(7)立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（人教A版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (七)立体几何综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是 A.1 B.2 C.3 D.1或3 2.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD=4,则直角梯形ABCD的直观图的面 积为 D A.3② 2 B.√2 C.1 D.2 3.一个长方体容器ABCD一A1BC1D1中盛有水，侧面ABCD为正方形且AA,=16.如 图，当平面ABBA,水平放置时，水面的高度恰好为AD,那么将平面ABCD水平 放置时，水面的高度等于 A.4 D D B.8 B C.10 D.12 1 4.已知平面a∥3∥Y,两条直线1，m分别与平面a,B,y相交于点A,B,C与D,E,F.若 AB=68E-号则AC= D A.10 B.15 C.16 D.18 数学（人教A版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 5.已知正三棱柱ABC一A,BC1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，则异面直线AB 与A,C所成角的余弦值为 4品 3 B.0 c 6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD一A1BC1D1中，点P为截面A1C1B上的动 点，若DP⊥AC,则点P的轨迹长度是 A号 D C B.√2 c D.1 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆 形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园 林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥. 已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为0，这个角接近30°，若取0=30°，侧 棱长为21米，则 A.正四棱锥的高为√3米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24√3平方米 D.正四棱锥的表面积为123十36平方米 8.如图，在正方体ABCD一A1B1CD1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动 点，则 D A.存在点Q,使得PQ∥BD A B B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB,C1D C.三棱锥Q一APD的体积不是定值 D D.存在点Q,使得PQ⊥AC 高一同步周测卷七 数学（人教A版）必修第二册第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为 10.在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比 古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球 体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r,大球半径为R,大球 内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若R =√，则r的最大值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示的圆锥，顶点为O,底面半径OA=4cm,用一与底面平行的平面截得一圆 台，圆台的上底面半径为2cm,这个平面与母线OA交于点B,线段AB的长为 8 cm. (1)求圆台的体积和圆台的侧面积； (2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕一圈到点A,求这 根绳最短时的长度， B .01 数学（人教A版）必修第二册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一AB,C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的 中点 (1)证明：平面EB1D1∥平面FBD: D C (2)求平面EB,D1与平面FBD之间的距离. B1 13.