(8)空间图形的表面积与体积、立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)空间图形的表面积与体积、立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.一个几何体由6个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正多边形，其余各面都是 全等的矩形，则该几何体是 A.四棱柱 B.六棱台 C.六棱柱 D.正方体 2.已知a⊥3且x∩3=l,mCa,则“m⊥3”是“m⊥l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.一个长方体容器ABCD一A,BC1D1中盛有水，侧面ABCD为正方形且AA1=16.如 图，当平面ABBA,水平放置时，水面的高度恰好为AD,那么将平面ABCD水平 放置时，水面的高度等于 A.4 D B.8 C.10 B D.12 4.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇 也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜 千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个与扇面形似的圆台侧面展开图（扇形的 一部分)，若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是6和12，且∠ABC-要，则该圆台 的体积为 A.1122π B.72x 3 C.282x 图1 图2 3 D.1122x 3 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知正三棱柱ABC一A1B1C,的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB 与A1C所成角的余弦值为 品 3 B.10 c D 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD一AB1CD1中，点P为截面AC1B上的动 点，若DP⊥AC,则点P的轨迹长度是 A号 D C A B B.√2 c D月 D.1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆 形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园 林建筑.下面以四角赞尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥. 已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0，这个角接近30°，若取0=30°，侧 棱长为√21米，则 A.正四棱锥的高为√3米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24√3平方米 D.正四棱锥的表面积为12√3+36平方米 8.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动 点，则 D A.存在点Q,使得PQ∥BD B B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB,C1D C.三棱锥Q一APD的体积不是定值 D D.存在点Q,使得PQ⊥AC 高一同步周测卷八 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 10.在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比 古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球 体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为，大球半径为R,大球 内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R =√，则r的最大值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.（本小题满分13分) 如图所示的圆锥，顶点为O,底面半径O1A=4cm,用一与底面平行的平面截得一圆 台，圆台的上底面半径为2c,这个平面与母线OA交于点B,线段AB的长为 8 cm. (1)求圆台的体积和圆台的侧面积： O (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕一圈到点A,求这 根绳最短时的长度： .01 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·言 12.(本小题满分15分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的 中点. (1)证明：平面EB1D1∥平面FBD: D (2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离. D B 13.