(4)三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (四)三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=cos2x十sin2x的最小值是 A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 2.已知角a的终边经过点P(一3,4)，则tan2a= A号 c.- 4 D.- 7 3.已知sin sin=号eos(a-g=号，则cos(a+)= c 23 D.- 25 4已知a=}士an18 i-tan18,b=2cos233°-1，c= /1+cos 56 2 ,则 A.a>c>b B.c-ab C.a>b>c D.b>a>c 5.在△ABC中，若sinC(cosA+cosB)=sinA十sinB,则△ABC的形状一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知0<p<a<受，点P(1,45)为。终边上一点，且sin asin(受-P)十cosa· o经+=则g A B君 C. D. 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7下列式子计算结果为号的有 A.sin240° B.sin23°cos37°+cos23°sin37° C.3sin150°.1-tan15° 1+tan 153 D.6os是-eos段 8.若sina十sin月= 3(cosB一cosa),且a∈(0，π)，8∈(0，π)，则下列结论中正确的有 A.a-B=- 2π 3 Bag产受 C.tan D.tan 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） - 9.若cosl=片，要<0<3m,则sm号 - coS 2 .(本题第一空 2分，第二空3分)》 10.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜 爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割 D C 构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫 a B 格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分 三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用 A,B,C,D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4：3，设∠CAB=a,则 1十cos2c-tana= sin 2a 高一同步周测卷四 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 尼知sma=号osg-)侣且a∈o》9E(侵x小 √/5 (1)求cos2a,sin2a; (2)求α+β. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin2xcos9-cos2 rsin,其中|<乏，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知条件，使f(x)存在，并完成下列两个问题. (1)求o的值： (2)若m>0,函数f(x)在区间[0，m]上的最小值为一号，求实数m的取值范围。 条件①：对任意的x∈R,都有f(x)≤f)成立： 条件@：（任）=： 条件③：f)-f-否)=2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块OMN,现要分割出一块矩形ABCD, 其中点A,B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN. (1)若点A,B分别为弧MN的两个三等分点，求矩形ABCD的面积S; (2)设∠AOM=0(0<<T),当0为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为 多少？ D 一同步周测卷四 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）】高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 辅助角公式的应用 易 0.80 利用倍角的正切公 选择题 易 0.75 式求值 和差角的余弦公式 选择题 易 0.72 的应用 三角变换与比较大 4 选择题 5 中 0.55 小的综合 利用三角恒等变换 5 选择题 5 中 0.45 判断三角形形状 三角恒等变换知式 6 选择题 5 中 0.30 求角 7 选择题 6 知角求值 √ 中 0.50 三角恒等变换知式 选择题 6 0.28 求角、知角求值 轻 9 填空题 5 利用半角公式求值 易 0.71 由倍角的正，余弦公 10 填空题 5 式求值（数学文化 L L 中 0.35 题) 给值求值、给值求角 11 解答题 13 中 0.60 问题 由三角变换化简三 12 解答题 15 角函数式，由三角函 的 0.45 数的最值求参 利用三角变换解决 13 解答题 20 平面儿何中的最值 难 0.25 问题 ·13· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 >0,所以c0sC=0,因为Ce0,x),所以C=受，所 1.B【解析】由题知，f(x)=cos2x十sin2x=√2sin2x 以△ABC为直角三角形.故选B. 6.D【解析】由题意知OP|=?(O为坐标原点)， 十牙)，故f()的最小值为一区.故选B 2.A【解析】因为ana=一专，所以an2a一一1m。 4 2tan a sna=y95,sa=分，”sin asin(受-)十 2x(-) 0 cos(告+p）-3,i- 1() 24.