(本小题满分20分) 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点D'的位置，连 接BD,O为AC的中点. (1)若平面D'AC⊥平面ABC,求点O到平面D'BC的距离； (2)不考虑点D与点B重合的位置，若二面角A-BD'-C的余弦值为-号求BD 的长度 D 高一同步周测卷七 数学（人教A版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 5 确定平面个数问题 易 0.80 由斜二测画法求直 2 选择题 易 0.72 观图的面积 棱柱体积的实际 选择题 中 0.65 应用 由面面平行的性质 4 选择题 中 0.55 求线段长度 求异面直线所成 5 选择题 5 中 0.45 的角 立体儿何中的轨迹 6 选择题 5 中 0.30 问题 V 棱锥的面积问题（数 选择题 6 易 0.75 学文化) 立体几何中的动态 8 选择题 6 难 0.28 问题 9 填空题 圆柱的侧面展开图 易 0.75 棱锥的外接球问题 10 填空题 5 中 0.45 (数学文化) 圆台的侧面积与体 11 解答题 13 中 0.55 积、最值问题 15 面面平行的判定，求 12 解答题 中 0.45 面面距 求点面距，由二面角 13 解答题 20 中 0.32 的大小求参 ·29· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 5.A【解析】 1.D【解析】过空间任意一点引三条直线，当三条直线 在同一个平面内时，它们所确定的平面个数是1；当 三条直线不在同一个平面内时，它们所确定的平面个 B 数是3.故选D. E 2.A【解析】作出梯形ABCD的直观图A,BCD如 下图所示：由斜二测画法可知AD=1,AB=4, CD=2,过点D作DH⊥AB:交AB于点H, 因为∠B,AD1=45°，梯形ABCD1的高为1· G- D s血45-号，所以梯形AACD,的面积为S 如图所示，取棱AC,AA1,A1B:,AB的中点分别为 (Ai B+C:D)x (4+2)X2 2 2 3E.故选A D,E,F,G,易知EF∥AB,EF=AB,ED∥CA, 2 ED=号CA,DG∥CB,DG=合CB,所以异面直线 D C AB,与AC所成角的余弦值即|cos∠FED|,由正 三棱柱的特征可知FG⊥底面ABC,而DGC底面 ABC,所以FGLDG,易知EF==ED,DG=子， 2 H B FG=2→FD=VI 2 ,由余弦定理知|cos∠FED|= 3.A【解析】设正方形ABCD的边长为a,则水的体积 2EF-FD 2EF 为16aX年=4a,将平面ABCD水平放置时，设水面 6.B【解析】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 的高度为h,则有a2h=4a,解得h=4.故选A. 中，连接DC1,BD,AC, 4.B【解析】 Dy C B1 D G C 由AA:⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得BD⊥ AA,而BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,ACC平面 如图，连接AF与平面B交于点G,连接BG,CF,EG, AAC,则BD⊥平面AAC,又ACC平面AA1C,于 AD,:B∥Y,且平面ACF∩B=BG,平面ACF∩Y 是BD⊥AC,同理BC⊥AC,而BC∩BD=B, CRBG/CF,能-，同理可得EG/AD.: BC,BDC平面BCD,因此AC⊥平面BCD,因为 DP⊥A1C,则DPC平面BCD,而点P为截面 骠.S-0AC-器·AB=号×6 A,C1B上的动点，平面ACB∩平面BCD=BC1,所 15.故选B. 以点P的轨迹是线段BC,长度为√2.故选B. ·30· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 二、选择题 D 7.AC【解析】 B 对于C,在正方体ABCD-ABCD1中，AB∥ 如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为正方形ABCD CD1,AB=C1D,所以四边形ABCD:为平行四边 的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB,OH⊥AB,由 形，则BC∥AD,而AD,∩平面APD=A,故BC 二面角的定义，故∠SHO=30°.设底面边长为2a,所 与平面APD不平行， 以0H=AH=a,0s-9,sH=29.在R△SAH D 3 中2+(2。)厂广=21，所以a=3,底面边长为6米 A 高S0=0H=5米，侧面积S=之×6×25×4= 3 24√平方米，表面积S=24√3+6=24√3十36平方 D 米.故选AC. 8.BCD【解析】对于A,在正方体ABCD-ABCD 所以Q在线段BC1上运动时，Q到平面APD的距离 中，BB∥DD1,BB=DD1,则四边形BBDD为平 不是定值，又△APD的面积为定值，故三棱锥 行四边形，所以BD∥BD,而P为线段AC的中 Q一APD的体积不是定值，C正确；对于D,因为AC 点，四边形ABCD为正方形，所以P为BD的 ⊥BD,AC⊥BB,BD,BB:C平面BDDB,BD∩ 中点，所以BD∩PQ=P, BB,=B,所以AC⊥平面BDDB,,又BPC平面 D C BDDB,所以AC⊥BP,所以若点Q与点B重合，则 PQ⊥AC,D正确.