(10)随机事件和样本空间、随机事件的概率、互斥事件和独立事件-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (十)随机事件和样本空间、 随机事件的概率、互斥事件和独立事件 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列事件中是随机事件的是 A.所有五边形的内角和为360° B.通常加热到100℃，水沸腾 C.袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球 D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 2.下列实验中，是古典概型的有 A.某人射击中靶或不中靶 B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C.10名同学用抽签法选一人去参加会议 D.从区间「1,101上任取一个实数，求取到1的概率 3.盒子中有四张卡片，分别写有“笔”“墨”“纸”“砚”四个字，有放回地从中任取一张卡 片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡 片后停止的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4 代表“笔”“墨”“纸”“砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机 模拟产生了以下20组随机数： 343432314134234132243331112324 342241244342124431233214344434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为 40 B局 c n 4.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉 器上，盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示， 每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个 单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的 路线到达点B的概率为 A.16 B.8 C.4 8 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 5.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是 取球方式 结果 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回 地依次取2个球 球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白 个球 球→乙胜 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个 游戏3 地依次取2个球 球不同色→乙胜 A.游戏1和游戏3 B.游戏1 C.游戏2 D.游戏3 6.为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答 对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答 题结果互不影响.已知每题甲，乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为 2,则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是 A是 B号 c 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的 点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果，定义事件：A=“x十y 为奇数”，B=“x=y”,C=“x>4”,则 A.P(A)=3P(B) B.A与B互斥 C.A与B相互独立 D.B与C相互独立 8.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α< 1),收到0的概率为1一a;发送1时，收到0的概率为(0<31)，收到1的概率为1 一B.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次， 三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传 输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例 如，若依次收到1,0,1，则译码为1)，则以下说法正确的是 A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1一a)(1一) B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1一3) C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1一β)2+(1一β)3 D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传 输方案译码为0的概率 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 高一同步周测卷十 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相 同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和 40%,则小明从布袋中随机摸出一球，摸到白色球的概率为 10.如图所示，由X到Y的电路中有4个元件，分别为A,B,C,D.若A,B,C,D能正常 工作的概率都是号，记事件N=“X到Y的电路是通路”，则P(N)= B D 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 11.(本小题满分13分) 为了备战第33届夏季奥林匹克运动会(2024法国巴黎奥运会)，中国奥运健儿刻苦 训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率. 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一 方先胜三局则比赛结束.假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛 乙班获胜的概率为3· (1)求至少需要进行四局比赛才能结束的概率； (2)若前两局已战成平局，求还需进行三局比赛才结束且乙班获胜的概率. 13.(本小题满分20分) 已知关于x的二次函数f(x)=mx2-nx-1,集合M={1,2,3,4},N={一1,2,4， 6,8},若分别从集合M,N中随机抽取一个数m和n,构成数对(，n). (1)列举数对(m,n)的样本空间，样本点共有多少个？ (2)记事件A为“二次函数f(x)的单调递增区间为[1，十∞)”，求事件A的概率； (3)记事件B为“二次函数f(x)=mx2一nx一1的最小值小于一2”，求事件B的 概率， 高一同步周测卷十 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（十） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 随机事件的辨析 易 0.80 2 选择题 5 古典概型的辨析 易 0.72 利用随机数模拟 选择题 5 中 0.65 概率 计算古典概型问题 4 选择题 5 中 0.55 的概率（数学文化） 选择题 5 游戏的公平性 中 0.45 利用方程思想求解 6 选择题 5 概率，相互独立事件 / 中 0.30 概率的计算 互斥事件、相互独立 7 选择题 6 事件、对立事件的 中 0.50 辨析 利用相互独立事件 8 选择题 6 的概率公式进行方 中 0.30 案的比较 对立事件的概率 9 填空题 5 易 0.71 计算 电路图中的概率 10 填空题 中 0.35 计算 互斥事件的概率 11 解答题 13 中 0.60 计算 相互独立事件与互 12 解答题 15 中 0.45 斥事件概率的综合 古典概型的概率 13 解答题 20 中 0.35 计算 ·39· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A,所有五边形的内角和为540°，所 PB)=×+片×号-，P()=号×号 以该事件是不可能事件，A错误；对于B,通常加热到 100℃，水沸腾，在一定条件下，是必然事件，B错误； =号，甲，乙两人共答对至少3道题的事件C=AB, 对于C,袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸 十AB1十AB:,因此P(C)=P(AB2)十P(A2B1)十 出一个球是红球，是不可能事件，C错误；对于D,抛 PAB)=×号+6×号+是×号-号所以 掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上， 可能发生，也可能不发生，是随机事件，D正确.