(6)基本立体图形-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (六)基本立体图形 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A. B. C. D 2.如图，一个水平放置的△ABO的斜二测直观图是等腰Rt△A'B'O',若B'A'=B'O= 2,那么原△ABO的周长是 A.4√2+2 A B.2+2√/2+2√3 C.4√2+4 B' D.4√2+8 3.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且 有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则①、 ②、③处的字可能为 A.快、新、乐 架 B.乐、新、快 ② C.新、乐、快 ③ D.乐、快、新 4.已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的 母线长为 A号 B.3 C.2 D.4 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页)】 衡水金卷·先享题 5.已知在直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB|AC,AB=AC=AA,=1,P为线段A,B上 的动点，则AP+PC1的最小值为 A号 B.0 2 C.√5 D.√/2+√2 6.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年 的谜局，究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大 谜团”.在这些图案中，有一只身长50米的大蜘蛛（如图），现用视角为30°的摄像头（注： 当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头 的视角)在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域 内，则该摄像头距地面的高度的最小值是 A.50米 摄像头 B.25(2√2+√6)米 视角 拍摄区域 C.50(2+√3)米 D.50(2√2+√6)米 摄像头的视角示意图 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列判断正确的是 A.由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的 几何体是正六棱柱 B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围 成的几何体是圆台 C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体是球 8.下列物体，能够被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体容器（容器壁厚 度忽略不计)内的有 A.半径为0.6m的球体 B.一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体 C.底面半径为0.5m,高为1m的圆锥体 D.底面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 高一同步周测卷六 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页）】 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面截圆柱所得的截面为 轴截面，则该圆柱的轴截面面积为 10.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋 巢，将半径为√2的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋 巢底面的距离为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) (1)画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图； (2)求出原图和直观图的面积. y 1 2012,34 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知一个圆台的母线长为13cm,两底面面积分别为16πcm2和81πcm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长 13.(本小题满分20分) 由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体，围成多面体的各个多边形叫作多面 体的面，两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点.对于 凸多面体，有著名的欧拉公式：n一e十f=2,其中n为顶点数，e为棱数，f为面数.我 们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如，每个 面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条 边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰 好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，e=12,f=6,可以得到顶点数n =8. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条 棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n一6条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相 同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 高一同步周测卷六 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN VI① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 儿何体的平面图形 易 0.80 选择题 5 直观图的周长 易 0.75 3 选择题 5 立体图形的还原 易 0.72 4 选择题 5 圆锥的侧面展开图 中 0.55 选择题 侧面展开图求最值 中 0.45 6 选择题 圆锥的实际应用 中 0.35 7 选择题 几何体的结构特征 0.75 儿何体间的相接 8 选择题 6 中 0.35 关系 9 填空题 5 圆柱轴截面面积 易 0.71 球的截面性质的实 10 填空题 中 0.55 际应用 11 解答题 13 四边形的直观图 中 0.60 圆台有关性质的 12 解答题 15 中 0.45 考查 与多面体有关的新 13 解答题 20 中 0.35 定义题 叁考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】A中图形旋转能得到一个圆台与一个圆 A 锥的组合体，符合题意.