故选BCD. B D C P D C 若存在点Q,使得BD∥PQ,且BD、PQ不重合，又 BD∥BD,所以PQ∥BD,这与BD∩PQ=P矛 B(O) 盾，假设不成立，A错误；对于B,若Q为BC的中点， 三、填空题 则PQ∥AB,而AB⊥AB,故PQ⊥AB,又AD⊥ 9.8√元【解析】设圆柱的母线长和底面圆半径分别为 平面ABB1A1,A1BC平面ABB1A1,则A1B⊥AD,故 l,r,根据已知得2r=4,由题意得圆柱侧面展开图的 PQ⊥AD,因为AB,∩AD=A,AB、ADC平面 ABC,D,则PQ⊥平面ABC1D,所以存在Q使得 周长可以表示为L侧=4πr十2≥2√4πrX27=8√元， PQ⊥平面AB1CD,B正确； 当且仅当4πr=21,即，= ,l=2√时等号成立. 10.1【解析】由题意，小球与正四面体的各条棱相切， 大球为正四面体的外接球，即可保证x最大，如图所 ·31· ·数学（人教A版）必修第二册· 参考答案及解析 示，设正四面体的棱长为a,E为△BCD的中心，O ∴.侧面展开图的圆心角为= 16=2, (10分) 为圆心，可得AE⊥平面BCD,因为CEC平面 BCD则AELCE,,且CE=号×号a=5。 3a,所以 则在△M0A中，∠AOM=受， 则MA'=√OA+OM=√162+12=20cm, AE=AC-CE-9,在R△0E巾，OC 即这根绳最短时的长度为20cm. (13分) oE+CE,可得)=(5a-5)+(停a)。 12.解：(1)取G为BB1的中点，连接FG,AG, 又F是CC!的中点， 解得a=22,过O点作OF⊥AC,垂足为F,在 所以FG∥BC∥AD,FG=BC=AD, Rt△OCF中，可得OF=√OC-CF= 故四边形AGFD为平行四边形， 所以AG∥DF, √R-(9)=√5-W=1,即小球的最 又E是AA,的中点，易知AG∥EB, 大半径为r=1. D C y F G 1D D 0水 所以EB:∥DF, (3分) 由DF平面EB:D, 四、解答题 则DF∥平面EBD, (5分) 11.解：(1)由已知圆台下底面半径R=4cm,上底面半 又正方体中BD∥BD, 径r=2cm,可得OB=AB=8cm, 则同理BD∥平面EBD, (6分) ∴.圆台的高h=√/8-(4-2)7=2√/5cm, 又DF∩BD=D,DF,BDC平面FBD, (2分) 故平面EB,D∥平面FBD, (8分) 圆台的体积V=言x(R十r十)h=言元X 1 (2)由(1)知，平面EB:D1与平面FBD之间的距离 等于B,到平面FBD的距离h, 16+4+8)X2√/15=56Y πcm, (4分) 连接BF,BD, 3 则VA-FBD=VF-BDB1, 圆台的侧面积S=π(R十r)·AB=π×(4十2)×8 =48πcm2. (6分) 而FD=FB= 2a.BD=/2a, (2)作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度 为侧面展开图中MA'的长度. 故△FBD中BD边上的高为5。 , 由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为2×π ×4=8π， 所以SAFD=号X臣 2二a×②α2 (11分) 而SAmB三号×a×Ea=二a,F到平面DD,B 的距离为 2, 所以×气=××。，可得 3, 故平面EB,D与平面FBD之间的距离为。 3. (15分) ·32· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第二册· 13.解：(1)连接OD',OB,则OD⊥AC, (2)取D'B的中点E,连接AE,EC, D' D' 平面D'AC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC :AB=AD'=BC=D'C=√E, =AC,OD'C平面D'AC, .AE⊥BD,EC⊥BD, ∴.OD'⊥平面ABC, ∴∠AEC为二面角A一BD'-C的平面角， 又OBC平面ABC, cos∠AEC=- 3 (15分) ∴.OD'⊥OB. (4分) 又正方形ABCD的边长为√2， 由题可知△ABD≌△CBD', ∴.OD'=OB=OC=1,BD'=BC=D'C=√2，(6分) 在△AEC中，AC=2,AE=CE,cos∠AEC= 设点O到平面D'BC的距离为h, AE+CE-AC2 2AE·CE 3 则Vp-Oe=V。-DBc, 号×号×号×Exp×1=号×9 AE =CE:-6 ×(2) 。h, DE=AD-AE=2号=告 .h= 3, ∴BD'=2DE= 45 5 即点0到平面D'BC的距离为 (10分) 即D的长度为气 (20分) ·33·