(8)随机抽样、用样本估计总体、统计案例分析-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (八)随机抽样、用样本估计总体、统计案例分析 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.为了了解高一年级1000名学生使用平板电脑学习的情况，随机抽取了90名学生进 行调查，在这个问题中样本是 A.90 B.90名学生 C.90名学生使用平板电脑学习的情况 D.1000名学生使用平板电脑学习的情况 2.现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家 庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭 购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本，则完成这两项调查最适宜采用的 抽样方法分别是 A.①②都采用简单随机抽样 B.①②都采用分层随机抽样 C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 3.“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月 榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句，某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意” 礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙 粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中进行试销售，则该礼盒中莲子 粽的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 数学（人教A版）必修第二册第1页（共8页） 衡水金卷·先享题 4.某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品得分 情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，这组数据中位 数的估计值为 频率 组距 0.035 0.030 0.010- 0.00 0V5060708090100分数 A.70 B.77 C.80 D.82 5.某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增 长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生， 且使得招聘后硕士生的比例下降4%，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵， 若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为 本科生10% 博士生 50% 硕士生 40% A.100 B.120 C.200 D.240 6.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日 平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、 ④，依次计算得到结果如下： ①平均数x<4; ②平均数x<4且极差小于或等于3； ③平均数x<4且标准差s≤4； ④众数等于5且极差小于或等于4. 则4组样本中一定符合入冬指标的共有 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第二册第2页（共8页） 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统 计图（单位：万辆），则 75 160 120 110 61.562.4 60 120 暴939 52.253.954.1 103.752.2 47.645.72.9 49 45 巴 80 34.7 7. 37.6 66.66.4 避30 287 504 408 379 15 0 -40 2022年5月 2023年1月 ☐中国纯电动汽车月度销量（万辆 ·同比增长率(%) (注：同比：和去年同期相比) A.2023年前5个月我国纯电动汽车销量超过214万辆 B.这13个月我国纯电动汽车销量的中位数为61.5万辆 C.这13个月我国纯电动汽车销量的众数为52.2万辆 D.与上一年同期相比，各月的我国纯电动汽车销量均正增长 8.设一组样本的统计数据为：1，x2,…,x,其中n∈N,,x2,…,xn∈R.已知该样本 的统计数据的平均数为x,方差为，设函数f(x)=∑(x,一x)2,x∈R,则 A.设b∈R,则x1十b,x2十b,…,xn十b的平均数为x十b B.设a∈R,则ax1,ax2,…,axm的方差为as C.当x=x时，函数f(x)有最小值s2 D.f(x1)+f(x2)+…+f(xn)<ns2 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 数学（人教A版）必修第二册第3页（共8页） 衡水金卷·先享题· 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.一组数据按从小到大排列为1,4,4,4，x,7,8,若该组数据的第60百分位数是众数的 子倍则x 10.某市一中学有男生900人，女生600人.在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读 书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书 时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该 校学生每天读书时间的平均值为 分钟，方差为 .