(3)三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（三） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 辅助角公式的应用 易 0.80 利用倍角的正切公 选择题 易 0.75 式求值 和差角的余弦公式 选择题 易 0.72 的应用 三角变换与比较大 4 选择题 5 中 0.55 小的综合 利用三角恒等变换 5 选择题 5 中 0.45 判断三角形形状 三角恒等变换知式 6 选择题 5 中 0.30 求角 7 选择题 6 知角求值 √ 中 0.50 三角恒等变换知式 选择题 6 0.28 求角、知角求值 轻 9 填空题 5 利用半角公式求值 易 0.71 由倍角的正，余弦公 10 填空题 5 式求值（数学文化 L L 中 0.35 题) 给值求值、给值求角 11 解答题 13 中 0.60 问题 由三角变换化简三 12 解答题 15 角函数式，由三角函 的 0.45 数的最值求参 利用三角变换解决 13 解答题 20 平面儿何中的最值 难 0.25 问题 ·9· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 sinLa-(a-B)]=sin acos(a-B)-cos asin(a-B)= 1.B【解析】由题知，f(x)=cos2x十sin2x=√2sin2x 4×是×-号0<K受g吾故 7 +于)，故f(x)的最小值为-区.故选B 选D. 二、选择题 2.A【解析】因为ana=一专，所以tam2a 2tan a 7.BCD【解析】对于A,sin240°=sin(180+60°)= 1-tan'a 2×(-3】 sin60°=号，故A错误；对于B,sin23°cos37°+ 1-(-4 24.故选A. c0s23°sin37°=sin(23°+37°)=sin60=5,故B正 2 1 3.B【解析】因为sin asin B=行，os(a一B)=cos acos 确：对于C,3n150·与m5-3×之× 1+tan 15 十sin asin=计号=号，解得c0sa0s月 m5-15)=号×号=号故C正确：对于D 3 号，因teos(a十B)=6os6os-日sin esin月=号 os竞-cos晋=o吾-cos(受-音）- m危=c0s吾=，枚D正确，故 4,A【解析】由题知，a= 1+tan 18 -tami8=tan(45°+18)- 选BCD. tan63°，b=2cos233°-1=cos66°=sin24°，c= 8.BC 【解析】因为s如a十如号(cos月一oso,所 +cos56=√cos28-cos28°=sin62,所以 2 以2snt2cos“22-号(-2sim生n2）,因 tan63°>tan60°=5，sim24°<sin30=2,z 11 为∈(0，，9E(0,x),所以生e(0,x,“2 sin62°<1，所以a>c>b.故选A 5,B【解析】由已知得sin Ccos A十sin Ccos B=sin(B (-号，受)，从而sin生≠0，于是am“2-尽，所 +C)十sin(A+C),所以sin Ccos A+sin Ccos B= 以2=号，从面a一故选BC sin Bcos C++cos Bsin C+sin Acos C+cos Asin C, 以sin Bcos C+sin Acos C=0,所以(sinB+ 三、填空题 sinA)cosC=0,因为A,B∈(0，π)，所以sinB+sinA 9.- /15 -10 5 5 【解析】因为受<9<3x, >0,所以osC=0,因为C∈(0，)，所以C=乏，所 |c0s0l=号，所以c0s0K0,cos0=-吉，因为平< 以△ABC为直角三角形.故选B. 6.D【解析】由题意知|OP|=7(O为坐标原点)， 号<要，所以n号<0,0s号<0，in号 sna=9,easa=号，：sin in(受-)+ 1=是所以m号=-压所以o号 asao(受+)=-月sin p /1十cos9=-/10 2 5 ne0=%0<a受0<。-9 7 10.12 【解析】设照片长为4，宽为3，则由题意得BC <受osa一》=-ma月=是∴simB= 0.618 0.618 =3×1+0.618+,AB=4X1+0.,618+,所以 ·10· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· tan a=. 器=子所以12 -tana 2cos'a 若选条件③： sin 2a 2sin acos a 134 f(号）-f(-晋)=sim(g-9）-sim(-号-)】 -tan a= tan a -tan a- -sim[x-(号+g]+n(等+e) 四、解答题 3 11.解：(1)由题意知，cos2a=1-2sin2a= =sin(号+p)+sin(号+9)=2， (3分) 所以sin(号+g）=1, 因为ae(0,受)， 所以2a∈(0，π)， 则号+g=受+2kmk∈Z, 所以sin2a>0, 即g=晋+2kx,k∈五， 所以sin2a=-cos2a=手 (6分) 因为<受，可得9=晋， (2)由ae(0,)e(受，元 故条件⊙能使f(x)存在，此时9=罗 (7分) 可得Ba∈(0，n)e+c(受，32)， (2)由1)知，f(x)=sin(2x-否)， 所以sin(g-a)=V-cos(9a)-7 10,(9分) 当xe[0,m时，2x-吾∈[-2m-吾]， sin(a+B)=sin[2a+(B-a)]=sin 2acos(B-a)+ 又f(x)的最小值为-子 2 所以可得2m一 (12分) (11分) 因为a十c(受，要)， 解得<三 所以e十B=F 又m>0, (13分) 12.解：(1)由f(x)=sin2xcos9-cos2xsin9= 所以0<m≤3， 2π sin(2x-), 所以加的取值范围为(0，]， (15分) 若选条件①： 13.