(5)复数的概念、复数的四则运算、复数的几何意义、复数的三角表示-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 复数的除法运算，共 1 选择题 5 易 0.80 轭复数 2 选择题 5 i的周期性 易 0.75 求复数的虚部（数学 3 选择题 易 0.72 文化) 4 选择题 由复数相等求参 中 0.60 由复数对应点的对 5 选择题 5 中 0.55 称性求复数 6 选择题 复数与向量的综合 中 0.40 7 选择题 复数的性质 易 0.80 复数的新定义问题 选择题 6 中 (数学文化) 0.65 9 填空题 5 复数的三角形式 易 0.72 10 填空题 5 求复数模的最值 中 0.35 11 解答题 13 由复数的分类求参 易 0.75 复数与向量的综合 12 解答题 15 中 0.50 应用 13 解答题 复数方程的综合 20 中 0.40 应用 季考答案及解析 一、选择题 3D【解析】因为=√号=(et)号=e平=e,又e 1.D【解析】因为文=告=2+)1十=1 1Fi-i)1+=2+ -子十in子-号+号所以：的虚部为号故 42 多所以=一受故选D, 选D. 4.D【解析】因为a十2024i=2一bi(a,b∈R),所以 2.C【解析】i223-i024=i202·i-i02=(i)1ol·i 1a=2 -(i)o12=(-1)1o1·i-(-1)1o12=-i-1.故 1-6=2024即/=2 ”b=-2024'所以a2+i=4 选C. 2024i.故选D. ·17· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 5.B【解析】由题意可得(2-i)i=2i-=2i十1对应 10,√5一1【解析】根据复数模的几何意义，可知 的点为(1,2)，该点关于虚轴对称的点为（一1,2）， |之-1十2i=1表示复平面内以(1，-2)为圆心，1 所以复数？对应的点为（一1,2），所以x=-1十2i 为半径的圆，而|z|表示复数之到原点的距离，由图 故选B. 可知，|x|mm=√/1+（-2)z-1=√5-1. 6.A【解析】因为复数=2一i,=1十2i,x在复平 面上对应的点分别为A,B,C,所以A(2,-1),B(1, 2),设C(x,y),因为四边形OABC为平行四边形(O 为复平面的坐标原点)，所以AB=心，所以(-1,3) x=一1 =(x,y),所以{ ,所以23=-1十3i,所以 y=3 |x|=√(-1)+3=√10.故选A. 二、选择题 7.BC【解析】对于A,若=1十i,2=√2i,显然满足 四、解答题 ||=||,但≠士2，故A错误；对于B,设 11,解：(1)当之为实数时，m十5m十6=0， =a十bi(a,b∈R),则x2=a一bi,12=(a十bi)(a 解得m=-3或m=一2. (3分) 6i)=a2+b,故121=a2十b,而|x2=a2十b,故 (2)当：为虚数时，m2十5m十6≠0， B正确；对于C,由号=x1,可得好一12=( 解得m≠-3且n≠一2. (6分) 之2)=0，因为1是非零复数，故一2=0，即1= m2+m-6=0 2,故C正确；对于D,当1=i时，1是非零复数，但 (3)当之为纯虚数时，{ m2+5m十6≠0 +子=i计=i-i=0,故D错误，故选BC 解得m=2. (9分) m2十m-6<0 8.AC【解析】对于A,z2=(a十bi)2=a2-+2abi, (4)由题意得{ m2+5m+6>0 故|x2|=√/(a2-6)+(2ab)z=√/(a2+b)F 解得一2<<2， a2+6,又因为x|2=（√a2+6)2=a+6,所以 即m的取值范围为（一2,2）. (13分) |2|=|x|2,所以A正确：对于B,当r=1,0= 12.解：(1)由题得1x2=(1十2i)(3-4i)=3-4i+6i 3 -8=11+2i, (3分) 时，由棣莫弗定理得，：=(os受+isin受)厂' 且0Z=(1,2),0Z=(3,-4), cosπ十isinπ=-1，所以B错误；对于C,当r=1,0= 所以02Z·OZ=1×3+2×(-4)=-5.(6分) 号时，由棣莫弗定理得，=cos号+isin号-立十 1 (2)因为≈1=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R), 所以z1=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+ 号.所以=-，所以C正确：对于D.当，=1， (ad+bc)i, 可得|1x2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,(9分) 9=平时，由棣莫弗定理得，x=(cos于+isin牙）】 因为0Z=(a,b),O2Z=(c,d), =cos要+iin军，当n=4时，=cos元十isin元= 所以oZ·oZ=ac+bd,|oZ.oZ12= (ac+bd)', (12分) 一1，此时不为纯虚数，所以当n为偶数时，复数”不 因此|xx12-|OZ.OZ1 一定为纯虚数，所以D错误.故选AC =(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd) 三、填空题 =(ad+bc)2-4abcd=(ad-bc)2≥0， 9.