(本题第一空2 分，第二空3分) 高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第二册第4页（共8页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 为了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮 胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm)记录下来并绘制出折线图： 甲厂轮胎宽度 乙厂轮胎宽度 198 197 196 195 195 194 ·一甲厂轮胎宽度 194 193 8 192 ·乙厂轮胎宽度 191 191 12345678910 19012345678910 (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提 供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平 均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？ 数学（人教A版）必修第二册第5页（共8页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元，售价 为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁. ↑频数 6 5 4 0V72768084889296100日需求量/个 (1)若该西餐店某天制作该种汉堡m(m∈N*)个，求该西餐店当天该种汉堡的利润 y(单位：元)关于当天需求量x(单位：个，x∈N)的函数解析式； (2)该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需 求量（单位：个）进行统计，对统计数据进行分析制成如图所示的条形图，求该西餐店 该月这种汉堡的平均日利润， 高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第二册第6页（共8页） 13.(本小题满分20分) 某市在200万成年市民中随机抽取了100名进行平均每天读书时长的调查.根据调 查结果绘制出市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时 长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小 时的市民称为“读书迷”. 频率/组距 0.72 0.52 0.44 00.511.522.53小时 (1)试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人； (2)省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中55%的成年人平均每天读 书时长不低于α小时，则认定此城市为“儒城”.若该市被认定为“儒城”，则评选标准 应满足什么条件？（精确到0.1） (3)该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名.根据调查，如果收取会费， 则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会.为了调控入会人 数，设定会费参数为x(x>1),适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加 人的人数会减少(10x)%,“读书迷”愿意加入的人数会减少。101nt%,则会 0.11nx+1.1 费参数x至少定为多少时，才能使会员的人数不超过20万人？ 数学（人教A版）必修第二册第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷八 数学（人教A版）必修第二册第8页（共8页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ⅢW ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 样本与总体的概念 易 0.80 选择题 抽样方法的选择 易 0.72 3 选择题 5 分层随机抽样 中 0.65 求频率分布直方图 4 选择题 5 中 0.55 中的中位数 5 选择题 5 扇形统计图 中 0.45 统计知识的综合 6 选择题 5 中 0.35 应用 7 折线统计图、条形统 选择题 6 中 0.50 计图的应用 平均数、方差与函数 8 选择题 中 0.35 的综合 百分位数、众数的 9 填空题 5 易 0.71 计算 分层随机抽样中的 10 填空题 5 中 0.40 均值与方差的计算 折线统计图，利用平 11 解答题 13 均数与方差选择 中 0.60 方案 条形统计图的应用， 12 解答题 15 中 0.45 平均数的计算 频率分布直方图的 13 解答题 20 0.35 应用 季考答案及解析 一、选择题 的情况是总体.故选C. 1.C【解析】90是样本容量，90名学生使用平板电脑： 2.C【解析】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随 学习的情况是样本，1000名学生使用平板电脑学习 机抽样，②中600户家庭的收入存在较大差异，层次 ·35· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 比较明显，宜采用分层抽样.故选C. 十(xn-x)2]=as2,B错误：对于C,f(x)= 3.C【解析】依题意得该礼盒中莲子粽的个数为10× 54 ∑(x,-x)2=(-x)2+(x-x)2+…+ 72+18+36+54=3.