(本小题满分20分) 如图，将边长为√2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点D'的位置，连 接BD',O为AC的中点. (1)若平面D'AC⊥平面ABC,求点O到平面D'BC的距离； (2)不考虑点D与点B重合的位置，若二面角A-BD'-C的余弦值为一号，求BD 的长度 D 人…0 高一同步周测卷八 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 5 几何体的性质 易 0.80 线面垂直的充分、必 2 选择题 易 0.72 要条件 3 棱柱体积的实际 选择题 中 0.65 应用 圆台体积公式的实 4 选择题 中 0.55 际应用 求异面直线所成 5 选择题 5 中 0.45 的角 立体儿何中的轨迹 6 选择题 中 0.30 问题 V 棱锥的面积问题（数 选择题 6 易 0.75 学文化) 立体几何中的动态 8 选择题 6 难 0.28 问题 9 填空题 圆柱的侧面展开图 易 0.75 棱锥的外接球问题 10 填空题 5 中 0.45 (数学文化) 圆台的侧面积与体 11 解答题 13 中 0.55 积、最值问题 12 解答题 15 面面平行的判定，求 中 0.45 面面距 求点面距，由二面角 13 解答题 20 中 0.32 的大小求参 ·29· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 如图所示，取棱AC,AA1,AB:,AB的中点分别为 1.A【解析】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且 必须是6个面，显然六棱柱和六棱台不满足要求，正 D,EF,G,易知EF∥AB,EF=AB,ED/CA, 方体要求各棱相等，题目中没有给出这个条件，也无 ED=之CA,DG∥CB,DG=之CB,所以异面直线 法证得，不满足要求，而四棱柱满足要求.故选A AB,与AC所成角的余弦值即|cos∠FED|,由正 2.C【解析】充分性：因为l二3，m⊥3，所以⊥l,所以 充分性满足；必要性：因为a⊥3且a∩3=l,mCa,m 三棱柱的特征可知FG⊥底面ABC,而DGC底面 ⊥l,所以m⊥B,所以必要性满足.所以“m⊥”是“m ABC,所以FG1DG,易知EF=与=ED,DG=合， ⊥”的充要条件.故选C. 3.A【解析】设正方形ABCD的边长为a,则水的体积 FG=2→FD= 17 2 ,由余弦定理知|cos∠FED|= 为16aX冬=4a,将平面ABCD水平放置时，设水面 2EF-FD 2EF 10故选A 的高度为h,则有ah=4a,解得h=4.故选A. 6.B【解析】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 4.D【解析】设圆台上、下底面的半径分别为，，r2,由 中，连接DC,BD,AC, 题意可知号×2xX6=2a,解得n=2,号×2nX12 3 C =2π2，解得2=4，作出圆台的轴截面如图所示，图 中OD=r1=2,OA=r2=4,AD=12-6=6,过点D 向AP作垂线，垂足为T,则AT=r2-n=2,所以圆 台的高h=√AD-AT严=√62-2=4√2，圆台上、 下底面的面积为S=π×2=4π，S2=πX4=16π， 则由园台的体积计算公式可得V=子(S十 VS·S+s)xh=号×28rX4反=12，故 B 3 由AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得BD⊥ 选D. AA1,而BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,ACC平面 D AAC,则BD⊥平面AAC,又ACC平面AAC,于 是BD⊥AC,同理BC⊥AC,而BC∩BD=B, BC,BDC平面BCD,因此A,C⊥平面BC,D,因为 DP⊥A1C,则DPC平面BCD,而点P为截面 A1CB上的动点，平面ACB∩平面BCD=BC,所 以点P的轨迹是线段BC1,长度为√2.故选B. 二、选择题 5.A【解析】 7.AC【解析】 如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为正方形ABCD ·30· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB,OH⊥AB,由 D 二面角的定义，故∠SHO=30°.设底面边长为2a,所 以OH=AH=a,OS= 3a,SH=2 3a.在R△SAH 巾a+(2。)）广=21，所以a=3,底面边长为6米. 高0-0H=万米，侧面积S=宁×6×25×4 D C 24√5平方米，表面积S=245+6=24√3+36平方 米.故选AC. 所以Q在线段BC!