (13分) =1一2|，D(x2,)=一|，根据复数减法的 12.解：(1)由题得x1=(1十2i)(3-4i)=3-4i+6i 模的几何意义可知，1一|表示复数和对应 -8=11+2i, (3分) 两点间的距离，一？|表示复数和2对应两点 且0Z=(1,2),0Z2=(3,-4), 间的距离，一表示复数2和x对应两点间的 所以0Z·0Z=1×3+2×(-4)=-5.(6分) 距离.根据三角形两边之和大于第三边可知一2 (2)因为1=a十+bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R), 所以x1x2=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+ 十一>一，当2对应的点在和对 (ad-bc)i, 应的两点连成的线段上时，1一|十2一|= 可得|x1x2|2=(ac-bd)2+(ad十bc)2,(9分) -|,所以D(1,z3)≤D(1,z2)十D(2,4)成立， 因为0Z=(a,b),0Z=(c,d), 所以D为真命题.故选BD. 三、填空题 所以oZ·oZ=ac+bd,1oZ.oZ12= (acbd)2, (12分) 9.√5一1【解析】根据复数模的几何意义，可知 因此|x212-1oZ.02Z| |x-1十2i川=1表示复平面内以(1，-2)为圆心，1 =(ac-bd)+(ad+bc)2-(ac+bd)2 为半径的圆，而|x表示复数之到原点的距离，由图 =(ad+bc)2-4abcd=(ad-bc)2≥0， 可知，|z|mm=√12十(-2)2-1=√5-1. 所以|OZ.OZ2|≤|x1x|,当且仅当ad=bc时取 ·20· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 等号， =-1. (10分) 此时向量oZ,oZ满足OZ∥oZ. (15分) (2)假定方程有纯虚数根i(b∈R,且b≠0)， 13.解：(1)设x是方程的一个实根， 代入原方程得(bi)2-(tan+i)·bi-(i+2)=0, 则x-(tan0+i)xo-(i十2)=0， 即-b+b-2-(btan0+1)i=0. 即(x8-tan0·xo-2)-i(xo十1)=0. -b2十b-2=0 由复数相等的意义知〈 -(ban0+1)=0 (16分) /z6-tan0·xo-2=0 根据复数相等的意义知 x+1=0 但方程-b2十b-2=0即b-b十2=0无实数解，即 (5分) 实数b不存在. 解得w=-1,ian0=1,0=kr十平(k∈Z). 所以对任何实数日，原方程不可能有纯虚数根 (20分) 所以当9=π十平(k∈Z)时，原方程有一个实根x ·21·