故选A 2.D【解析】因为BA'=BO=2,由直观图可知， OA'=2√2，所以还原平面图形中，OA=4√2，OB= OB'=2,在Rt△AOB中，AB=√AO+OB=,则 △ABO的周长为4√2+2+6=4√2+8.故选D. 3.A【解析】根据题意，可知①、②与“年”相邻，应分别 为“新”与“快”或“快”与“新”.故选A. ·21· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 4.D【解标】设母线长为，由题意，可得父1=2π×1， D C 解得=4，即圆锥的母线长为4.故选D. 5.D【解析】将△AAB沿A1B折起到△A1A'B的位 置，使得平面A1A'B与平面A1BC共面，当P为线 段A'C1与AB的交点时，A'P+PC=A'C最小， 即AP+PC1最小，则有AC=A'A1,又：AB⊥AC, AB=AC=AA1=1,∴.易得△A1AB与△A1BA'均为 等腰直角三角形，∴∠A'AB=45°，AB=√12十1 D C =√2，在Rt△ABC中，BC=√/I+1下=√2，在 R△BCC中，BC=√（√2）+1=5，则AB+ 故一组相对棱为1.4m,其余棱都为2m的四面体， A1C=BC,∠BAC=90°，.∠A'A1C=90°+ 可被整体放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长 45°=135°，利用余弦定理可知最小值为A'C1= 方体容器内，B正确；对于C,由于长方体底面的长、 √1+1-2×1×1×cos135=J2+√2.故选D. 宽分别为2m,1m,故底面半径为0.5m的圆可放在 C 该底面内，又圆锥的高为1m,与长方体的高相等，故 该圆锥体可放入长方体容器内，C正确；对于D,由于 B1 长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体的体对角 线长为√22+1十1严=√6m,而2.5m>√6m,故底 A 面半径为0.005m,高为2.5m的圆柱体不可被整体 放入长、宽、高分别为2,1,1（单位：m)的长方体容器 内，D错误.故选BC 三、填空题 9.20【解析】由题可知轴截面为矩形，两边长分别为5 6.B【解析】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为 和4，故轴截面的面积为5×4=20. 50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小 10.3E+6 2 【解析】由已知蛋巢的底面是边长为√② 为2r=50√2，若所成圆锥的母线长为a,此时由余弦 定理得，2a2-2a2·cos30°=5000，即a2=5000(2+ 的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面 3),所以该摄像头距地面的高度最小值h=√a一 截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为√2，且蛋巢的高 =√5000(2+√3)-(25√2)2=25√/14+8√/3 度为号，又球的半径为厄，所以球心到截面的距离 =25√8十8√5+6=25(2√2+√6)米.故选B. 二、选择题 为d-√2--，故鸡蛋最高点与蛋菜底面的 7.ABD【解析】有两个面是互相平行且全等的正六边 形，其他各面都是矩形，满足相邻两个矩形的公共边 距肉为E++9-3+逅 2 2 都互相平行，且公共边必定垂直于底面，故该几何体 四、解答题 是正六棱柱，A正确：等腰梯形两底边中点的连线将 11.解：(1)由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形 成半个圆台，故该几何体为圆台，B正确：当上、下底 即可知A,C的对应点为A'(3,1),C(0,-合) 面圆周上两点的连线与轴平行时才是母线，C错误； 而B,D对应点位置不变，即B(4,0),D'(-2,0), 一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封 (3分) 闭曲面围成的几何体是球，D显然正确.故选ABD. 则四边形ABCD的直观图如下图示： 8.BC【解析】对于A,半径为0.6m的球体的直径为 1.2m>1m,故不能整体放入长，宽、高分别为2,1,1 (单位：m)的长方体容器内，A错误；对于B,由于在棱 长分别2m,1m,1m的长方体ABCD-ABCD, D 中，如图，设底面为边长为1m的正方形，高为2m, 则AC=BD1=√2m>1.4m,AD,=CD1=AB, CB=√5m>2m, (6分) ·22· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· (2)原图的面积SAD=S△BD十S△D= 1 -×6×2 由欧拉公式得5m+6(32-m-5m十6(32-m+ 3 +7×6×1=0. 32=2, (9分) 解得m=12, 直观图的面积SAB'cp=SANB'p十S△BC'p= 1 2 -×6 即此足球中有12个面为正五边形， 所以此足球的棱数e=5m+6(32-m)=90.《6分) ×1xsm46+2×6x号×sm45= 4 ,(13分) 2 (2)由n个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么 12.解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所 相当于每一个面尽可能均为三角形， 示，过点A作AM⊥BO,垂足为M, 当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此 由已知可得上底面半径OA=4cm,下底面半径OB =9cm, 时=头即=子 又腰长AB=13cm, 又n-e+f=2, 所以圆台的高AM=√/13-(9-4)=12cm. (7分) 即m-e+子=2， 解得e=3n-6, 故n个顶点的凸多面体，至多有3n一6条棱， (12分) (3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q 01 边形， 则此多面体棱数。=艺-婴，p,9≥3，即f一0 由欧拉公式n一e+f=2,得n=2g十2p-9p 所以2q+2p-9p>0, M O (2)如图所示，延长BA,OO,CD交于点S, 即+>号 设截得此圆台的圆锥母线长为(， 由△SA0,∽△SB0,可得-13=4 即、 9 所以<6， (16分) 解得1=11 5 cm, 当p=3时，9<6，所以g=3,4,5,n=4,8,20,e=6, 12,30: (17分) 所以裁得此圆台的圆锥的母线长为？cm15分) 当p=4时，q<4,所以q=3,n=6,e=12；(18分) 13.解：(1)设足球有m个正五边形，则有32一m个正 当p=5时，g<号，所以g=3m=12,e=30,(19分) 六边形， 综上，棱数可能为6,12,30. (20分) 足球的顶点n=5m十6(32-m) 3 棱数e=5m十6(32-m) ·23·