上运动时，Q到平面APD的距离 8.BCD【解析】对于A,在正方体ABCD-ABCD, 不是定值，又△APD的面积为定值，故三棱锥 中，BB:∥DD1,BB=DD,则四边形BBDD为平 Q一APD的体积不是定值，C正确；对于D,因为AC ⊥BD,AC⊥BB1,BD,BB:C平面BDDB,BD∩ 行四边形，所以BD∥BD,而P为线段AC的中 BB=B,所以AC⊥平面BDDB,又BPC平面 点，四边形ABCD为正方形，所以P为B:D1的 BDDB,所以AC⊥BP,所以若点Q与点B重合，则 中点，所以BD∩PQ=P, PQ⊥AC,D正确.故选BCD. D D C B 若存在点Q,使得BD∥PQ,且B:D1、PQ不重合，又 B(O) 三、填空题 BD∥BD,所以PQ∥BD,这与BD∩PQ=P矛 盾，假设不成立，A错误；对于B,若Q为BC1的中点， 9.8√元【解析】设圆柱的母线长和底面圆半径分别为 则PQ∥AB,而AB⊥AB,故PQ⊥AB,又AD⊥ (,r,根据已知得2r=4,由题意得圆柱侧面展开图的 平面ABB1A1,A1BC平面ABB1A1,则A1B⊥AD,故 周长可以表示为L侧=4πr十2≥2√4πrX27=8√元， PQ⊥AD,因为AB∩AD=A,AB、ADC平面 当且仅当4r=2L,即r=是， ，l=2元时等号成立， AB,CD,则PQ⊥平面ABCD,所以存在Q使得 √π PQ⊥平面AB1CD,B正确； 10.1【解析】由题意，小球与正四面体的各条棱相切， D C 大球为正四面体的外接球，即可保证r最大，如图所 示，设正四面体的棱长为a,E为△BCD的中心，O B 为圆心，可得AE⊥平面BCD,因为CEC平面 cD.则AELCE,且CE=号×9a-9 a,所以 3 3 AE=VAC-CE-9,在RAOCE中.0 D 0E+CE,可得()=(5。-）+(a), 对于C,在正方体ABCD-ABCD中，AB∥ 解得a=2√2，过O点作OF⊥AC,垂足为F,在 CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边 Rt△OCF中，可得OF=√OC-CF= 形，则BC∥AD,而AD∩平面APD=A,故BC 与平面APD不平行， √R-()-VP-W2F-1,即小球的最 ·31· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 大半径为r=1. 9 A G D -- 所以EB:∥DF, (3分) B 四、解答题 由DF平面EBD, 11.解：(1)由已知圆台下底面半径R=4cm,上底面半 则DF∥平面EBD, (5分) 径r=2cm,可得OB=AB=8cm, 又正方体中BD∥BD, ∴.圆台的高h=√/82-(4-2)2=2√/15cm, 则同理BD∥平面EBD, (6分) (2分) 又DF∩BD=D,DF,BDC平面FBD, 故平面EB,D∥平面FBD. (8分) “圆台的体积V=号元(R+护+R)h=子xX 1 (2)由(1)知，平面EB:D1与平面FBD之间的距离 (16+4+8)×2√5=6Y压 等于B,到平面FBD的距离h, cm3, (4分) 3 连接B1F,BD, 圆台的侧面积S=π(R十r)·AB=π×(4十2)X8 则VB-FBD=VF-DB1, =48元cm2. (6分) (2)作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度 而FD=FB=,BD=-Ea, 为侧面展开图中MA'的长度. 由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为2×π 故△FBD中BD边上的高为 2a, X4=8π， 所以SAFBD= XaX2a= a2, (11分) 商S=合×aXEa=号公，F到平面BD,B 的距离为 2a, 2a,可得h=6 , 0 B 故平面EB,D,与平面FBD之间的距离为5。 3a. ÷侧面展并图的圆心角为0一语=受， (10分) (15分) 13.解：(1)连接OD,OB,则OD'⊥AC 则在△M0A中，∠AOM=受， D' 则MA'=√OA2+OM证=√/16+12=20cm, 即这根绳最短时的长度为20cm. (13分) 12.解：(1)取G为BB的中点，连接FG,AG, 又F是CC的中点， A 所以FG∥BC∥AD,FG=BC=AD, :平面DAC⊥平面ABC,平面D'AC∩平面ABC 故四边形AGFD为平行四边形， =AC,ODC平面DAC, 所以AG∥DF, .OD'⊥平面ABC, 又E是AA1的中点，易知AG∥EB:, 又OBC平面ABC, ·32· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· .OD'⊥OB. (4分) :AB=AD=BC=DC=√2， 又正方形ABCD的边长为√2， .AE⊥BD,EC⊥BD, ∴.OD=OB=OC=1,BD=BC=D'C=√2，(6分) ∴.∠AEC为二面角A一BD'-C的平面角， 设点O到平面D'BC的距离为h, os∠AEc=-子 (15分) 则Vp-o=Vo-DBc, 由题可知△ABD≌△CBD, 在△AEC中，AC=2,AE=CE,cos∠AEC= 。h, AE ACE CEAC-号· 2AE·CE h= 3, .AE=CE2 =6 即点0到平面D'BC的距离为号 (10分) DE=AD:-AE=2-号=专 (2)取DB的中点E,连接AE,EC, D' ∴BD=2DE-5, 即BD的长度为 (20分) ·33·