故选C 4.B【解析】由题得10(0.005十x十0.035十0.030+ (xn-x)2= -2x十2,又s2= 0.010)=1,解得x=0.020,则[50,70)的频率为 0.005×10十0.02×10=0.25<0.5，[50,80)的频率 为0.005×10+0.02×10+0.035×10=0.6>0.5，则 中位数在[70,80)内，所以这组数据中位数的估计值 公2+2，故f(x)= ∑-2x+2=nx2- 为70+0,5-925≈77，故选B. 2元x十nx2+ns2=n(x-x)2十ns2,故当x=x时，函 0.035 数f(x)有最小值ns2,C正确；对于D,由上知f(x1) 5.B【解析】设招聘x名硕土生，由题意可知，x十400 ≥ns2,f(x2)≥ns2,…,f(xn)≥ns2,则f(x1)+f(x2) ×0.4=(400十80十x)×(0.4-0.04),解得x=20, 十…十f(xn)≥ns2十s2十…十ns2=s2,D错误.故 400×0.1 所以本科生教师共分得树苗400十80十20X1500= 选AC 三、填空题 120棵.故选B. 9.7【解析】数据1,4,4,4，x,7,8共7个数，该组数据 6.B【解析】①举反例：0,0,0,4,11，其平均数x=3< 的众数为4，因为7×0.6=4.2，所以该组数据的第60 4,但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10， 百分位数为x,因为该组数据的第60百分位数是众 由极差小于或等于3可知，此组数据中的最小值为 10一3=7，此时数据的平均数必然大于7，与x<4矛 数的子倍，则x=4×子-7。 盾，故假设错误，则此组数据全部小于10，符合入冬 10.68108【解析】由题意可知男生、女生抽取比例 指标；③举反例：1,1,1,1,11，平均数x=3<4,且标 分别为：g06m一子·3000=号，故抽取样本 900 准差s=4,但不符合人冬指标；④在众数等于5且极 差小于等于4时，最大数不超过9，符合入冬指标.故 选B. 的平均值为：60×号+80×号=68，方差为：号× 二、选择题 [10+(60-68)]+号×[15+(80-68)]- 7.AC【解析】2023年前5个月我国纯电动汽车销量 为28.7+37.6十49+47.1+52.2=214.6（万辆）> 108.以此估计该校学生每天读书时间的平均值为 214(万辆)，A项正确；将这13个月的纯电动汽车销 68,方差为108. 量由小到大排列依次为：28.7,34.7,37.6,45.7， 四、解答题 47.1,47.6,49,52.2,52.2,53.9,54.1,61.5,62.4,则 11.解：(1)记甲厂提供的10个轮胎宽度的平均值为 中位数为其中第7个数据49（万辆），B项错误；这些 x1,乙厂提供的10个轮胎宽度的平均值为x2, 数据中只有52.2出现2次，其他数据均只出现1次， 则=0×195×2+194×2+196×2+193×2+ 故众数为52.2万辆，C项正确；2023年1月的同比增 197×2)=195(mm), (2分) 长率为负数，故与上一年同期相比，各月的我国纯电 动汽车销量有增有减，D项错误，故选AC. 五，=6×195×4+196+193×2+192×2+194)= 8,AC【解析】对于A,x,的平均数云二 194(mm). (4分) (2)甲厂10个轮胎宽度在[194,196]内的数据为 ×(x1十x2十…十xn),x十b,x2十b,…,xn十b的平均 195,194,196,194,196,195, 数为元（红十b叶十十…十x.十）=（十十 则平均数为号×(195+194+196+194+196十195) …十x)十地=元十b,A正确对于B,,,…,x =195, (6分) 的方差2=[(x-)十(-)+…十 所以方差i=吉×[0+(-1D+1+(一1)+ (8分) （一工)门，aa…a.的平均数为（a十 1+0]=号： 乙厂10个轮胎宽度在[194,196]内的数据为195， a十…十ax)=a…}(a十十…十x)=a,方 196,195,194,195,195, 则平均数为号×(195+196+195十194十195十195) 差为元[(aa-am)2+(a-ai)2十…十 =195, (10分) (ax-a)2]=d1[(a-)2+(-a)+… 所以方差=号×[0+1+0+(-1)+0十 ·36· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 0]=号 (12分) “读书迷”人数为200×0.06×0.5=6（万）， 所以该市“阅读爱好者”的人数约为32万，其中“读 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值相同， 书迷”约有6万. (6分) 但乙厂的方差更小， (2)由题意知至多有45%的成年人每天读书时长少 所以乙厂的轮胎相对更好 (13分) 于a, (8分) 12.解：(1)当x≥m时，日利润y=5, (3分) 则计算45%分位数， 当x<m时，日利润y=5x-10(m-x)=15x 又0.5×0.72=0.36<45%，0.5×(0.72+0.44)= 10,x∈N, 0.58>45%, ∴.y关于x的函数解析式为y= 所以0.72×0.5+0.44×(a-0.5)=45%, (15x-10m,m(EN). (7分) 15m,x≥1， 可得a-引0,7， (2)由题及(1)知，日利润为180元的天数为1， 即参考标准a不能高于0.7小时(42分钟).(12分)》 日利润为240元的天数为3， 日利润为300元的天数为4， (3)“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1一。） 日利润为360元的天数为5， 日利润为420元的天数为6， 万人，读书选”约有6(-n千)万人 日利润为450元的天数为11， (11分) 5 :该月的平均日利润为动×(180×1+240×3+ 令2s(1-0)+6(1-n千）=32-18bg 6Inx (16分) 300×4+360×5+420×6+450×11)=379(元). nx+17≤20， 故该西餐店该月这种汉堡的平均日利润为379元. 化简得13(lnx)2十113lnx-660≥0， (15分) 解得nx≤ 16(舍)或nx≥4， 13.解：(1)样本中“阅读爱好者”出现的频率为 13 (0.16+0.10+0.06)×0.5=0.16, 所以x≥e, 则“阅读爱好者”的人数为200×0.16=32（万）， 所以会费参数x至少定为e时，才能使会员的人数 (3分) 不超过20万人. (20分) ·37·