故选A 7 3 14 ,sima-g-,0<gKa<号∴0Ka-日 3.B【解析】因为s5 inin=号，os(a-9)=月 <受osa-0=厂-na-是∴smg= 十sin asin=计号-号，解得co0s月= sinLa-(a-B)]=sin acos(a-B)-cos asin(a-B)= 号，因此，cos(a+B)=-cos acos--sin asin月 2 5 ×鲁×-90<9<受∴g=吾故 吉=日故选R 选D. 二、选择题 玉A【解折】由厦知a=法僵=行十1)= 7.BCD【解析】对于A,sin240°=sin(180°+60°)= tan63°，b=2cos233°-1=cos66°=sin24°，c= sn60=号放A错误：对十Bsn23cas37P十 /1+cos56° 2 =√cos'28=cos28°=sin62°，所以 cos23sin37°=sin(23°+37°)=sin60°=5， ，故B正 tan63>tan60°=3，sin24°<sin30°= 2’2 确：对于C,n150·福=3×子× sin62°<1，所以a>c>b.故选A. 5.B【解析】由已知得sin Ccos A十sin Ccos B=sin(B tm(46-15)=是×号-号，故C正确：对于D, +C)+sin(A+C),所以sin Ccos A+sin Ccos B= cos' 是-co晋=os是-cos(受-是) sin Bcos C+cos Bsin C+sin Acos C+cos Asin C, 以sin Bcos C十sin Acos C=0,所以(sinB+ o时是如危=c0青=冬，放D正确，故 sinA)cosC=0,因为A,B∈(0，π)，所以sinB+sinA 选BCD. ·14· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 8C【解折】因为ma十s如g一号(o c,所 所以sin2a>0, 所以sin2a=V-os2a=号 (6分) 以2sns-g(-2sin2n9）,因 2 (2)由a∈(0，)e(5,m) 为a∈(0，r),8∈(0，m),所以e(0,),,e 2 可得A-ae(0,x)a十8e(受，)， (-受，受)，从面sim时≠0，于是m“2=5,所 普，9分) 所以sin(g-a)=V-cos(ga)=7 以2=受，从而ag=经故选BC 3 sin(a++B)=sin 2a+(B-a)=sin 2acos(B-a) 三、填空题 9.- /15 /10 5 5 【解析】因为5<0<3元， 2 (11分) 1c0s91=弓，所以cos0<0,os0=-日，因为平< 1 因为a叶c(受，) 号<牙，所以sin号<0，os号<0，sim号 所以a十日=买 (13分) 1-所以血号=一，所以号 2 12.解：(1)由f(x)=sin2xcos9-cos2xsin9= sin(2x-), /1+cos 0 /10 2 5 若选条件①： 10.12 【解析】设照片长为4，宽为3，则由题意得BC 可知当x=子时，f(吾)=sin(-)=1, 0.618 0.618 =3X1+0.618+AB=4X1+0.618+,所以 则5-g=受十2kx,k∈Z tan a= 2cos'a Q>BC=3,所以o2。-tana2 sin acos a sin 2a 即g=若-2k,k∈Z, 134 37 -tan a= -tan a= tan a 3-4=3-=12 因为<受，所以9=晋， 4 四、解答题 故选条件①时f(x)存在，此时9-=石 (7分) 1.解：①D由题意知，os2a=1-2sina=号，(3分) 若选条件②： 因为a∈(0， ()=sin(-)=cos=-2, 所以2a∈(0，π)， 解得=要+2km或g=号+2xkEZ。 ·15· ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 因为<乏，所以与条件矛盾，故不选②.(7分) 若选条件③： f(5）-f(-吾)=sin(-）-sin(-受-e） =sim[r-(号+g)门]+sim(号+g) =sin(号+9）+sin(号+p）=2, 由于点A,B分别为弧MN的两个三等分点，四边形 ABCD为矩形，即A,B关于直线OH对称， 所以sin(牙+p）=1, 则∠AOB=若，∠A0H=登， 则琴十9=受+2k元，k∈Z, 则AB=2sin是，0H=cos歪， (3分) 即p=晋+2kx,k∈乙， 而∠MON=受， 因为<受，可得g=, 故△OED为等腰直角三角形， 故条件③能使(x)存在，此时9=晋 (7分) 则OE=DE=AB=sin是， (2)由1)知，f(x)=sin(2x-否)， 故EH=OH-OE=cos是-sin登 (6分) 当x[0,m时，2-晋∈[-吾2m-吾] 则S=AB·EH=2sin是cos是-2sin是=sm若 又f(x)的最小值为-立， 1 -1+cos吾- 2 (8分) 所以可得2m- (12分) (2)因为∠AOM=(0<0<平)， 解得m<专， 则∠AOH=于-9(0<K平)， 又m>0, 故AB=2AH=2sin(于-0)，0H=cos(交-9）， 所以0<m<号， OE=DE=号AB=sin(T-0), 所以m的取值范用为(0，季]， (15分) 故EH=OH-OE=cos(于-8）-sin(开-) 13.解：(1)作OH⊥AB,垂足为H,交CD于E,连 接OB, =oscos0+sinsin-sincos+cossin0 ·16· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· =√2 sin 0, (13分) 故当20叶牙=受，即0=若时sin(20+于)取最 则S=AB·EH 大值√2， =2sin(年-0）·V2sin0 即当0=时，矩形ABCD的面积S最大，S一巨-1. =sin 20++cos 20-1 (20分) =2sin(20+于）-1， (16分) 因为0<<只，所以平<29+干<要 ·17·