故 甲，乙两人共答对至少3道题的概率是号故选C 选D. 二、选择题 2.C【解析】由古典概型的性质：古典概型具有两大特 7.ABD【解析】由题可知，A=“x十y为奇数”，B=“x 性，基本事件的有限性及它们发生的等可能性，对于 =y”,C=“x>4”,则事件A的所有情况为：(1,2)， A,基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满 足，A错误；对于B,坐标系中整数点是无限的，不满 (1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2), (3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2), 足，B错误：对于C,基本事件数有限，且每人被抽到 (5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18种情 的概率相等，满足，C正确；对于D,从区间[1,10]上 取一个实数的方法数是无限的，故不满足，D错误.故 况，所以P(A)=及。=子，本件B的所有情况为： 选C. (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6 3.C【解析】随机模拟产生的20组随机数中，恰好第 6 1 三次结束时就停止的随机数有：314,134,234,243， 种情况，所以P(B)=6X6=6,所以P(A) 324,共5个，由此可以估计，恰好第三次结束时就停 3P(B),且A与B互斥，故A,B项正确：则P(AB) 止的概率为P-易-十故选C =0,P(A)·P(B)=号×合=b可知P(AB)≠ 4.B【解析】点P从A点出发，每次向右或向下跳 P(A)·P(B),所以A与B不相互独立，故C项不 个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下， 正确；事件C的所有情况为：(5,1)，(5,2)，(5,3)， 右)，（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下， (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), 右)，（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题 (6,4),(6,5),(6,6),共12种情况，所以P(C)= 意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好 是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=日，故 是-，P(C=6品6=品P(B)·P(C)=日 121 1 选B. ×子=可知P(BC)=P(B)·P(C),所以B与 5.D【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2 C相互独立，故D项正确.故选ABD. 个球同色包含的样本点有6个，其概率是2，取出的 8.ABD【解析】对于A,依次发送1,0,1，则依次收到 1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1 2个球不同色的概率也是？，故游戏1公平：对于游 接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概 率为(1-)(1-a)(1一3)=(1-a)(1-B)2,A正确： 戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和 对于B,三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则 取出的球是白球的概率都是号，故游戏2公平：对于 依次收到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收 游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率 0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所 以所求概率为(1一)·B·(1-B)=B(1一B)2,B正 是号，取出的2个球不同色的概率是号，故游戏3不 确；对于C,三次传输，发送1，则译码为1的事件是依 公平，乙胜的概率大.故选D. 次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和，它们 1 互斥，由选项B知，所求的概率为33(1一3)2十(1 pq=2 6.C【解析】依题意 5,而力 )3=(1-)2(1十23)，C错误：对于D,由选项C知， p(1-q)+g(1-p)= 三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1一a)(1 十2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1 >9,解得力=是，9=号，设A=“甲同学答对了 3 a,而0<a<0.5,因此P-P'=(1-a)2(1+2a)-(1 -a)=a(1-a)(1-2a)>0,即P>P',D正确.故 题”，B,=“乙同学答对了i题”(i=0,1,2),则P(A) 选ABD. =×+×子=，P(A)=×= 4=161 ·40· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 三、填空题 9.30%【解析】：摸到红色球、黑色球的频率稳定在 故P(B)=1-PB)=号 (8分) 30%和40%，∴.摸到白色球的概率为1-30%-40% (2)记C为事件“还需进行3局比赛才结束且乙班获 =30%. 胜”， 则C=AA1 A;UA:A.A, (12分) 【解析】设N=“D正常工作”，N2=“D没有 正常工作，A正常工作，且B,C中至少有一个正常 故P0=×号×+号××号- 工作”，由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常 (15分) 工作”或“D没有正常工作，A正常工作，且B,C中 13.解：(1)由题意可得，m∈{1,2,3,4}，n∈{-1,2,4， 至少有一个正常工作”，即N=NUN2,P(N)= 6,8, 号P(N)=(1-号)×号×(1-×号)= 则数对(m,n)的样本空间为2={(1，-1)，(1,2)， (1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6), 由于事件N,N2互斥，所以根据互斥事件的概率加 (2,8),(3,-1),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4, 法公式，可得P(N)=P(NUN)=号+智 -1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),样本点共20个， (6分) =品 (2)若二次函数f(x)的单调递增区间 为[1，十∞)， 四、解答题 11.解：(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A, 则二次函数f(x)的对称轴x=易-1，即n=2m, 由互斥事件的加法公式得P(A)=0.32十0.28= 由(1)可得，总的样本点个数为20个， 0.60. (4分) 符合n=2m的样本点有：(1,2)，(2,4)，(3,6)， (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B, (4,8),共4个， 由互斥事件概率的加法公式得P(B)=0.18十0.28 4=1 +0.32=0.78. (8分) 所以P(A)=20=方 (13分) (3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B: (3)因为>0，二次函数的图象开口向上， “射击一次，至少命中8环”的对立事件， 又二次函数f(x)=mx2一nx-1的最小值小于 即B表示事件“射击一次，命中不足8环”， -2, 根据对立事件的概率公式得P(B)=1一P(B)=1 -0.78=0.22. (13分) 所以一n<-2, 12.解：(1)记A:为事件“第i局乙胜”，A；为事件“第i 即n2>4m, 局乙输”，i=1,2,3,4,5, 样本空间中符合n2>4的基本事件有(1,4)， 记B为事件“至少需要进行四局比赛才结束”，则五 (1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4), 为事件“进行三局比赛就结束”， (3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11个， 则B=A1A2A3十A1A2A3, 所以P(B)-贵 (20分) 则PB)=××+号×号×号=，5分 41·