(1)向量的概念、向量的运算、向量基本定理及坐标表示-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（苏教版）

高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢN V VI ①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 向量的加减法运算 易 0.80 向量平行的坐标表 2 选择题 5 易 0.75 示，求向量的模长 向量垂直的坐标运 3 选择题 易 0.72 算与充要性的综合 利用平面向量基本 4 选择题 5 中 0.55 定理求参 利用向量判断四边 5 选择题 5 中 0.45 形形状 选择题 5 求向量模长的最值 中 0.35 7 平面向量的相关 选择题 6 易 0.75 概念 向量的线性运算、数 8 选择题 6 量积的综合（数学文 L L 中 0.45 化题) 9 填空题 5 由三点共线求参 / 易 0.71 10 填空题 5 求投影向量，求最值 少 0.35 11 解答题 13 确定几种特殊向量 / 分 0.60 求向量夹角的余弦 12 解答题 15 值，由向量夹角为钝 中 0.45 角求参 平面向量数量积与 13 解答题 20 中 0.40 三角函数的综合 叁考答亲及解析 一、选择题 以1×t=2×(-2),解得t=-4,故b=(-2,-4), 1,D【解析】由题意可得MA-(BA-CM)+BC a+b=(-1,-2),a+b|=√(-1)2+(-2)z= MA+CM+AB+BC=CA+AC=0.故选D. √5.故选B. 2.B【解析】因为a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,所3.A【解析】因为a=(3,2),b=(-1,x),由(a十b)⊥ ·1 ·数学（苏教版）必修第二册· 参考答案及解析 (a-b),得(a十b)·(a-b)=a2-b=(32+2)-(1 HG,A错误：对于B,Aò.(G+GB)=AO.2G 十x2)=0,解得x=士2√3，显然当x=2√3时，有(a十 =2A0.Dò=0，B正确；对于C,Bi=-BE+Ei- b)⊥(a-b)成立，所以“x=2√3”是“(a十b)⊥(a- i+i=是（成+）+=-萨+ b)”的充分不必要条件.故选A. 4.D【解析】如图，设E是AC的中点，由于O是 Ei,C正确：对于D,Aò·B萌=Aò· △ABC的重心，所以ò-号成=号(A花-Ai) (-合+号E)=-A0·丽+是Aò·Ei 号×(2A心-A)=-号A店+号AC,则x+y =- XEXE=-1,D正确故选BD, 号+=子放选D 三、填空题 9.一1【解析】因为BD=BC+CD=2a-b,A,B,D三 点共线，所以存在实数λ，使得AB=入BD,即 12=2λ ,所以入=1，p=-1. p=一 10,一子a5【解析】由题意得6在a方向上的投影 向量为b1cos120,日=-号a:a-b=(a 5,A【解析】因为AD=AB+BC+CD=(a+2b)+ λb)2=a2-2a·b+b=4-2λ×2×5×c0s120 (-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以AD= +25x3=(5入十1)2+3，所以当X=-号时，a-b1 2BC,所以AD∥BC且|AD|≠|BC1,所以四边形 ABCD为梯形.故选A. 取得最小值3，a-b取得最小值√3. 6.C【解析】连接AB,OC,如下图所示： 四、解答题 11.解：(1)由相等向量的定义知，与a相等的向量有 A DO.EF.CB (4分) (2)由相反向量的定义知，b的相反向量有O龙，CD, AF,BO. (8分) (3)由向量模长的定义知，与c的模相等的向量有 CO.OF,FO.OE,EO,OD,DO,OB,BO,OA,AO, AB,BA,A,FA,F,E,ED,Di,D心，Ci,Ci B 因为AC⊥BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB BC. (13分) 的中点，所以MA+M店=2Mò，所以|MA+M店+ 12.解：(1)由题得a·b=|a1 b|cos3红=3X2√2× 2M花1=12Mò+2(Mò+OC)1=14Mò+2O元1≤ (9)=-6, (2分) 41M01+21O心1=4×2+2×1=10，当且仅当M,0, C共线且Mò，O心同向时，等号成立，因此 |a+b|=√(a+b)F=√/Ta+b2+2(a·b) |MA+MB+2MC的最大值为10.故选C. =√9+8-12=√5. (4分) 二、选择题 7.AB【解析】对于A,由向量加法的三角形法则知 则a,a+=务=洁- |a十b|≤|a+|b|,A正确；对于B,由向量的数量 9-6=5 积公式知，|(a·a)a|=aa=|a3,B正确；对 3X√5 5 (7分) 于C,由向量减法的运算性质得|a-b|≥|a|一 (2)由题得，(ka+2b)·(3a+4b)=3k|a2十 b|,C错误：对于D,向量不能比较大小，D错误.故 8|b|+(4k+6)a·b=27k+64-6(4k+6)=3k 选AB. +28, (9分) 8.BCD【解析】对于A,A0=合AC=号X2HG- 因为a+2b与3a十4b的夹角为钝角， 所以(ka十2b)·(3a+4b)<0, 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第二册· 从而3k+28<0,即<-28 (12分) 3 sin /1~ x1x2十y1y2 Nxi+y听√+y 若a十2b与3a十4b共线， 则专=子，即k=号，此时它们共线，夹角不为纯 /(x1-x2y) xiy-x:y √+yi√/x+y√x+yi√x十y 角， (14分) 所以a⑧b=|a||b|sin0=|x1y2-x2y|,(10分) 所以k的取值范围是（一∞，一婴）。 (15分) 又AB=(-3,1),BC=(1,2) 所以AB⑧BC=|-3X2-1X11=7. (12分) 13.解：(1)由已知a=(2,1),得|a=√5， (3)由(2)得a☒b=|a||b|sin0=|x1y2-x2y|, 设a与b的夹角为0， 4 故a⑧b 4 1 则a·b=a|b|cos0=2√5cos0=4, 解得m后 (14分) 又 1 4 又0≤≤π， cos"a sin'a 所以sin0一方' 1 1 4 (4分) cos'a+sin'a) \cos'a'sin'a 所以a⑧b=|a1 b|sin9=2W5×2=2. =5+sin'a4cos'a (5分) cosa sina (2)设a=(x1,y),b=（x2y2), /sina×4cosa ≥5+2W√cos a sin'a =9,当且仅当simg cosa 则a=√+y听，b=√十y, 所以cos0=i6+7√+ a·b x1x2十yy2 4cosa,即tana=2时等号成立， (19分) (7分) sin'a 所以a⑧b的最小值是9. (20分) ·3高一同步周测卷/数学必修第二册 (一)向量的概念、向量的运算、向量基本定理及坐标表示 (考试时间40分钟，满分100分)》 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.MA-(BA-CM)+BC= A.2 MC B.2 CB C.2 BC D.0 2.已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|= A.√2 B.√5 C.√10 D.5 3.已知向量a=(3,2),b=(一1，x),则“x=2√3”是“(a十b)⊥(a一b)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知△ABC的重心为O,若BO=xAB十yAC,则x十y= a号 C.-3 2 5.在四边形ABCD中，AB=a十2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的 形状是 A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形 6.如图，A,B,C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC,M是圆O外一点，OM= 2,则MA+MB+2MC的最大值是 A.5 B.8 C.10 D.12 数学（苏教版）必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题正确的是 A.任意两个向量a和b,有|a十b≤a+|b B.(a·a)a=a3 C.任意两个向量a和b,有a一b≤a-b D.若向量a,b满足a>b,且a与b同向，则a>b 8.如图是《易·系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的 源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两个正 方形的中心，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，若正方形ABCD的边长为 2,则 书洛 G D 00-00-000 H E A.Aò=2HG B.AO.(G元+GB)=0 C.Bi=-号E+Ei D.A0·Bi=-1 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）》 9.设a,b是两个不共线的向量，且AB=2a十b,BC=a十b,CD=a-2b.若A,B,D三 点共线，则实数p= 10.已知平面向量a,b的夹角为120°，且|a=2,b=5,则b在a方向上的投影向量是 ,|a-b(λ∈R)的最小值是 .(本题第一空2分，第二空3分) 高一同步周测卷一 数学（苏教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a,OB=b,OC=c.在以A,B,C,D, E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与a相等的向量有哪些？ E (2)b的相反向量有哪些？ (3)与c的模相等的向量有哪些？ 12.(本小题满分15分) 已知向量a与b的夹角为9=3平，且aF3,b=2瓦. (1)求a与a十b的夹角的余弦值； (2)若ka十2b与3a十4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 数学（苏教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“☒”：m☒n=m n sin0. (1)已知向量a,b满足a=(2,1),b=2,a·b=4,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),B(一1,2)，C(0,4),求ABBC的值； (3)已知向量a= (na品。&（品。。eo,登）求ab的最小位 cos a'sin a' 一同步周测卷一 数学（苏教版）必修第二册第4页（共4页）