解：(1)作OH⊥AB,垂足为H,交CD于E,连 可知当x=号时，（号）=sim(经-9)=1， 接OB, 则号-=受+2，k∈z, 即g=晋-2x,k∈Z, 因为<受，所以9=若， 故选条件①时f(x)存在，此时9=。 (7分) 若选条件②： 由于点A,B分别为弧MV的两个三等分点，四边形 f(平）=sim(变-9）=cos9=-, ABCD为矩形，即A,B关于直线OH对称， 解得9=号+2kπ或g=号+2，k∈乙， 则∠A0B=否，∠AOH=音， 因为p<受，所以与条件矛盾，故不选②.(7分) 则AB=2sin是，0H=cos是， (3分) ·11· ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 而∠MON=受， =os开cos计sin子sin0-sin于cos0叶cosin0 故△OED为等腰直角三角形， =√2sin0, (13分) 则OE=DE=AB=sin是· 则S=AB·EH 故EH=OH-OE=cos是-sin是， (6分) =2sin(T-g）·2sin0 =sin 20+cos 20-1 则S=AB·EH=2sin是cos是-2in是=in晋 π =2sin(29+平）-1， (16分) -1+cos音=52 (8分) 因为0<0<平，所以子<20+<平 (2)因为∠A0M=9(0<0<平)， 故当20叶牙=受，即0=晋时w2sin(20+于)取最 则∠AOH=平-(0<<开)， 大值2， 故AB=2AH=2sin(T-0）,OH=cos(平-0)， 即当0=零时，矩形ABCD的面积S最大，S=巨-1. (20分) OE=DE-AB=sin(-0), 故EH=OH-OE=cos(文-0）-sin(交-0） ·12·高一同步周测卷/数学必修第二册 (三)三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=cos2x十sin2x的最小值是 A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 2.已知角a的终边经过点P(一3,4)，则tan2a= A号 c.- 4 D.- 7 3.已知sin sin=号eos(a-g=号，则cos(a+)= c 23 D.- 25 4已知a=}士an18 i-tan18,b=2cos233°-1，c= /1+cos 56 2 ,则 A.a>c>b B.c-ab C.a>b>c D.b>a>c 5.在△ABC中，若sinC(cosA+cosB)=sinA十sinB,则△ABC的形状一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知0<p<a<受，点P(1,45)为。终边上一点，且sin asin(受-P)十cosa· o经+=则g A B君 C. D. 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) ?下列武子计第结果为号的有 A.sin240° B.sin23°cos37°+cos23°sin37° C.3sin150°.1-tan15° 1+tan 15 D.cos音-c0s段 12 8.若sin。+simg三3(cosB一cosa),且a∈(0，x),3E(0,x),则下列结论中正确的有 A.q-B--5 π 3 Bag受 C.tan D.tan 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若csl=号受<0<3x,则si 0 0 ;cos 2 .(本题第一空 2分，第二空3分) 10.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是 很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫格”是黄 金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4 个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A,B,C,D表示黄金分割点.若照片长、宽 比例为4：3，设∠CAB=a,则+cos2a-tana= sin 2a D a B 高一同步周测卷三 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 尼知sma=号osg-)侣且a∈o》9E(侵x小 √/5 (1)求cos2a,sin2a; (2)求α+β. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin2xcos9-cos2 rsin,其中|<乏，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知条件，使f(x)存在，并完成下列两个问题. (1)求o的值： (2)若m>0,函数f(x)在区间[0，m]上的最小值为一号，求实数m的取值范围。 条件①：对任意的x∈R,都有f(x)≤f)成立： 条件@：（任）=： 条件③：f)-f-否)=2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块OMN,现要分割出一块矩形ABCD, 其中点A,B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN. (1)若点A,B分别为弧MN的两个三等分点，求矩形ABCD的面积S; (2)设∠AOM=0(0<<T),当0为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为 多少？ D 一同步周测卷三 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）】