号【懈析】由-5+i=2(+）=2(co号 所以|O2·OZ2|≤|x2|,当且仅当ad=bc时取 等号， +i·sin6 π ,知复数的辐角主值为要。 此时向量oZ,O2,满足oZ∥oZ, (15分) ·18· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 13.解：(1)设x。是方程的一个实根， (2)假定方程有纯虚数根i(b∈R,且b≠0)， 则x号-(tan0+i)xo-(i+2)=0, 代入原方程得(bi)2-(tan0十i)·bi-(i十2)=0， 即(x6-tan0·xo-2)-i(xo十1)=0. 即-b2+b-2-(btan0+1)i=0. (x号-tan0·xo-2=0 1-b2+b-2=0 根据复数相等的意义知{ 由复数相等的意义知 x+1=0 -(ban9+1D=0'(16分) (5分) 但方程一b十b-2=0即b-b十2=0无实数解，即 解得x。=-1,tan0=1,0=π+于(k∈Z): 实数b不存在. 所以对任何实数，原方程不可能有纯虚数根， 所以当=红十平(k∈Z)时，原方程有一个实根 (20分) =-1 (10分) ·19·高一同步周测卷/数学必修第二册 (五)复数的概念、复数的四则运算、 复数的几何意义、复数的三角表示 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 2+i 1.已知=-则 A. B名 C. 2.i2023一i2024= A.1+√2i B.1-√2i C.-1-i D.1-i 3.欧拉公式e9=cos0+isin0由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e,虚数单 位i与三角函数cos0,si0联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数之=√e,则之 的虚部为 A.i B.1 2 4.若a,b∈R,i是虚数单位，a+2024i=2-bi,则a2+bi= A.2024+2i B.2024+4i C.2+2024i D.4-2024i 5.在复平面内，复数之和(2一i)i表示的点关于虚轴对称，则复数之= A.1+2i B.-1+2i C.-1-2i D.1-2i 6.已知复数≈1=2一i,2=1十2i,3在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边形 OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数之3的模为 A.√10 B.√5 C.5 D.10 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知复数之1,2，则下列命题正确的是 A.若名=2，则=士2 B.若1=2，则12=2 C.若1是非零复数，且号=12，则1= D.若是非零复数，则十1≠0 之1 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 8.任何一个复数x=a+bi(其中a,b∈R)都可以表示成之=r(cos0十isin0)的形式.法 国数学家棣莫弗发现：之”=[r(cos0+isin0)]”=r”(cosn0+-isin n0)(n∈N*),我们 称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，则 A.2|=x2 B当=1,0-时，2=1 C.当=1,0=时，=号- 3 2 2 D.当=1,0=平，且n为偶数时，复数为纯虚数 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.复数一√3十i的辐角主值为 10.设之是复数且之一1十2i=1,则x的最小值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知复数之=m2十m一6+(m2十5m+6)i(i为虚数单位)，求适合下列条件的实数m 的值. (1)z为实数； (2)之为虚数； (3)x为纯虚数； (4)若之在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围. 高一同步周测卷五 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分)》 13.(本小题满分20分) 已知复数，2在复平面内所对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点，i是虚数单位. 已知关于x的二次方程x2-(tan0+i)x-(i十2)=0. (1)若=1+2i,2=3-4i,求12与0Z·0Z的值； (1)当0为何值时，这个方程有一个实根？ (2)设1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R),求证：OZ,·OZ2≤x12,并指出向量 (2)是否存在0，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出0的值；若不存在，试说明 OZ,OZ满足什么条件时该不等式取等号. 理由. 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷五 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）